szTom/LADRSolutions
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2
sections/2C.typ
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@ -444,7 +444,7 @@
$ dim(V_1 + V_2 + V_3) =& dim V_1 + dim V_2 + dim V_3 \
&- dim(V_1 inter V_2) - dim(V_1 inter V_3) - dim(V_2 inter V_3) \
&+ dim(V_1 inter V_2 inter V_3) $
解释一下为什么这样猜测，然后证明以上公式，或给出反例。
][
有限集的并集的元素数量公式，由容斥原理给出，对于三个集合而言，

42
sections/3A.typ
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@ -82,7 +82,7 @@
#note[此习题表明，线性映射 $T$ 具有在原书例3.3的倒数第二个例子中预示的形式。]
][
对于 $j in {1, dots, m}$ 和 $k in {1, dots, n}$，令 $w_j in FF^m$ 和 $v_k in FF^n$ 分别为第 $j$ 个和第 $k$ 个分量为 $1$，其余分量为 $0$ 的向量。
#tab 容易发现，$w_1, dots, w_m$ 是 $FF^m$ 的基，$v_1, dots, v_n$ 是 $FF^n$ 的基。于是，对于任意 $k in {1, dots, n}$，可以找到 $A_(1, 1), dots, A_(m, 1) in FF$，使得
$ T v_k = A_(1, k) w_1 + dots.c + A_(m, k) w_m $
@ -152,16 +152,12 @@
/ 加法逆元: 对任意 $T in LinearMap(V, W)$，存在 $-T in LinearMap(V, W)$，使得 $T + (-T) = 0$。 \
证明：取 $-T: v |-> -T v$，设 $v in V$，则
$ (T + (-T))v &= T v + (-T)v \
&= T v - T v \
&= 0 \
&= 0 v $
$ (T + (-T))v &= T v + (-T)v = T v - T v = 0 = 0 v $
因此 $T + (-T) = 0$。
/ 乘法单位元: 对于任意 $T in LinearMap(V, W)$，$1 T = T$。 \
证明：设 $v in V$，则
$ (1 T)v &= 1(T v) \
&= T v $
$ (1 T)v = 1(T v) = T v $
因此 $1 T = T$。
/ 分配性质: 对于任意 $T, S in LinearMap(V, W)$ 和 $a, b in FF$，都有 $a(T + S) = a T + a S$，以及 $(a + b)T = a T + b T$。\
@ -177,3 +173,35 @@
&= (a T + b T)v $
因此 $(a + b)T = a T + b T$。
]
#exercise_sol(type: "proof")[
证明：线性映射的乘法具有可结合性、单位元和分配性质，即原书 3.8 的结论。
][
我们逐条验证线性映射满足这些性质。
/ 可结合性: 对于任意使乘积有意义的线性映射 $T_1$，$T_2$ 和 $T_3$（即 $T_3$ 映射到 $T_2$ 的定义空间中，$T_2$ 映射到 $T_1$ 的定义空间中），都有 $(T_1 T_2) T_3 = T_1 (T_2 T_3)$。 \
证明：设 $v$ 是 $T_3$ 的定义空间中的任意向量，则
$ ((T_1 T_2) T_3)v = T_1(T_2(T_3 v)) = (T_1 (T_2 T_3))v $
因此 $(T_1 T_2) T_3 = T_1 (T_2 T_3)$。
/ 单位元: 对于任意 $T in LinearMap(V, W)$，都有 $T I = I T = T$。这里的第一个 $I$ 是 $V$ 上的恒等变换，而第二个 $I$ 是 $W$ 上的恒等变换。 \
证明：设 $v in V$，对于 $I T = T$，有
$ (I T)v = I(T v) = T v $
因此 $I T = T$。另一方面，对于 $T I = T$，
$ (T I)v = T(I v) = T v $
因此 $T I = T$。
/ 分配性质: 对于任意 $T, T_1, T_2 in LinearMap(U, V)$ 和 $S, S_1, S_2 in LinearMap(V, W)$，有 $(S_1 + S_2) T = S_1 T + S_2 T$ 且 $S(T_1 + T_2) = S T_1 + S T_2$。 \
证明：设 $v in U$，则对于第一个分配性质，有
$ ((S_1 + S_2) T)v &= (S_1 + S_2)(T v) \
&= S_1(T v) + S_2(T v) \
&= (S_1 T + S_2 T)v $
因此 $(S_1 + S_2) T = S_1 T + S_2 T$。另一方面，对于第二个分配性质，有
$ (S(T_1 + T_2))v &= S((T_1 + T_2)v) \
&= S(T_1 v + T_2 v) \
&= S(T_1 v) + S(T_2 v) \
&= (S T_1 + S T_2)v $
因此 $S(T_1 + T_2) = S T_1 + S T_2$。
#tab 综上所述，线性映射的乘法具有可结合性、单位元和分配性质。
]