szTom/LADRSolutions
1
0
Fork 0
mirror of https://github.com/szdytom/LADRSolutions.git synced 2025-10-19 16:30:16 +00:00
Code Issues Packages Projects Releases Wiki Activity

Fix lint

Browse Source 
Signed-off-by: szdytom <szdytom@qq.com>
This commit is contained in:
方而静 2025-07-13 22:23:23 +08:00
parent bbd1b9b32b
commit dfe865ab6e
Signed by: szTom
GPG Key ID: 072D999D60C6473C
5 changed files with 76 additions and 76 deletions
Show Stats Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files

8
sections/1A.typ
View File

@ -56,10 +56,10 @@
#tab 因此，这样的 $beta$ 存在。为了说明其唯一性，假设存在另一个 $beta'$，也满足 $alpha + beta' = 0$，则有
$ beta = beta + 0
= beta + (alpha + beta')
= (beta + alpha) + beta'
= 0 + beta'
$ beta = beta + 0
= beta + (alpha + beta')
= (beta + alpha) + beta'
= 0 + beta'
= beta' $
]

18
sections/1B.typ
View File

@ -3,7 +3,7 @@
#exercise_sol(type: "proof")[
证明：$-(-v)=v$ 对任一 $v in V$ 都成立。
#note[沿用原书记号1.29，即 $V$ 表示 $FF$ 上的向量空间。下文不再赘述。]
][
根据定义 $v + (-v) = 0$，由可交换性，得 $(-v) + v = 0$，即 $v$ 是 $-v$ 的加法逆元。由加法逆元的唯一性（原书定理1.27），得 $-(-v) = v$。
@ -71,13 +71,13 @@
infinity wide& "若 " t<0 "，",
0 &"若 " t=0 "，",
-infinity &"若 " t>0 "；") $
#tab 以及
$ t + infinity &= infinity + t = infinity + infinity = infinity "，" \
t + (-infinity) &= (-infinity) + t = (-infinity) + (-infinity) = -infinity "，" \
infinity + (-infinity) &= (-infinity) + infinity = 0 $
#tab 具有这样的加法和标量乘法的 $RR union {infinity, -infinity}$ 是 $RR$ 上的向量空间吗？解释一下。
][
不是。任取 $t in RR$（$t!=0$），注意到，
@ -92,7 +92,7 @@
设 $S$ 是非空集合，令 $V^S$ 表示所有从 $S$ 到 $V$ 的函数构成的集合。请在 $V^S$ 定义一种自然的加法和标量乘法，并证明：具有这些定义的 $V^S$ 是向量空间。
][
我们按如下方式定义 $V^S$ 上的加法和标量乘法：
- 对于 $f, g in V^S$，和 $f + g in V^S$ 是由下式定义的函数：对于所有 $x in S$，
$ (f + g)(x) = f(x) + g(x) $
- 对于 $lambda in FF$ 和 $f in V^S$，乘积 $lambda f in V^S$ 是由下式定义的函数：对于所有 $x in S$，
@ -108,7 +108,7 @@
/ 可结合性: 对于所有 $f, g, h in V^S$，都有 $(f + g) + h = f + (g + h)$。 \
证明：对于所有 $x in S$，有
$ ((f + g) + h)(x) &= (f + g)(x) + h(x) 、
&= f(x) + g(x) + h(x) \
&= f(x) + g(x) + h(x) \
&= f(x) + (g + h)(x) \
&= (f + (g + h))(x) $
因此 $(f + g) + h = f + (g + h)$。
@ -139,13 +139,13 @@
&= (a f)(x) + (b f)(x) \
&= (a f + b f)(x) $
因此 $(a + b)f = a f + b f$。
#tab 综上所述，$V^S$ 满足向量空间的所有要求，因此 $V^S$ 是 $FF$ 上的向量空间。
]
#exercise_sol(type: "proof", ref: <E-vector-dspace-complexification>)[
设 $V$ 是实向量空间。
- $V$ 的*复化（complexification）*记为 $complexification(V)$，等于 $V times V$。$complexification(V)$ 中的所有元素为有序对 $(u, v)$，其中 $u,v in V$，不过我们将其记作 $u + ii v$。
- $complexification(V)$ 上的加法定义为
@ -155,7 +155,7 @@
- $complexification(V)$ 上的标量乘法定义为
$ (a + b ii)(u + ii v) = (a u - b v) + ii (a v + b u) $
对所有 $a,b in RR$ 和所有 $u,v in V$ 都成立。
证明：具有如上加法和标量乘法定义的 $complexification(V)$ 是向量空间。
#note[将 $u in V$ 等同于 $u + ii 0$，从而将 $V$ 视为 $complexification(V)$ 的一个子集。这样一来，由 $V$ 构造 $complexification(V)$ 就可以视作由 $RR^n$ 构造 $CC^n$ 的推广。]
@ -207,6 +207,6 @@
&= a(u + ii v) + b(u + ii v) \
&= (a u + a ii v) + (b u + b ii v) \
&= a(u + ii v) + b(u + ii v) $
#tab 综上所述，$complexification(V)$ 满足向量空间的所有要求，因此 $complexification(V)$ 是 $CC$ 上的向量空间。
]

