From 8924968c4d89ea2207fa3cf5b23c3c63b9d2efb6 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: szdytom Date: Fri, 15 Aug 2025 10:16:55 +0800 Subject: [PATCH] 3B 33 Signed-off-by: szdytom --- sections/3A.typ | 2 +- sections/3B.typ | 54 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++------ 2 files changed, 49 insertions(+), 7 deletions(-) diff --git a/sections/3A.typ b/sections/3A.typ index c4f2873..c628ced 100644 --- a/sections/3A.typ +++ b/sections/3A.typ @@ -422,7 +422,7 @@ &= f(v) u $ #tab 现在，设 $T in LinearMap(V)$，$i, j in {1, dots, m}$。我们将 $T u_j$ 表示为 $T u_j = A_(1, j) u_1 + dots.c + A_(m, j) u_m$，其中 $A_(i, j) in FF$。同时，将 $v$ 表示为 $v = a_1 u_1 + dots.c + a_m u_m$，其中 $a_1, dots, a_m in FF$。 - + #tab 现在，对于任意 $i in {1, dots, m}$，根据线性映射引理（原书3.4），我们可以找到线性映射 $f_i in LinearMap(V, FF)$，使得对于任意 $j in {1, dots, m}$，$f_i (v_j) = A_(i, j)$，即 $ f_i (v) = sum_(j = 1)^m A_(i, j) a_j $ diff --git a/sections/3B.typ b/sections/3B.typ index 100a169..409debb 100644 --- a/sections/3B.typ +++ b/sections/3B.typ @@ -1,5 +1,5 @@ #import "../styles.typ": exercise_sol, tab, exercise_ref, math_numbering, note -#import "../math.typ": null, range, LinearMap, span, restricted, Poly +#import "../math.typ": null, range, LinearMap, span, restricted, Poly, complexification, ii #exercise_sol(type: "answer")[ 给出一例：满足 $dim null T = 3$ 且 $dim range T = 2$ 的线性映射 $T$。 @@ -538,9 +538,9 @@ #tab 其中 $v - P v in null N$ 且 $P v in range P$，故 $V = null P + range P$。 #tab 下面说明这个和是直和。设 $v in null P inter range P$，则 $P v = 0$ 且存在 $w in V$，使得 $v = P w$。故 - + $ 0 = P v = P^2 w = P w = v $ - + #tab 即 $null P inter range P = {0}$。因此，根据“两个子空间的直和”（原书1.46），得 $V = null P plus.circle range P$。 ] @@ -552,7 +552,7 @@ 对于 $k in NN^+$，令 $p_k in Poly(RR)$ 为 $z |-> z^k$，以及 $q_(k - 1) = D p_k$。于是 $deg p_k = k$，故 $deg q_k = deg q_(k + 1) - 1 = k$。设 $r in Poly(RR)$，使得 $deg r = m$，故 $r in Poly_m (RR)$。 #tab 根据#exercise_ref()，$q_0, dots, q_m$ 是 $Poly_m (RR)$ 的一组基。故存在 $a_0, dots, a_m in RR$，使得 - + $ r = sum_(k = 0)^m a_k q_k = sum_(k = 0)^m a_k D p(k + 1) = D (sum_(k = 0)^m a_k p_(k + 1)) $ #tab 这说明 $r$ 可以被 $sum_(k = 0)^m a_k p_(k + 1) in Poly(RR)$ 映射到，因此 $D$ 是满射。 @@ -565,7 +565,7 @@ ][ 令 $Poly(RR)$ 上的映射 $T$ 为 $p |-> 5p'' + 3p'$，容易验证 $T$ 为线性映射，且对于任意 $p in Poly(RR)$，$deg T p = deg p - 1$。于是，根据@E-Poly-lower-const-degree-surj，$T$ 是满射。 - #tab 这说明，对于任意 $p in Poly(RR)$，都存在$q in Poly(RR)$，使得 $T q = p$，即 $5 q'' + 3q' = p$。 + #tab 这说明，对于任意 $p in Poly(RR)$，都存在 $q in Poly(RR)$，使得 $T q = p$，即 $5 q'' + 3q' = p$。 ] #exercise_sol(type: "proof")[ @@ -590,7 +590,7 @@ 首先，假设存在 $T in LinearMap(V, W)$ 使得 $null T = X$ 且 $range T = Y$。