From c5aa4c5ff5f23cf02f9dbaa98b3e25607ea6f1f0 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: szdytom Date: Mon, 14 Jul 2025 15:50:23 +0800 Subject: [PATCH] 2C p2 Signed-off-by: szdytom --- sections/2C.typ | 16 ++++++++++++++++ 1 file changed, 16 insertions(+) diff --git a/sections/2C.typ b/sections/2C.typ index b769344..40f8f53 100644 --- a/sections/2C.typ +++ b/sections/2C.typ @@ -14,3 +14,19 @@ #tab 综上所述，$RR^2$ 的子空间恰有 ${0}$，$RR^2$ 中所有过原点的直线，以及 $RR^2$ 本身。 ] + +#exercise_sol(type: "proof")[ + 证明：$RR^3$ 的子空间恰有 ${0}$，$RR^3$ 中所有过原点的直线，$RR^3$ 中所有过原点的平面，以及 $RR^3$ 本身。 +][ + 设 $U$ 是 $RR^3$ 的子空间，根据子空间的维数性质（原书2.37），有 $dim U in {0, 1, 2, 3}$。 + + - 如果 $dim U = 0$，则 $U = span() = {0}$； + + - 如果 $dim U = 1$，则存在一个非零向量 $v$，使得 $U = span(v)$，即 $U$ 是过原点的直线； + + - 如果 $dim U = 2$，则存在两个线性无关的向量 $v_1, v_2$，使得 $U = span(v_1, v_2)$，即 $U$ 是过原点的平面； + + - 如果 $dim U = 3$，则根据满维数的子空间等于整个空间（原书2.39），$U = RR^3$。 + + #tab 综上所述，$RR^3$ 的子空间恰有 ${0}$，$RR^3$ 中所有过原点的直线，$RR^3$ 中所有过原点的平面，以及 $RR^3$ 本身。 +]