40
sections/1C.typ
View File

@ -21,7 +21,7 @@
/ 加法封闭性: $u,w in S_1$ 意味着 $u+w in S_1$。 \
证明：设 $u = (u_1, u_2, u_3)$，$w = (w_1, w_2, w_3)$，则 $u+w = (u_1+w_1, u_2+w_2, u_3+w_3)$。由于 $u_1 + 2u_2 + 3u_3 = 0$ 且 $w_1 + 2w_2 + 3w_3 = 0$，因此
$ (u+w)_1 + 2(u+w)_2 + 3(u+w)_3
$ (u+w)_1 + 2(u+w)_2 + 3(u+w)_3
&= (u_1+w_1) + 2(u_2+w_2) + 3(u_3+w_3) \
&= (u_1+2u_2+3u_3) + (w_1+2w_2+3w_3) \
&= 0 + 0 = 0 $
@ -29,12 +29,12 @@
/ 数乘封闭性: $a in FF$ 且 $u in S_1$ 意味着 $a u in S_1$。 \
证明：设 $u = (u_1, u_2, u_3)$，则 $a u = (a u_1, a u_2, a u_3)$。由于 $u_1 + 2u_2 + 3u_3 = 0$，因此
$ (a u)_1 + 2(a u)_2 + 3(a u)_3
$ (a u)_1 + 2(a u)_2 + 3(a u)_3
&= a u_1 + 2 a u_2 + 3 a u_3 \
&= a (u_1 + 2u_2 + 3u_3) \
&= a dot 0 = 0 $
故 $a u in S_1$。
#tab 综上所述，$S_1$ 是 $FF^3$ 的子空间。
#tab 对于 $S_2$，注意到 $0 + 2 dot 0 + 3 dot 0 = 0 != 4$，故 $0 in.not S_2$。这违反了“加法单位元”的要求，说明 $S_2$ 不是 $FF^3$ 的子空间。
@ -55,7 +55,7 @@
证明：设 $u = (u_1, u_2, u_3)$，则 $a u = (a u_1, a u_2, a u_3)$。由于 $u_1 = 5 u_3$，因此
$ a u_1 = a (5 u_3) = 5(a u_3) $
故 $a u in S_4$。
#tab 综上所述，$S_4$ 是 $FF^3$ 的子空间。
]
@ -63,7 +63,7 @@
验证下面这些有关子空间的结论。
+ 如果 $b in FF$，那么当且仅当 $b=0$ 时，
$ {(x_1,x_2,x_3,x_4) in FF^4 : x_3=5x_4 + b} $
$ {(x_1,x_2,x_3,x_4) in FF^4 : x_3=5x_4 + b} $
是 $FF^4$ 的子空间；
+ 定义在区间 $[0,1]$ 上的全体连续实值函数构成的集合是 $RR^([0,1])$ 的子空间；
+ 定义在 $RR$ 上的全体可微实值函数构成的集合是 $RR^RR$ 的子空间；
@ -105,12 +105,12 @@
/ 数乘封闭性: $a in RR$ 且 $u in S$ 意味着 $a u in S$。 \
证明：设 $u in S$，则 $u'(2) = 0$。因此
$ (a u)'(2) = a u'(2) = a dot 0 = 0 $
$ (a u)'(2) = a u'(2) = a dot 0 = 0 $
故 $a u in S$。
#tab 综上所述，当 $b=0$ 时，$S$ 是 $RR^((0,3))$ 的子空间。下面说明其必要性。假设 $b != 0$，此时，注意到 $0'(2) = 0 != b$，故 $0 in.not S$。这违反了“加法单位元”的要求，说明当 $b != 0$ 时，$S$ 不是 $RR^((0,3))$ 的子空间。由此，我们证明了第四个结论。
#tab 第五个结论也具有较强的数学分析背景，严格论证大大超出了“代数”的范围。从直觉上说，是很容易理解的，在此不再详细论证。
#tab 第五个结论也具有较强的数学分析背景，严格论证大大超出了“代数”的范围。从直觉上说，是很容易理解的，在此不再详细论证。