根据线性映射基本定理（原书3.21），立即可得 $dim X + dim Y = dim V$。 #tab 现在假设 $dim X + dim Y = dim V$。令 $n = dim V$。设 $w_1, dots, w_m$ 是 $Y$ 的一组基，$v_(m + 1), dots, v_n$ 是 $X$ 的一组基，根据“每个线性无关组都可被扩充成基”（原书2.32），可以找到 $v_1, dots, v_m in V$，使得 $v_1, dots, v_n$ 是 $V$ 的一组基。 - + #tab 根据线性映射引理（原书3.4），存在 $T in LinearMap(V, W)$，使得对于任意 $i in {1, dots, m}$，有 $T v_i = w_i$，且对于任意 $i in {m + 1, dots, n}$，有 $T v_i = 0$。 #tab 设 $v in X$，则存在 $a_(m + 1), dots, a_n in FF$，使得 $v = a_(m + 1) v_(m + 1) + dots.c + a_n v_n$。因此 @@ -625,3 +625,45 @@ #tab 由于 $dim V > 1$，容易验证 $dim LinearMap(V) > 1 = dim FF$，根据“映到更低维空间上的线性映射不是单射”（原书3.22），可知 $T$ 不是单射。再根据“单射性 $<==>$ 零空间为 ${0}$”（原书3.15），$null T != {0}$，因此 $null T = LinearMap(V)$。这说明对于任意 $S in LinearMap(V)$，都有 $S in null T$，即 $phi(S) = 0$。故 $phi = 0$。 ] + +#let Tc = $complexification(T)$ +#let Vc = $complexification(V)$ +#let Wc = $complexification(W)$ +#exercise_sol(type: "proof")[ + 设 $V$ 和 $W$ 都是实向量空间，$T in LinearMap(V, W)$。定义 $Tc: Vc -> Wc$ 为对于任意 $u, v in V$， + + $ Tc (u + ii v) = T u + ii T v $ + + + 证明：$Tc$ 是 $Vc -> Wc$ 的（复）线性映射； + + 证明：$Tc$ 是单射，当且仅当 $T$ 是单射； + + 证明：$range Tc = Wc$，当且仅当 $range T = W$。 + + #note[复化 $Vc$ 定义于#exercise_ref()，线性映射 $Tc$ 被称为线性映射 $T$ 的*复化（complexification）*。] +][ + 对于（a），我们逐条验证线性映射的定义（原书3.1）中给出的要求： + + / 可加性: 对于任意 $u, v in Vc$，均有 $Tc (u + v) = Tc u + Tc v$。 \ + 证明：设 $u = u_1 + ii u_2$，$v = v_1 + ii v_2$，其中 $u_1, u_2, v_1, v_2 in V$。则 + $ Tc (u + v) &= Tc ((u_1 + v_1) + ii (u_2 + v_2)) \ + &= T (u_1 + v_1) + ii T (u_2 + v_2) \ + &= T u_1 + ii T u_2 + T v_1 + ii T v_2 \ + &= Tc u + Tc v $ + + / 齐次性: 对于任意 $lambda in CC$，$u in Vc$，均有 $Tc (lambda u) = lambda Tc u$。 \ + 证明：设 $u = u_1 + ii u_2$，其中 $u_1, u_2 in V$。则 + $ Tc (lambda u) &= Tc (lambda (u_1 + ii u_2)) \ + &= T (lambda u_1) + ii T (lambda u_2) \ + &= lambda T u_1 + ii lambda T u_2 \ + &= lambda (T u_1 + ii T u_2) \ + &= lambda Tc u $ + + #tab 这说明 $Tc$ 确实是 $Vc -> Wc$ 的线性映射。 + + #tab 对于（b），首先假设 $Tc$ 是单射。根据“单射性 $<==>$ 零空间为 ${0}$”（原书3.15），可得 $null Tc = {0}$。设 $v in null T$，则根据“线性映射将 $0$ 映射为 $0$”（原书3.10），可得 $0 = T v = T v + ii T 0 = Tc (v + ii 0)$，因此 $v = 0$，即 $null T = {0}$，故 $T$ 是单射。 + + #tab 另一方面，假设 $T$ 是单射。设 $u + ii v in null Tc$，则 $0 = Tc (u + ii v) = T u + ii T v$，故 $T u = T v = 0$。又因为 $null T = {0}$，只能有 $u = v = 0$，即 $null Tc = {0}$，因此 $Tc$ 是单射。 + + #tab 对于（c），首先假设 $range Tc = Wc$。设 $w in W$，则存在 $u + ii v in Vc$，使得 $T (u + ii v) = w + ii 0$，即 $T u + ii T v = w + ii 0$，故 $T u = w$。于是 $W subset.eq range T$，即 $range T = W$。 + + #tab 另一方面，假设 $range T = W$。设 $w + ii v in Wc$，则存在 $u in V$，使得 $T u = w$。因此 $Tc (u + ii v) = T u + ii T v = w + ii T v$，即 $w + ii v in range Tc$。这说明 $Wc subset.eq range Tc$，即 $range Tc = Wc$。 +]