diff --git a/sections/1A.typ b/sections/1A.typ index 9e3f67c..d49c313 100644 --- a/sections/1A.typ +++ b/sections/1A.typ @@ -5,7 +5,7 @@ #exercise_sol(type: "proof")[ 证明:$alpha + beta = beta + alpha$ 对所有 $alpha,beta in CC$ 成立。 ][ - #tab 根据定义,令 $alpha = a + b ii$,$beta = c + d ii$(其中 $a,b,c,d in RR$),则根据实数的加法交换律,有: + 根据定义,令 $alpha = a + b ii$,$beta = c + d ii$(其中 $a,b,c,d in RR$),则根据实数的加法交换律,有: $ alpha + beta &= (a + c) + (b + d) ii \ &= (c + a) + (d + b) ii \ &= beta + alpha $ @@ -14,7 +14,7 @@ #exercise_sol(type: "proof")[ 证明:$(alpha + beta) + lambda = alpha + (beta + lambda)$ 对所有 $alpha,beta,lambda in CC$ 成立。 ][ - #tab 根据定义,令 $alpha = a + b ii$,$beta = c + d ii$,$lambda = e + f ii$(其中 $a,b,c,d,e,f in RR$),则有: + 根据定义,令 $alpha = a + b ii$,$beta = c + d ii$,$lambda = e + f ii$(其中 $a,b,c,d,e,f in RR$),则有: $ (alpha + beta) + lambda &= ((a + c) + (b + d) ii) + (e + f ii) \ &= (a + c + e) + (b + d + f) ii \ &= alpha + (beta + lambda) $ @@ -23,7 +23,7 @@ #exercise_sol(type: "proof")[ 证明:$(alpha beta) lambda = alpha (beta lambda)$ 对所有 $alpha,beta,lambda in CC$ 成立。 ][ - #tab 根据定义,令 $alpha = a + b ii$,$beta = c + d ii$,$lambda = e + f ii$(其中 $a,b,c,d,e,f in RR$),则有: + 根据定义,令 $alpha = a + b ii$,$beta = c + d ii$,$lambda = e + f ii$(其中 $a,b,c,d,e,f in RR$),则有: $ (alpha beta) lambda &= ((a + b ii)(c + d ii))(e + f ii) \ &= (a c - b d + (a d + b c) ii)(e + f ii) \ &= (a c e - b d f - (a d + b c)f + (a d + b c)e) + ((a d + b c)e + (a c - b d)f) ii \ @@ -33,9 +33,9 @@ #note[复数乘法的交换律由原书例1.4给出。] #exercise_sol(type: "proof")[ - #tab 证明:$lambda (alpha + beta) = lambda alpha + lambda beta$ 对所有 $lambda,alpha,beta in CC$ 成立。 + 证明:$lambda (alpha + beta) = lambda alpha + lambda beta$ 对所有 $lambda,alpha,beta in CC$ 成立。 ][ - #tab 根据定义,令 $alpha = a + b ii$,$beta = c + d ii$,$lambda = e + f ii$(其中 $a,b,c,d,e,f in RR$),则有: + 根据定义,令 $alpha = a + b ii$,$beta = c + d ii$,$lambda = e + f ii$(其中 $a,b,c,d,e,f in RR$),则有: $ lambda (alpha + beta) &= (e + f ii)((a + c) + (b + d) ii) \ &= (e(a + c) - f(b + d)) + (f(a + c) + e(b + d)) ii \ &= (e a - f b + e c - f d) + (f a + e b + f c + e d) ii \ @@ -45,7 +45,7 @@ #exercise_sol(type: "proof")[ 证明:对于任一 $alpha in CC$,都存在唯一的 $beta in CC$ 使得 $alpha + beta = 0$。 ][ - #tab 根据定义,令 $alpha = a + b ii$(其中 $a,b in RR$),则取 $beta = (-a) + (-b) ii$,则有: + 根据定义,令 $alpha = a + b ii$(其中 $a,b in RR$),则取 $beta = (-a) + (-b) ii$,则有: $ alpha + beta &= (a + b ii) + ((-a) + (-b) ii) \ &= (a - a) + (b - b) ii \ &= 0 $ @@ -60,7 +60,7 @@ #exercise_sol(type: "proof")[ 证明:对于任一 $alpha in CC$($alpha != 0$),都存在唯一的 $beta in CC$ 使得 $alpha beta = 1$。 ][ - #tab 根据定义,令 $alpha = a + b ii$(其中 $a,b in RR$),则取 $beta = (a / (a^2 + b^2)) - (b / (a^2 + b^2)) ii$,则有: + 根据定义,令 $alpha = a + b ii$(其中 $a,b in RR$),则取 $beta = (a / (a^2 + b^2)) - (b / (a^2 + b^2)) ii$,则有: $ alpha beta &= (a + b ii)(a/(a^2 + b^2) - b/(a^2 + b^2) ii) \ &= (a^2 + b^2)(a^2 + b^2) \ &= 1 $ @@ -84,7 +84,7 @@ #exercise_sol(type: "answer")[ 求 $ii$ 的两个向异的平方根。 ][ - #tab 令 $x = a + b ii$(其中 $a,b in RR$),满足 $x^2 = ii$,即 $a^2 - b^2 + 2 a b ii = 0 + 1 ii$。因此,我们有两个方程: + 令 $x = a + b ii$(其中 $a,b in RR$),满足 $x^2 = ii$,即 $a^2 - b^2 + 2 a b ii = 0 + 1 ii$。因此,我们有两个方程: $ cases(a^2-b^2=0, 2 a b = 1) $ #tab 解这两个方程组,我们得到 $a = sqrt(2)/2$ 和 $b = sqrt(2)/2$ 或者 $a = -sqrt(2)/2$ 和 $b = -sqrt(2)/2$。因此,$ii$ 的两个向异的平方根是: $ x_1=sqrt(2)/2 + sqrt(2)/2 ii, x_2=-sqrt(2)/2 - sqrt(2)/2 ii $ @@ -94,7 +94,7 @@ 求 $x in RR^4$,使得 $ (4, -3, 1, 7) + 2x = (5, 9, -6, 8) $ ][ - #tab 根据定义,令 $x = (x_1, x_2, x_3, x_4)$,则 + 根据定义,令 $x = (x_1, x_2, x_3, x_4)$,则 $ (4, -3, 1, 7) + 2x = (4 + 2 x_1, -3 + 2 x_2, 1 + 2 x_3, 7 + 2 x_4) $ #tab 令其等于 $(5, 9, -6, 8)$,则我们有四个方程: $ cases(4 + 2 x_1 = 5, -3 + 2 x_2 = 9, 1 + 2 x_3 = -6, 7 + 2 x_4 = 8) $ @@ -106,7 +106,7 @@ 解释为什么不存在 $lambda in CC$,使得 $ lambda (2 - 3 ii, 5 + 4 ii, -6 + 7 ii) = (12 - 5 ii, 7 + 22 ii, -32 - 9 ii) $ ][ - #tab 注意到, + 注意到, $ (12 - 5 ii)/(2 - 3 ii) = 3 + 2 ii $ #tab 而 $ (-32 - 9 ii)/(-6 + 7 ii) != 3 + 2 ii $ @@ -118,7 +118,7 @@ #note[沿用原书记号1.6与记号1.10,即 $FF$ 表示 $RR$ 或 $CC$,$n$ 表示某一固定的正整数。