From dcf34648c8928e9ad1abb9a32eedc7b0b43ff4a4 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: szdytom Date: Thu, 17 Jul 2025 00:27:26 +0800 Subject: [PATCH] 2C p18 Signed-off-by: szdytom --- sections/2C.typ | 10 ++++++++++ 1 file changed, 10 insertions(+) diff --git a/sections/2C.typ b/sections/2C.typ index 82fe31f..dd4adb0 100644 --- a/sections/2C.typ +++ b/sections/2C.typ @@ -404,6 +404,8 @@ 设 $V_1, dots, V_m$ 都是 $V$ 的有限维子空间，证明：$V_1 + dots.c + V_m$ 是有限维的，且 $ dim(V_1 + dots.c + V_m) <= dim V_1 + dots.c + dim V_m $ + + #note[以上不等式取等，当且仅当 $V_1 + dots.c + V_m$ 是直和，这将在原书3.94中得到证明。] ][ 我们关于 $m$ 使用数学归纳法。 @@ -422,3 +424,11 @@ #tab 综上所述，$V_1 + dots.c + V_m$ 是有限维的，且 $dim(V_1 + dots.c + V_m) <= dim V_1 + dots.c + dim V_m$。 ] + +#exercise_sol(type: "proof")[ + 设 $V$ 是有限维向量空间，$dim V = n >= 1$。证明：存在 $V$ 的一维子空间 $V_1, dots, V_n$，使得 + + $ V = V_1 plus.circle dots.c plus.circle V_n $ +][ + 设 $v_1, dots, v_n$ 是 $V$ 的一组基。我们可以取 $V_k = span(v_k)$，其中 $k in {1, dots, n}$。注意到 $dim V_k = 1$，因此 $V_1, dots, V_n$ 都是 $V$ 的一维子空间。根据基的判定准则（原书2.28）和直和的定义（原书1.41），我们立即得到 $V = V_1 plus.circle dots.c plus.circle V_n$。 +]