From c8cbb15534d313e20ffb1bfa138f5df186f01556 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: szdytom Date: Wed, 9 Jul 2025 20:52:45 +0800 Subject: [PATCH] 1C p23 Signed-off-by: szdytom --- sections/1B.typ | 6 +++--- sections/1C.typ | 23 ++++++++++++++++++++++- 2 files changed, 25 insertions(+), 4 deletions(-) diff --git a/sections/1B.typ b/sections/1B.typ index 92da18d..093af9e 100644 --- a/sections/1B.typ +++ b/sections/1B.typ @@ -63,12 +63,12 @@ 令 $infinity$ 和 $-infinity$ 是不在 $RR$ 中的不同对象。以最符合直觉的方式定义 $RR union {infinity, -infinity}$ 上的加法和标量乘法。具体而言，两个实数的和和积照常定义，而对于 $t in RR$，我们定义 $ t infinity = cases( - -infinity tab& "若 " t<0 "，", + -infinity wide& "若 " t<0 "，", 0 &"若 " t=0 "，", infinity &"若 " t>0 "；") - tab + wide t (-infinity) = cases( - infinity tab& "若 " t<0 "，", + infinity wide& "若 " t<0 "，", 0 &"若 " t=0 "，", -infinity &"若 " t>0 "；") $ diff --git a/sections/1C.typ b/sections/1C.typ index e11d3a7..4a5ff85 100644 --- a/sections/1C.typ +++ b/sections/1C.typ @@ -367,7 +367,7 @@ #tab 我们首先说明，任意一个 $V_j$ 都不是另外两个的并集的子集。否则，不妨设 $V_1 subset.eq V_2 union V_3$，则 $V_1 union V_2 union V_3 = V_2 union V_3$ 是 $V$ 的子空间。应用@1C-when-union-of-two-subspaces-is-subspace，可以推出 $V_2 subset.eq V_3$ 或 $V_3 subset.eq V_2$，这说明 $V_2$ 或 $V_3$ 包含另外两个，矛盾，故假设不成立。因此， - $ V_1 subset.eq.not V_2 union V_3 tab and tab V_2 union V_3 subset.eq.not V_1 $ + $ V_1 subset.eq.not V_2 union V_3 wide and wide V_2 union V_3 subset.eq.not V_1 $ #tab 所以可以找到 $u, v in V$ 使得 $u in V_1$ 且 $u in.not V_2 union V_3$，以及 $v in V_2 union V_3$ 且 $v in.not V_1$。由于 $V_1$，$V_2$ 和 $V_3$ 都包含 $0$，因此 $u != 0$ 且 $v != 0$。我们取集合 $v + span(u)$#footnote[记号 $span$ 在后续的2A节中由原书定义2.19定义，而记号 $v + V$ 表示平移，由后续3E节原书定义3.97定义。但是这里无需明白这些定义，将其当作一个集合的名字即可。]， @@ -578,3 +578,24 @@ #tab 这个方程组的唯一解是 $a = b = c = d = e = 0$，这说明 $0$ 只有唯一的表示方式。根据直和的条件（原书定理1.45），我们确认 $FF^5 = U plus.circle W_1 plus.circle W_2 plus.circle W_3$。 ] + +#exercise_sol(type: "answer")[ + 证明或证伪：如果 $V_1$，$V_2$，$U$ 都是 $V$ 的子空间，且 + + $ V = V_1 plus.circle U wide and wide V = V_2 plus.circle U $ + + 则有 $V_1 = V_2$。 + + #note(supplement: "提示")[在尝试确认线性代数中的一个命题是否成立时，先在 $FF^2$ 中试试，通常时很有帮助的。] +][ + 令 + + $ V &= FF^2 \ + U &= {(0, x) in FF^2 : x in FF} \ + V_1 &= {(x, 0) in FF^2 : x in FF} \ + V_2 &= {(x, x) in FF^2 : x in FF} $ + + #tab 容易验证，$V = V_1 plus.circle U$ 且 $V = V_2 plus.circle U$，但 $V_1 != V_2$。 + + #tab 该反例说明，题目中的命题不成立。 +]