From 72cddc4bf8ced037255115a270dd74cd856a8a75 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: szdytom Date: Wed, 13 Aug 2025 22:57:25 +0800 Subject: [PATCH] 3B 28 Signed-off-by: szdytom --- sections/2C.typ | 2 +- sections/3B.typ | 18 ++++++++++++++++-- 2 files changed, 17 insertions(+), 3 deletions(-) diff --git a/sections/2C.typ b/sections/2C.typ index 7accc70..1457ab5 100644 --- a/sections/2C.typ +++ b/sections/2C.typ @@ -258,7 +258,7 @@ #note[可以验证，上面结论等号成立，当且仅当存在 $i,j in {1, dots, m}$（$i != j$），使得 $w = lambda v_i + mu v_j$，其中 $lambda, mu in FF$，满足 $lambda + mu = -1$。] -#exercise_sol(type: "proof")[ +#exercise_sol(type: "proof", ref: )[ 设 $m$ 是正整数，$p_0, dots, p_m in Poly(FF)$，其中 $p_k$ 的次数为 $k$，证明： $p_0, dots, p_m$ 是 $Poly_m (FF)$ 的基。 ][ 我们首先论证：对于任意自然数 $m$，$p_0, dots, p_m$ 是线性无关的。我们关于 $m$ 使用数学归纳法。 diff --git a/sections/3B.typ b/sections/3B.typ index ce5f61a..96a3b59 100644 --- a/sections/3B.typ +++ b/sections/3B.typ @@ -1,5 +1,5 @@ -#import "../styles.typ": exercise_sol, tab, exercise_ref, math_numbering -#import "../math.typ": null, range, LinearMap, span, restricted +#import "../styles.typ": exercise_sol, tab, exercise_ref, math_numbering, note +#import "../math.typ": null, range, LinearMap, span, restricted, Poly #exercise_sol(type: "answer")[ 给出一例：满足 $dim null T = 3$ 且 $dim range T = 2$ 的线性映射 $T$。 @@ -543,3 +543,17 @@ #tab 即 $null P inter range P = {0}$。因此，根据“两个子空间的直和”（原书1.46），得 $V = null P plus.circle range P$。 ] + +#exercise_sol(type: "proof")[ + 设 $D in LinearMap(Poly(RR))$，满足对于任意非常数多项式 $p in Poly(RR)$，都有 $deg D p = (deg p) - 1$。证明：$D$ 是满射。 + + #note[上面的记号 $D$ 是用来让你想起微分映射#footnote[注意，微分映射是满足题设条件的映射，但并非满足题设条件的映射就一定是微分映射。]，它将多项式 $p$ 映射到其导数 $p'$。] +][ + 对于 $k in NN^+$，令 $p_k in Poly(RR)$ 为 $z -> z^k$，以及 $q_(k - 1) = D p_k$。于是 $deg p_k = k$，故 $deg q_k = deg q_(k + 1) - 1 = k$。设 $r in Poly(RR)$，使得 $deg r = m$，故 $r in Poly_m (RR)$。 + + #tab 根据#exercise_ref()，$q_0, dots, q_m$ 是 $Poly_m (RR)$ 的一组基。故存在 $a_0, dots, a_m in RR$，使得 + + $ r = sum_(k = 0)^m a_k q_k = sum_(k = 0)^m a_k D p(k + 1) = D (sum_(k = 0)^m a_k p_(k + 1)) $ + + #tab 这说明 $r$ 可以被 $sum_(k = 0)^m a_k p_(k + 1) in Poly(RR)$ 映射到，因此 $D$ 是满射。 +]