下文不再赘述。] ][ - #tab 根据定义,令 $x = (x_1, x_2, dots, x_n)$,$y = (y_1, y_2, dots, y_n)$,$z = (z_1, z_2, dots, z_n)$,则有: + 根据定义,令 $x = (x_1, x_2, dots, x_n)$,$y = (y_1, y_2, dots, y_n)$,$z = (z_1, z_2, dots, z_n)$,则有: $ (x+y)+z &= ((x_1+y_1, x_2+y_2, dots, x_n+y_n) + (z_1, z_2, dots, z_n)) \ &= (x_1+y_1+z_1, x_2+y_2+z_2, dots, x_n+y_n+z_n) \ &= ((x_1, x_2, dots, x_n) + (y_1+z_1, y_2+z_2, dots, y_n+z_n)) \ @@ -130,7 +130,7 @@ #exercise_sol(type: "proof")[ 证明:$(a b)x = a(b x)$ 对所有 $x in FF^n$ 和 $a,b in FF$ 成立。 ][ - #tab 根据定义,令 $x = (x_1, x_2, dots, x_n)$,则有: + 根据定义,令 $x = (x_1, x_2, dots, x_n)$,则有: $ (a b)x &= (a b)(x_1, x_2, dots, x_n) \ &= (a b x_1, a b x_2, dots, a b x_n) \ &= a(b x_1, b x_2, dots, b x_n)) \ @@ -140,7 +140,7 @@ #exercise_sol(type: "proof")[ 证明:$1 x=x$ 对所有 $x in FF^n$ 成立。 ][ - #tab 根据定义,令 $x = (x_1, x_2, dots, x_n)$,则有: + 根据定义,令 $x = (x_1, x_2, dots, x_n)$,则有: $ 1 x &= 1(x_1, x_2, dots, x_n) \ &= (1 dot x_1, 1 dot x_2, dots, 1 dot x_n) \ &= (x_1, x_2, dots, x_n) \ @@ -150,7 +150,7 @@ #exercise_sol(type: "proof")[ 证明:$lambda (x+y) = lambda x + lambda y$ 对所有 $lambda in FF$ 和 $x,y in FF^n$ 成立。 ][ - #tab 根据定义,令 $x = (x_1, x_2, dots, x_n)$,$y = (y_1, y_2, dots, y_n)$,则有: + 根据定义,令 $x = (x_1, x_2, dots, x_n)$,$y = (y_1, y_2, dots, y_n)$,则有: $ lambda (x+y) &= lambda ((x_1+y_1, x_2+y_2, dots, x_n+y_n)) \ &= (lambda(x_1+y_1), lambda(x_2+y_2), dots, lambda(x_n+y_n)) \ &= (lambda x_1 + lambda y_1, lambda x_2 + lambda y_2, dots, lambda x_n + lambda y_n) \ @@ -160,7 +160,7 @@ #exercise_sol(type: "proof")[ 证明:$(a+b)x = a x + b x$ 对所有 $a,b in FF$ 和 $x in FF^n$ 成立。 ][ - #tab 根据定义,令 $x = (x_1, x_2, dots, x_n)$,则有: + 根据定义,令 $x = (x_1, x_2, dots, x_n)$,则有: $ (a+b)x &= (a+b)(x_1, x_2, dots, x_n) \ &= (a x_1 + b x_1, a x_2 + b x_2, dots, a x_n + b x_n) \ &= (a x_1, a x_2, dots, a x_n) + (b x_1, b x_2, dots, b x_n) \ diff --git a/styles.typ b/styles.typ index b0f6bd6..7b636e0 100644 --- a/styles.typ +++ b/styles.typ @@ -220,7 +220,19 @@ #let exercise_sol(e, s, type: "proof", label: none) = { figure(e, kind: "exercise-problem", supplement: "习题") + let splt = ( + "proof": "证明", + "answer": "解答", + "explain": "说明", + ) + tab + text(splt.at(type), font: zhfont_sans, weight: "medium", fill: theme_color.darken(40%)) + h(0.5em) s + if type == "proof" { + h(1fr) + text(sym.square.filled, fill: theme_color) + } } #let ploting-styles = (