]
#exercise_sol(type: "proof")[
@ -151,7 +151,7 @@
证明：设 $u in S$，则
$ integral_0^1 (a u) = a integral_0^1 u = a dot 0 = 0 $
故 $a u in S$。
#tab 综上所述，当 $b=0$ 时，$S$ 是 $RR^([0,1])$ 的子空间。
]
@ -174,7 +174,7 @@
$ (a - b)(a^2 + a b + b^2) = 0 $
#tab 当 $a b>0$ 时，
$ a^2 + a b + b^2 > a^2 - 2 a b + b^2 = (a - b)^2 >= 0 $
#tab 当 $a b<0$ 时，
@ -204,7 +204,7 @@
#tab 综上所述，$S_RR$ 是 $RR^3$ 的子空间。
#tab 对于第二个集合 $S_CC={(a,b,c) in CC^3 : a^3 = b^3}$，注意到，取
$ u = ((-1 + sqrt(3) ii) / 2, 1, 0)"， " v = ((-1 - sqrt(3) ii) / 2, 1, 0) $
#tab 容易验证 $u, v in S_CC$，而
@ -228,7 +228,7 @@
给出一例：$RR^2$ 的非空子集 $U$，满足对标量数乘封闭，但不是 $RR^2$ 的子空间。
][
取
$ U = {(a, 0) : a in RR} union {(0, a) : a in RR} subset.eq RR^2 $
#tab 这个集合满足对标量数乘封闭，但不满足对加法封闭。比如，取 $u = (1, 0) in U$，$v = (0, 1) in U$，则 $u+v=(1, 1) in.not U$。因此 $U$ 不是 $RR^2$ 的子空间。
@ -359,7 +359,7 @@
设 $V_1, V_2, V_3$ 都是 $V$ 的子空间。我们首先说明充分性。不妨设 $V_1 subset.eq V_3$ 且 $V_2 subset.eq V_3$，则 $V_1 union V_2 union V_3 = V_3$ 是 $V$ 的子空间。
#tab 下面说明必要性。使用反证法，假设 $V_1 union V_2 union V_3$ 是 $V$ 的子空间，以及任意一个 $V_j$ 都不包含另外两个。
#tab 我们首先说明，任意一个 $V_j$ 都不是另外两个的并集的子集。否则，不妨设 $V_1 subset.eq V_2 union V_3$，则 $V_1 union V_2 union V_3 = V_2 union V_3$ 是 $V$ 的子空间。应用@E-when-union-of-two-subspaces-is-subspace，可以推出 $V_2 subset.eq V_3$ 或 $V_3 subset.eq V_2$，这说明 $V_2$ 或 $V_3$ 包含另外两个，矛盾，故假设不成立。因此，
$ V_1 subset.eq.not V_2 union V_3 wide and wide V_2 union V_3 subset.eq.not V_1 $
@ -384,8 +384,8 @@
#tab 由于 $u != 0$，因此 $f(x_1) = f(x_2)$ 当且仅当 $x_1 = x_2$。这说明 $f$ 是单射，即 $v + span(u)$ 至少和 $FF$ 一样大，因此 $v + span(u)$ 至少包含 $3$ 个元素。
#tab 根据抽屉原理#footnote[抽屉原理的一种通俗的说法是：若将 $n$ 个物品放在 $r$ 个盒子里，$r<n$，那么至少有一个盒子包含多于一个物品。在这里，相当于是将 $v + span(u)$ 中的大于等于 $3$ 个物品放入 $V_2$ 和 $V_3$ 两个盒子中。]，在 $V_2$ 与 $V_3$ 中至少有一个包含 $v + span(u)$ 中的两个元素。不妨设 $V_2$ 包含 $v + span(u)$ 中的两个元素 $w_1 = v + mu_1 u$ 和 $w_2 = v + mu_2 u$，其中 $mu_1, mu_2 in FF$ 且 $mu_1 != mu_2$。由于 $V_2$ 是向量空间，故
