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方而静 2025-07-29 20:32:52 +08:00
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@ -81,3 +81,31 @@
#tab 由于 $dim RR^5 = 5$,因此 $2n = 5$,这与 $n$ 是整数矛盾。因此不存在这样的 $T$
]
#exercise_sol(type: "proof")[
$V$ $W$ 是有限维向量空间,$2 <= dim V <= dim W$。证明:${T in LinearMap(V, W) : T "不是单射"}$ 不是 $LinearMap(V, W)$ 的子空间。
][
$S = {T in LinearMap(V, W) : T "不是单射"}$。设 $v_1, dots, v_m$ $V$ 的一组基,$w_1, dots, w_n$ $W$ 的一组基,其中 $n >= m = dim V >= 2$。根据线性映射引理原书3.4),存在 $T in LinearMap(V, W)$,使得对于任意 $i in {1, dots, m}$,有 $T v_i = w_i$
#tab $v in V$。假设 $T v = 0$,将 $v$ 表示为
$ v = z_1 v_1 + dots.c + z_m v_m $
#tab 其中 $z_1, dots, z_m in FF$。则
$ T v = z_1 T v_1 + dots.c + z_m T v_m = z_1 w_1 + dots.c + z_m w_m = 0$
#tab 由于 $w_1, dots, w_m$ 是线性无关的,因此 $z_1 = dots = z_m = 0$,即 $v = 0$。因此 $null T = {0}$,根据“单射性 $<==>$ 零空间为 ${0}$原书3.15$T$ 是单射,即 $T in.not S$
#tab 再次利用线性映射引理原书3.4),存在 $R in LinearMap(V, W)$,使得 $R v_1 = w_1$,且对于任意 $i in {2, dots, m}$$R v_i = 0$。由于 $m >= 2$,我们至少有 $R v_2 = R 0 = 0$,故 $R$ 不是单射。
#tab 注意到
$ (T - R) v_1 = T v_1 - R v_1 = w_1 - w_1 = 0 = (T - R) 0 $
#tab $T - R$ 不是单射。即 $R, T - R in S$,注意到
$ R + (T - R) = T in.not S $
#tab 这说明 $S$ 违反了子空间的条件原书1.34)中对加法封闭性的要求,故 $S$ 不是 $LinearMap(V, W)$ 的子空间。
]