szTom/LADRSolutions
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2B p9-10

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sections/2A.typ
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@ -50,7 +50,7 @@
#tab 综上所述，$V = span(v_1 - v_2, v_2 - v_3, v_3 - v_4, v_4)$，即向量组 $v_1 - v_2, v_2 - v_3, v_3 - v_4, v_4$ 也张成 $V$。
]
#exercise_sol(type: "proof")[
#exercise_sol(type: "proof", ref: <E-cumulative-sum-span>)[
设 $v_1, dots, v_m$ 是 $V$ 中的一组向量。对于 $k in {1, dots, m}$，令
$ w_k = v_1 + dots.c + v_k $
@ -357,7 +357,7 @@
#tab 综上所述，$v_1, dots, v_m, w$ 线性无关当且仅当 $w in.not span(v_1, dots, v_m)$。
]
#exercise_sol(type: "proof")[
#exercise_sol(type: "proof", ref: <E-cumulative-sum-independence>)[
设 $v_1, dots, v_m$ 是 $V$ 中的向量组。对于 $k in {1, dots, m}$，令
$ w_k = v_1 + dots.c + v_k $

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sections/2B.typ
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@ -1,4 +1,4 @@
#import "../styles.typ": exercise_sol, tab, note
#import "../styles.typ": exercise_sol, tab, note, exercise_ref
#import "../math.typ": Poly, span
#exercise_sol(type: "answer")[
@ -352,3 +352,40 @@
#tab 是 $RR^4$ 的子空间,且满足 $v_1, v_2 in U$，而 $v_3 in.not U$ 和 $v_4 in.not U$。然而，$v_1, v_2$ 不是 $U$ 的基，因为向量 $(0, 0, 1, 1) in U$ 不是 $span(u_1, u_2)$ 中的元素。由此可知，原命题不成立。
]
#exercise_sol(type: "proof")[
设 $v_1, dots, v_m$ 是 $V$ 上的向量组，对于 $k in {1, dots, m}$，定义
$ w_k = v_1 + dots + v_k $
证明：向量组 $v_1, dots, v_m$ 是 $V$ 的基，当且仅当向量组 $w_1, dots, w_m$ 是 $V$ 的基。
][
由#exercise_ref(<E-cumulative-sum-span>) 和#exercise_ref(<E-cumulative-sum-independence>) 得证。
]
#exercise_sol(type: "proof")[
设 $U$ 和 $W$ 是 $V$ 的子空间，且 $V = U plus.circle W$。又设 $u_1, dots, u_m$ 是 $U$ 的基，$w_1, dots, w_n$ 是 $W$ 的基。证明：向量组
$ u_1, dots, u_m, w_1, dots, w_n $
是 $V$ 的基。
][
设 $v in V$，由于 $V = U plus.circle W$，因此存在唯一的 $u_1, dots, u_m in U$ 和 $w_1, dots, w_n in W$，使得
$ v = (a_1 u_1 + dots + a_m u_m) + (b_1 w_1 + dots + b_n w_n) $
#tab 其中 $a_1, dots, a_m, b_1, dots, b_n in FF$，这表明 $u_1, dots, u_m, w_1, dots w_n$ 张成 $V$。
#tab 另一方面，设 $a_1, dots, a_m, b_1, dots, b_n in FF$，满足
$ (a_1 u_1 + dots.c + a_m u_m) + (b_1 w_1 + dots.c + b_n w_n) = 0 $
#tab 根据直和的条件（原书定理1.45），必须有
$ a_1 u_1 &+ dots.c + a_m u_m &= 0 \
b_1 w_1 &+ dots.c + b_n w_n &= 0 $
#tab 由于 $u_1, dots, u_m$ 是 $U$ 的基，$w_1, dots, w_n$ 是 $W$ 的基，根据基的定义（原书定义2.26），我们有 $a_1 = dots.c = a_m = b_1 = dots.c = b_n = 0$。这表明向量组 $u_1, dots, u_m, w_1, dots, w_n$ 是线性无关的。
#tab 综上所述，向量组 $u_1, dots, u_m, w_1, dots, w_n$ 是 $V$ 的基。
]