#tab 根据抽屉原理#footnote[抽屉原理的一种通俗的说法是：若将 $n$ 个物品放在 $r$ 个盒子里，$r<n$，那么至少有一个盒子包含多于一个物品。在这里，相当于是将 $v + span(u)$ 中的大于等于 $3$ 个物品放入 $V_2$ 和 $V_3$ 两个盒子中。]，在 $V_2$ 与 $V_3$ 中至少有一个包含 $v + span(u)$ 中的两个元素。不妨设 $V_2$ 包含 $v + span(u)$ 中的两个元素 $w_1 = v + mu_1 u$ 和 $w_2 = v + mu_2 u$，其中 $mu_1, mu_2 in FF$ 且 $mu_1 != mu_2$。由于 $V_2$ 是向量空间，故
$ w_1 - w_2 = (v + mu_1 u) - (v + mu_2 u) = (mu_1 - mu_2)u in V_2 $
#tab 由于 $mu_1 != mu_2$，我们立即得到 $u in V_2$，而这与 $u in.not V_2 union V_3$ 矛盾，故假设不成立。
@ -408,7 +408,7 @@
$ v_1 &= ((a - b) / 2, -(a - b) / 2, a - b) in U \
v_2 &= ((a + b) / 2, (a + b) / 2, a + b) in W $
#tab 故 $u in U + W$，这表明 $S subset.eq U + W$。另一方面，设 $u = (a + b, -a + b, 2a + 2b)$，其中 $a, b in FF$，即 $u in U + W$。注意到 $u = (x, y, 2x)$，其中
$ cases(x = a + b, y = -a + b) $
@ -439,7 +439,7 @@
][
是的。我们有
$ (V_1 + V_2) + V_3
$ (V_1 + V_2) + V_3
&= {u + w : u in V_1 + V_2, w in V_3} \
&= {u + w : u in {v_1 + v_2 : v_1 in V_1, v_2 in V_2}, w in V_3} \
&= {v_1 + v_2 + w : v_1 in V_1, v_2 in V_2, w in V_3} \
@ -467,7 +467,7 @@
][
令
$ V &= RR^3 \
$ V &= RR^3 \
U &= {(0, x, y) in RR^3 : x,y in RR} \
V_1 &= {0} \
V_2 &= {(0, x, 0) in RR^3 : x in RR} $
@ -603,7 +603,7 @@
对所有 $x in RR$ 成立。函数 $f: RR -> RR$ 被成为*奇的（odd）*，是指
$ f(-x) = -f(x) $
对所有 $x in RR$ 成立。令 $V_"e"$ 代表 $RR$ 上的实值偶函数构成的集合，$V_"o"$ 代表 $RR$ 上的实值奇函数构成的集合。证明：$RR^RR = V_"e" + V_"o"$。
][
#let ve = $V_"e"$
@ -616,10 +616,10 @@
fo(x) &= 1/2(f(x) - f(-x)) $
#tab 注意到
$ fe(-x) &= 1/2(f(-x) + f(x)) &= fe(x) \
fo(-x) &= 1/2(f(-x) - f(x)) &= fo(x) $
#tab 因此 $fe in ve$ 且 $fo in vo$。这说明 $f = fe + fo in ve + vo$，即 $RR^RR = ve + vo$。
#tab 下面说明 $ve inter vo = {0}$。设 $f in ve inter vo$，则 $f$ 是偶函数且奇函数。我们有

