From c598e9fdff2d398fab457fb45d41b14dfe245e75 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: szdytom Date: Sun, 27 Jul 2025 22:35:16 +0800 Subject: [PATCH] 3A p4 Signed-off-by: szdytom --- sections/3A.typ | 19 +++++++++++++++++++ 1 file changed, 19 insertions(+) diff --git a/sections/3A.typ b/sections/3A.typ index b4214c4..4ac1e53 100644 --- a/sections/3A.typ +++ b/sections/3A.typ @@ -96,3 +96,22 @@ #tab 这立即给出了我们想要的结果。 ] + +#exercise_sol(type: "proof")[ + 设 $T in LinearMap(V, W)$ 且 $v_1, dots, v_m$ 是 $V$ 中的一组向量，使得向量组 $T v_1, dots, T v_m$ 在 $W$ 中是线性无关的。证明：向量组 $v_1, dots, v_m$ 是线性无关的。 +][ + 我们证明其逆否命题，即若 $v_1, dots, v_m$ 是线性相关的，则 $T v_1, dots, T v_m$ 也是线性相关的。现在假设 $v_1, dots, v_m$ 是线性相关的。 + + #tab 根据线性相关的定义（原书2.17），存在 $a_1, dots, a_m in FF$，使得 + + $ a_1 v_1 + dots.c + a_m v_m = 0 $ + + #tab 其中 $a_1, dots, a_m$ 不全为 $0$。由于 $T$ 是线性映射，根据线性映射将 $0$ 映射到 $0$（原书3.10），我们有 + + $ 0 = T 0 &= T(a_1 v_1 + dots.c + a_m v_m) \ + &= a_1 T v_1 + dots.c + a_m T v_m \ $ + + #tab 这立即说明 $T v_1, dots, T v_m$ 是线性相关的。 + + #tab 一个命题成立，当且仅当其逆否命题成立。因此，原命题得证。 +]