From 90786b902005f0017c731e90dc960c15a306b297 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: szdytom Date: Fri, 11 Jul 2025 23:40:03 +0800 Subject: [PATCH] 2A p5 Signed-off-by: szdytom --- sections/2B.typ | 15 +++++++++++++++ 1 file changed, 15 insertions(+) diff --git a/sections/2B.typ b/sections/2B.typ index 00bcdf6..b12a948 100644 --- a/sections/2B.typ +++ b/sections/2B.typ @@ -187,6 +187,7 @@ #exercise_sol(type: "answer")[ + 设 $U$ 为 $CC^5$ 的子空间，定义为 $ U = {(z_1, z_2, z_3, z_4, z_5) in CC^5 : 6z_1 = z_2 and z_3 + 2z_4 + 3z_5 = 0} $ + 求 $U$ 的一个基； + 将 (a) 中的基扩充为 $CC^5$ 的一个基； @@ -250,3 +251,17 @@ #tab 由于 $u_1, dots, u_5$ 是线性无关的（见上面 (b) 的证明），因此 $a_1 = dots = a_5 = 0$。这表明 $v = 0$，因此 $U inter W = {0}$。根据“两个子空间的直和”（原书定理1.46），我们得到 $CC^5 = U plus.circle W$。 ] + +#exercise_sol(type: "proof")[ + 设 $V$ 是有限维向量空间，$U, W$ 是 $V$ 的子空间，且 $V = U + W$。证明：$V$ 有一个由 $U union W$ 中的向量组成的基。 +][ + 设 $u_1, dots, u_m in U$ 是 $U$ 的一组基，$w_1, dots, w_ell in W$ 是 $W$ 的一组基。由于 $V = U + W$，因此任意向量 $v in V$ 都可以被表示为 + + $ v = (a_1 u_1 + dots + a_m u_m) + (b_1 w_1 + dots + b_n w_ell) $ + + #tab 其中 $a_1, dots, a_m, b_1, dots, b_ell in FF$。这表明 + + $ V = span(u_1, dots, u_m, w_1, dots w_ell) $ + + #tab 由于每个张成组都包含基（原书定理2.30），因此 $V$ 有一个由 $U union W$ 中的向量组成的基。 +]