szTom/LADRSolutions
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sections/2A.typ
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@ -426,15 +426,15 @@
#exercise_sol(type: "explain")[
解释为什么在 $Poly_4(FF)$ 上不存在由六个多项式组成的线性无关组。
][
对于 $k in {1, dots, 4}$，令
对于 $k in {0, dots, 4}$，令
$ p_k:& FF -> FF \ &z |-> z^k $
#tab 我们现在论证向量组 $p_1, dots, p_4$ 张成 $Poly_4(FF)$：对于任意 $p in Poly_4(FF)$，设对于任意 $z in FF$，$p(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + a_3 z^3 + a_4 z^4$，则可以将其表示为
#tab 我们现在论证向量组 $p_0, dots, p_4$ 张成 $Poly_4(FF)$：对于任意 $p in Poly_4(FF)$，设对于任意 $z in FF$，$p(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + a_3 z^3 + a_4 z^4$，则可以将其表示为
$ p = a_0 p_0 + a_1 p_1 + a_2 p_2 + a_3 p_3 + a_4 p_4 $
#tab 这说明 $Poly_4(FF) = span(p_0, p_1, p_2, p_3, p_4)$。因此，根据“线性无关组的长度 $<=$ 张成组的长度”（原书定理2.22），我们可以得出结论，$Poly_4(FF)$ 上的线性无关组的长度不能超过 $4$。
#tab 这说明 $Poly_4(FF) = span(p_0, p_1, p_2, p_3, p_4)$。因此，根据“线性无关组的长度 $<=$ 张成组的长度”（原书定理2.22），我们可以得出结论，$Poly_4(FF)$ 上的线性无关组的长度不能超过 $5$。
#tab 所以，在 $Poly_4(FF)$ 上不存在由六个多项式组成的线性无关组。
]