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方而静 2025-07-09 16:10:32 +08:00
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commit b93baf162e
Signed by: szTom
GPG Key ID: 072D999D60C6473C

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@ -429,7 +429,7 @@
由子空间加法封闭性可知,$U + U = U$
]
#exercise_sol(type: "proof")[
#exercise_sol(type: "answer")[
$V$ 的“子空间求和”运算可交换吗?换句话说,设 $U$ $W$ 都是 $V$ 的子空间,那么 $U + W = W + U$ 是否成立?
][
是的。我们有
@ -438,3 +438,17 @@
#tab 这说明 $U + W = W + U$ 成立。
]
#exercise_sol(type: "answer")[
$V$ 的“子空间求和”运算可结合吗?换句话说,设 $V_1, V_2, V_3$ 都是 $V$ 的子空间,那么 $(V_1 + V_2) + V_3 = V_1 + (V_2 + V_3)$ 是否成立?
][
是的。我们有
$ (V_1 + V_2) + V_3
&= {u + w : u in V_1 + V_2, w in V_3} \
&= {u + w : u in {v_1 + v_2 : v_1 in V_1, v_2 in V_2}, w in V_3} \
&= {v_1 + v_2 + w : v_1 in V_1, v_2 in V_2, w in V_3} \
&= V_1 + (V_2 + V_3) $
#tab 这说明 $(V_1 + V_2) + V_3 = V_1 + (V_2 + V_3)$ 成立。
]