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72cddc4bf8
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c93b7043ee
@ -497,9 +497,9 @@
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#let vd = $v_Delta$
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#let vd = $v_Delta$
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#tab 令 $vd = v - sum_(k = 1)^m c_k v_k$,则 $S vd = 0$,即 $vd in null S subset.eq null T$,故 $T vd = 0$,即
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#tab 令 $vd = v - sum_(k = 1)^m c_k v_k$,则 $S vd = 0$,即 $vd in null S subset.eq null T$,故 $T vd = 0$,即
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$ T v &= T (sum_(k = 1)^m c_k v_k) \
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$ T v = T (sum_(k = 1)^m c_k v_k)
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&= E (sum_(k = 1)^m c_k w_k) \
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= E (sum_(k = 1)^m c_k w_k)
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&= E S v $
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= E S v $
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#tab 这说明 $T = E S$。
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#tab 这说明 $T = E S$。
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@ -544,12 +544,12 @@
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#tab 即 $null P inter range P = {0}$。因此,根据“两个子空间的直和”(原书1.46),得 $V = null P plus.circle range P$。
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#tab 即 $null P inter range P = {0}$。因此,根据“两个子空间的直和”(原书1.46),得 $V = null P plus.circle range P$。
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#exercise_sol(type: "proof")[
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#exercise_sol(type: "proof", label: "tricky", ref: <E-Poly-lower-const-degree-surj>)[
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设 $D in LinearMap(Poly(RR))$,满足对于任意非常数多项式 $p in Poly(RR)$,都有 $deg D p = (deg p) - 1$。证明:$D$ 是满射。
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设 $D in LinearMap(Poly(RR))$,满足对于任意非常数多项式 $p in Poly(RR)$,都有 $deg D p = (deg p) - 1$。证明:$D$ 是满射。
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#note[上面的记号 $D$ 是用来让你想起微分映射#footnote[注意,微分映射是满足题设条件的映射,但并非满足题设条件的映射就一定是微分映射。],它将多项式 $p$ 映射到其导数 $p'$。]
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#note[上面的记号 $D$ 是用来让你想起微分映射#footnote[注意,微分映射是满足题设条件的映射,但并非满足题设条件的映射就一定是微分映射。],它将多项式 $p$ 映射到其导数 $p'$。]
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对于 $k in NN^+$,令 $p_k in Poly(RR)$ 为 $z -> z^k$,以及 $q_(k - 1) = D p_k$。于是 $deg p_k = k$,故 $deg q_k = deg q_(k + 1) - 1 = k$。设 $r in Poly(RR)$,使得 $deg r = m$,故 $r in Poly_m (RR)$。
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对于 $k in NN^+$,令 $p_k in Poly(RR)$ 为 $z |-> z^k$,以及 $q_(k - 1) = D p_k$。于是 $deg p_k = k$,故 $deg q_k = deg q_(k + 1) - 1 = k$。设 $r in Poly(RR)$,使得 $deg r = m$,故 $r in Poly_m (RR)$。
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#tab 根据#exercise_ref(<E-Poly-space-basis>),$q_0, dots, q_m$ 是 $Poly_m (RR)$ 的一组基。故存在 $a_0, dots, a_m in RR$,使得
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#tab 根据#exercise_ref(<E-Poly-space-basis>),$q_0, dots, q_m$ 是 $Poly_m (RR)$ 的一组基。故存在 $a_0, dots, a_m in RR$,使得
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@ -557,3 +557,13 @@
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#tab 这说明 $r$ 可以被 $sum_(k = 0)^m a_k p_(k + 1) in Poly(RR)$ 映射到,因此 $D$ 是满射。
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#tab 这说明 $r$ 可以被 $sum_(k = 0)^m a_k p_(k + 1) in Poly(RR)$ 映射到,因此 $D$ 是满射。
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#exercise_sol(type: "proof")[
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设 $p in Poly(RR)$。证明:存在多项式 $q in Poly(RR)$,使得 $5 q'' + 3q' = p$。
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#note[这道题不一定要用线性代数,但是线性代数的解答更有趣。]
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令 $Poly(RR)$ 上的映射 $T$ 为 $p |-> 5p'' + 3p'$,容易验证 $T$ 为线性映射,且对于任意 $p in Poly(RR)$,$deg T p = deg p - 1$。于是,根据@E-Poly-lower-const-degree-surj,$T$ 是满射。
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#tab 这说明,对于任意 $p in Poly(RR)$,都存在$q in Poly(RR)$,使得 $T q = p$,即 $5 q'' + 3q' = p$。
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