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方而静 2025-07-11 11:32:26 +08:00
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Signed by: szTom
GPG Key ID: 072D999D60C6473C

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@ -132,11 +132,12 @@
证明:对于所有 $x in S$,有 证明:对于所有 $x in S$,有
$ (a(f + g))(x) &= a((f + g)(x)) = a(f(x) + g(x)) \ $ (a(f + g))(x) &= a((f + g)(x)) = a(f(x) + g(x)) \
&= a f(x) + a g(x) = (a f)(x) + (a g)(x) \ &= a f(x) + a g(x) = (a f)(x) + (a g)(x) \
= (a f + a g)(x) $ &= (a f + a g)(x) $
因此 $a(f + g) = a f + a g$。另一方面,有 因此 $a(f + g) = a f + a g$。另一方面,有
$ ((a + b)f)(x) &= (a + b) f(x) \ $ ((a + b)f)(x) &= (a + b) f(x) \
&= a f(x) + b f(x) = (a f)(x) + (b f)(x) \ &= a f(x) + b f(x) \
= (a f + b f)(x) $ &= (a f)(x) + (b f)(x) \
&= (a f + b f)(x) $
因此 $(a + b)f = a f + b f$ 因此 $(a + b)f = a f + b f$
#tab 综上所述,$V^S$ 满足向量空间的所有要求,因此 $V^S$ $FF$ 上的向量空间。 #tab 综上所述,$V^S$ 满足向量空间的所有要求,因此 $V^S$ $FF$ 上的向量空间。
@ -178,21 +179,20 @@
/ 加法单位元: 存在 $0 in complexification(V)$ 使得对于所有 $u,v in V$,都有 $(u + ii v) + 0 = u + ii v$ \ / 加法单位元: 存在 $0 in complexification(V)$ 使得对于所有 $u,v in V$,都有 $(u + ii v) + 0 = u + ii v$ \
证明:取 $0 = 0 + ii 0$ $complexification(V)$ 中的加法单位元。对于所有 $u,v in V$,都有 证明:取 $0 = 0 + ii 0$ $complexification(V)$ 中的加法单位元。对于所有 $u,v in V$,都有
$ (u + ii v) + 0 = (u + ii v) + (0 + ii 0) \ $ (u + ii v) + 0 &= (u + ii v) + (0 + ii 0) \
= (u + 0) + ii (v + 0) \ &= (u + 0) + ii (v + 0) \
= u + ii v $ &= u + ii v $
/ 加法逆元: 对于所有 $u,v in V$,存在 $w in complexification(V)$ 使得 $(u + ii v) + w = 0$ \ / 加法逆元: 对于所有 $u,v in V$,存在 $w in complexification(V)$ 使得 $(u + ii v) + w = 0$ \
证明:取 $w = -u + ii (-v)$ $(u + ii v)$ 的加法逆元。对于所有 $u,v in V$,都有 证明:取 $w = -u + ii (-v)$ $(u + ii v)$ 的加法逆元。对于所有 $u,v in V$,都有
$ (u + ii v) + w = (u + ii v) + (-u + ii (-v)) \ $ (u + ii v) + w &= (u + ii v) + (-u + ii (-v)) \
= (u - u) + ii (v - v) \ &= (u - u) + ii (v - v) \
= 0 + ii 0 \ &= 0 + ii 0 \
= 0 $ &= 0 $
/ 乘法单位元: 对于所有 $u,v in V$,都有 $(1 + ii 0)(u + ii v) = u + ii v$ \ / 乘法单位元: 对于所有 $u,v in V$,都有 $(1 + ii 0)(u + ii v) = u + ii v$ \
证明:对于所有 $u,v in V$,都有 证明:对于所有 $u,v in V$,都有
$ (1 + ii 0)(u + ii v) = (1 u - 0 v) + ii (1 v + 0 u) \ $ (1 + ii 0)(u + ii v) = (1 u - 0 v) + ii (1 v + 0 u) = u + ii v $
= u + ii v $
/ 分配性质: 对于所有 $u_1,v_1,u_2,v_2 in V$ 以及所有 $a,b in RR$,都有 $(a + b ii)((u_1 + ii v_1) + (u_2 + ii v_2)) = (a + b ii)(u_1 + ii v_1) + (a + b ii)(u_2 + ii v_2)$ $(a + b ii)(u + ii v) = a(u + ii v) + b(u + ii v)$ \ / 分配性质: 对于所有 $u_1,v_1,u_2,v_2 in V$ 以及所有 $a,b in RR$,都有 $(a + b ii)((u_1 + ii v_1) + (u_2 + ii v_2)) = (a + b ii)(u_1 + ii v_1) + (a + b ii)(u_2 + ii v_2)$ $(a + b ii)(u + ii v) = a(u + ii v) + b(u + ii v)$ \
证明:对于所有 $u_1,v_1,u_2,v_2 in V$ 和所有 $a,b in RR$,都有 证明:对于所有 $u_1,v_1,u_2,v_2 in V$ 和所有 $a,b in RR$,都有