From d35ed73ae788651b63c70170125c5289458e2964 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: szdytom Date: Sat, 12 Jul 2025 00:00:22 +0800 Subject: [PATCH] 2A p6 Signed-off-by: szdytom --- sections/1C.typ | 2 +- sections/2B.typ | 37 +++++++++++++++++++++++++++++++++++-- 2 files changed, 36 insertions(+), 3 deletions(-) diff --git a/sections/1C.typ b/sections/1C.typ index cdb2be8..650975d 100644 --- a/sections/1C.typ +++ b/sections/1C.typ @@ -215,7 +215,7 @@ ] #exercise_sol(type: "proof")[ - 证明或推翻：如果 $U$ 是 $RR^2$ 的非空子集，满足对加法封闭和对“取加法逆元”封闭（即 $u in U$ 意味着 $-u in U$），那么 $U$ 是 $RR^2$ 的子空间。 + 证明或证伪：如果 $U$ 是 $RR^2$ 的非空子集，满足对加法封闭和对“取加法逆元”封闭（即 $u in U$ 意味着 $-u in U$），那么 $U$ 是 $RR^2$ 的子空间。 ][ 取 $U = {(1, 0), (0, 0), (-1, 0)}$，容易验证 $U$ 满足对加法封闭和对“取加法逆元”封闭。但是，取 $u = (1, 0) in U$, $2u = (2, 0) in.not U$，这违反了子空间的条件（原书定理1.34）中对“数乘封闭性”的要求。由此，$U$ 不是 $RR^2$ 的子空间。 diff --git a/sections/2B.typ b/sections/2B.typ index b12a948..11b0de8 100644 --- a/sections/2B.typ +++ b/sections/2B.typ @@ -95,7 +95,7 @@ #tab 这表明 ${(x, y, z) in FF^3 : x + y + z = 0}$ 中的每个向量都可以唯一地被表示为向量组 $(1, -1, 0), (1, 0, -1)$ 的线性组合。所以，根据基的判定准则，向量组 $(1, -1, 0), (1, 0, -1)$ 是 ${(x, y, z) in FF^3 : x + y + z = 0}$ 的基。 - #tab 对于 (g)，根据多项式的次数的定义（原书定义2.12），立即可得 $1, z, dots, z^m$ 张成 $Poly_m (FF)$。现在反证假设 $1, z, dots, z^m$ 不是线性无关的。即存在 $a_0, dots, a_m in FF$，其中至少有一个不为 $0$，使得对于任意 $z in FF$，有 + #tab 对于 (g)，根据多项式的次数的定义（原书定义2.11），立即可得 $1, z, dots, z^m$ 张成 $Poly_m (FF)$。现在反证假设 $1, z, dots, z^m$ 不是线性无关的。即存在 $a_0, dots, a_m in FF$，其中至少有一个不为 $0$，使得对于任意 $z in FF$，有 $ a_0 + a_1 z + dots + a_m z^m = 0 $ @@ -114,7 +114,7 @@ #tab 矛盾，因此 $1, z, dots, z^m$ 是线性无关的。根据基的定义，$1, z, dots, z^m$ 是 $Poly_m (FF)$ 的基。 ] -#note[对于 (g)，值得一提的是，上面证明的核心部分表明，多项式的系数是唯一的。这个巧妙的证明来自原书第三版的正文（定理4.7），然而在第四版中被删除了。] +#note[对于 (g)，值得一提的是，上面证明的核心部分表明，多项式的系数是唯一的。这个巧妙的证明来自原书第三版的正文（定理4.7），然而在第四版中被删除了，取而代之的是不那么直接的原书定理4.8。] #exercise_sol(type: "answer")[ + 设 $U$ 为 $RR^5$ 的子空间，定义为 @@ -265,3 +265,36 @@ #tab 由于每个张成组都包含基（原书定理2.30），因此 $V$ 有一个由 $U union W$ 中的向量组成的基。 ] + +#exercise_sol(type: "answer")[ + 证明或证伪：如果 $p_0, p_1, p_2, p_3$ 是 $Poly_3(FF)$ 中的向量组，该组中的每个多项式次数都不为 $2$，那么 $p_0, p_1, p_2, p_3$ 不是 $Poly_3(FF)$ 的基。 +][ + 取 $FF -> FF$ 上的函数 $p_0, dots, p_3$ + + $ p_0:& z -> 1 \ + p_1:& z -> z \ + p_2:& z -> z^2 + z^3 \ + p_3:& z -> z^3 $ + + #tab 设 $p in Poly_3(FF)$，则根据多项式的次数的定义（原书定义2.11），存在 $a_0, dots, a_3 in FF$，使得对于任意 $z in FF$，有 + + $ p(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + a_3 z^3 $ + + #tab 于是， + + $ p = a_0 p_0 + a_1 p_1 + a_2 p_2 + (a_3 - a_2) p_3 $ + + #tab 这表明 $p$ 可以被表示为向量组 $p_0, p_1, p_2, p_3$ 的线性组合，即 $p_0, p_1, p_2, p_3$ 张成 $Poly_3(FF)$。 + + #tab 设 $a_0, a_1, a_2, a_3 in FF$，满足 + + $ a_0 p_0 + a_1 p_1 + a_2 p_2 + a_3 p_3 = 0 $ + + #tab 即对于任意 $z in FF$，有 + + $ a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + (a_2 + a_3) z^3 = 0 $ + + #tab 根据多项式系数的唯一性，我们有 $a_0 = a_1 = a_2 = a_3 = 0$。这表明向量组 $p_0, p_1, p_2, p_3$ 是线性无关的。 + + #tab 综上所述，$p_0, p_1, p_2, p_3$ 是 $Poly_3(FF)$ 的基，故原命题不成立。 +]