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8fff57fbad
@ -132,11 +132,12 @@
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证明:对于所有 $x in S$,有
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证明:对于所有 $x in S$,有
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$ (a(f + g))(x) &= a((f + g)(x)) = a(f(x) + g(x)) \
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$ (a(f + g))(x) &= a((f + g)(x)) = a(f(x) + g(x)) \
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&= a f(x) + a g(x) = (a f)(x) + (a g)(x) \
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&= a f(x) + a g(x) = (a f)(x) + (a g)(x) \
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= (a f + a g)(x) $
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&= (a f + a g)(x) $
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因此 $a(f + g) = a f + a g$。另一方面,有
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因此 $a(f + g) = a f + a g$。另一方面,有
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$ ((a + b)f)(x) &= (a + b) f(x) \
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$ ((a + b)f)(x) &= (a + b) f(x) \
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&= a f(x) + b f(x) = (a f)(x) + (b f)(x) \
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&= a f(x) + b f(x) \
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= (a f + b f)(x) $
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&= (a f)(x) + (b f)(x) \
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&= (a f + b f)(x) $
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因此 $(a + b)f = a f + b f$。
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因此 $(a + b)f = a f + b f$。
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#tab 综上所述,$V^S$ 满足向量空间的所有要求,因此 $V^S$ 是 $FF$ 上的向量空间。
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#tab 综上所述,$V^S$ 满足向量空间的所有要求,因此 $V^S$ 是 $FF$ 上的向量空间。
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@ -178,21 +179,20 @@
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/ 加法单位元: 存在 $0 in complexification(V)$ 使得对于所有 $u,v in V$,都有 $(u + ii v) + 0 = u + ii v$。 \
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/ 加法单位元: 存在 $0 in complexification(V)$ 使得对于所有 $u,v in V$,都有 $(u + ii v) + 0 = u + ii v$。 \
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证明:取 $0 = 0 + ii 0$ 为 $complexification(V)$ 中的加法单位元。对于所有 $u,v in V$,都有
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证明:取 $0 = 0 + ii 0$ 为 $complexification(V)$ 中的加法单位元。对于所有 $u,v in V$,都有
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$ (u + ii v) + 0 = (u + ii v) + (0 + ii 0) \
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$ (u + ii v) + 0 &= (u + ii v) + (0 + ii 0) \
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= (u + 0) + ii (v + 0) \
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&= (u + 0) + ii (v + 0) \
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= u + ii v $
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&= u + ii v $
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/ 加法逆元: 对于所有 $u,v in V$,存在 $w in complexification(V)$ 使得 $(u + ii v) + w = 0$。 \
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/ 加法逆元: 对于所有 $u,v in V$,存在 $w in complexification(V)$ 使得 $(u + ii v) + w = 0$。 \
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证明:取 $w = -u + ii (-v)$ 为 $(u + ii v)$ 的加法逆元。对于所有 $u,v in V$,都有
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证明:取 $w = -u + ii (-v)$ 为 $(u + ii v)$ 的加法逆元。对于所有 $u,v in V$,都有
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$ (u + ii v) + w = (u + ii v) + (-u + ii (-v)) \
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$ (u + ii v) + w &= (u + ii v) + (-u + ii (-v)) \
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= (u - u) + ii (v - v) \
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&= (u - u) + ii (v - v) \
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= 0 + ii 0 \
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&= 0 + ii 0 \
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= 0 $
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&= 0 $
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/ 乘法单位元: 对于所有 $u,v in V$,都有 $(1 + ii 0)(u + ii v) = u + ii v$。 \
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/ 乘法单位元: 对于所有 $u,v in V$,都有 $(1 + ii 0)(u + ii v) = u + ii v$。 \
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证明:对于所有 $u,v in V$,都有
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证明:对于所有 $u,v in V$,都有
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$ (1 + ii 0)(u + ii v) = (1 u - 0 v) + ii (1 v + 0 u) \
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$ (1 + ii 0)(u + ii v) = (1 u - 0 v) + ii (1 v + 0 u) = u + ii v $
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= u + ii v $
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/ 分配性质: 对于所有 $u_1,v_1,u_2,v_2 in V$ 以及所有 $a,b in RR$,都有 $(a + b ii)((u_1 + ii v_1) + (u_2 + ii v_2)) = (a + b ii)(u_1 + ii v_1) + (a + b ii)(u_2 + ii v_2)$ 且 $(a + b ii)(u + ii v) = a(u + ii v) + b(u + ii v)$。 \
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/ 分配性质: 对于所有 $u_1,v_1,u_2,v_2 in V$ 以及所有 $a,b in RR$,都有 $(a + b ii)((u_1 + ii v_1) + (u_2 + ii v_2)) = (a + b ii)(u_1 + ii v_1) + (a + b ii)(u_2 + ii v_2)$ 且 $(a + b ii)(u + ii v) = a(u + ii v) + b(u + ii v)$。 \
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证明:对于所有 $u_1,v_1,u_2,v_2 in V$ 和所有 $a,b in RR$,都有
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证明:对于所有 $u_1,v_1,u_2,v_2 in V$ 和所有 $a,b in RR$,都有
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