diff --git a/sections/1C.typ b/sections/1C.typ index 670421e..d413843 100644 --- a/sections/1C.typ +++ b/sections/1C.typ @@ -481,3 +481,30 @@ #tab 该反例说明,题目中的命题不成立。 ] + +#exercise_sol(type: "answer")[ + 令 + + $ U = {(x, x, y, y) in FF^4 : x,y in FF} $ + + 求 $FF^4$ 的一个子空间 $W$,使得 $FF^4 = U plus.circle W$。 +][ + 取 + + $ W = {(x, 0, y, 0) in FF^4 : x,y in FF} $ + + #tab 我们首先证明 $FF^4 = U + W$。任取 $u = (a, b, c, d) in FF^4$,注意到 $u = v_1 + v_2$,其中, + + $ v_1 &= (b, b, d, d) in U \ + v_2 &= (a - b, 0, c - d, 0) in W $ + + #tab 进一步地,我们说明这个和是直和。根据两个子空间的直和的条件(原书定理1.46),我们只需说明 $U inter W = {0}$。设 $v in U inter W$,那么存在 $a, b, c, d in FF$,使得 + + $ (a, a, b, b) = v = (c, 0, d, 0) $ + + #tab 这解得 $a = b = c = d = 0$,故 $U inter W = {0}$。 + + #tab 综上所述,$FF^4 = U plus.circle W$。 +] + +#note[这并不是 $W$ 唯一的构造方案。]