From c4b1fdc7a714c2992fa55d7515f4741ea977dd84 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: szdytom Date: Wed, 9 Jul 2025 16:54:35 +0800 Subject: [PATCH] 1C p0 Signed-off-by: szdytom --- sections/1C.typ | 27 +++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 27 insertions(+) diff --git a/sections/1C.typ b/sections/1C.typ index 670421e..d413843 100644 --- a/sections/1C.typ +++ b/sections/1C.typ @@ -481,3 +481,30 @@ #tab 该反例说明，题目中的命题不成立。 ] + +#exercise_sol(type: "answer")[ + 令 + + $ U = {(x, x, y, y) in FF^4 : x,y in FF} $ + + 求 $FF^4$ 的一个子空间 $W$，使得 $FF^4 = U plus.circle W$。 +][ + 取 + + $ W = {(x, 0, y, 0) in FF^4 : x,y in FF} $ + + #tab 我们首先证明 $FF^4 = U + W$。任取 $u = (a, b, c, d) in FF^4$，注意到 $u = v_1 + v_2$，其中， + + $ v_1 &= (b, b, d, d) in U \ + v_2 &= (a - b, 0, c - d, 0) in W $ + + #tab 进一步地，我们说明这个和是直和。根据两个子空间的直和的条件（原书定理1.46），我们只需说明 $U inter W = {0}$。设 $v in U inter W$，那么存在 $a, b, c, d in FF$，使得 + + $ (a, a, b, b) = v = (c, 0, d, 0) $ + + #tab 这解得 $a = b = c = d = 0$，故 $U inter W = {0}$。 + + #tab 综上所述，$FF^4 = U plus.circle W$。 +] + +#note[这并不是 $W$ 唯一的构造方案。]