46
sections/2A.typ
View File

@ -73,7 +73,7 @@
&= sum_(j=1)^m sum_(i=j)^m (a_i - a_(i + 1))v_j \
&= sum_(j=1)^m (sum_(i=j)^m a_i - sum_(i=j)^m a_(i + 1)) v_j \
&= sum_(j=1)^m a_j v_j = u $
#tab 这说明 $u$ 可以用 $w_1, dots, w_m$ 线性表示，因此 $span(v_1, dots, v_m) subset.eq span(w_1, dots, w_m)$。另一方面，设 $u in span(w_1, dots, w_m)$，则 $u$ 可以表示为
$ u = a_1 w_1 + dots.c + a_m w_m $
@ -84,7 +84,7 @@
#tab 其中对于 $k in {1, dots, m}$，$b_k = a_k + dots.c + a_m$。为了验证这一点，我们带入 $b_i$ 和 $w_i$ 的定义，得到
$ b_1 v_1 + dots.c + b_m v_m
$ b_1 v_1 + dots.c + b_m v_m
&= sum_(i=1)^m (sum_(j=i)^m a_j) v_i \
&= sum_(i=1)^m sum_(j=i)^m a_j v_i \
&= sum_(j=1)^m sum_(i=1)^j a_j v_i \
@ -92,8 +92,8 @@
&= sum_(j=1)^m a_j w_j = u $
#tab 这说明 $u$ 可以用 $v_1, dots, v_m$ 线性表示，因此 $span(w_1, dots, w_m) subset.eq span(v_1, dots, v_m)$。
#tab 综上所述，$span(v_1, dots, v_m) = span(w_1, dots, w_m)$。
#tab 综上所述，$span(v_1, dots, v_m) = span(w_1, dots, w_m)$。
]
#exercise_sol(type: "proof", ref: <E-when-1-or-2-vectors-indep>)[
@ -109,7 +109,7 @@
#tab 根据线性无关的定义（原书定义2.15），向量组 $0$ 不是线性无关的。
#tab 对于第二个命题，设 $v_1, v_2 in V$。首先说明充分性：使用反证法，假设 $v_1$ 和 $v_2$ 不是线性无关的，即存在 $a_1, a_2 in FF$，使得
$ a_1 v_1 + a_2 v_2 = 0 $
#tab 其中 $a_1$ 和 $a_2$ 中至少有一个向量不为 $0$。不妨设 $a_1 != 0$，那么，可以整理得
@ -141,9 +141,9 @@
#exercise_sol(type: "proof")[
证明：向量组
$ (2, 3, 1), (1, -1, 2), (7, 3, c) $
在 $FF^3$ 中线性相关，当且仅当 $c = 8$。
][
首先说明充分性：当 $c = 8$ 时，注意到
@ -169,7 +169,7 @@
$ (c - 8) a_1 = 0 $
#tab 由于 $c!=8$，只能有 $a_1 = 0$，而这将给出 $a_1 = a_2 = a_3 = 0$，与反证假设矛盾，故假设不成立。
#tab 综上所述，向量组 $(2, 3, 1), (1, -1, 2), (7, 3, c)$ 在 $RR^3$ 中线性相关当且仅当 $c = 8$。
]
@ -188,7 +188,7 @@
设 $v_1, v_2, v_3, v_4$ 是 $V$ 中的线性无关向量组。证明：向量组
$ v_1 - v_2, v_2 - v_3, v_3 - v_4, v_4 $
也线性无关。
][
设 $a_1, a_2, a_3, a_4 in FF$，使得
@ -198,13 +198,13 @@
#tab 整理得到
$ a_1 v_1 + (a_2 - a_1) v_2 + (a_3 - a_2) v_3 + (a_4 - a_3) v_4 = 0 $
#tab 由于 $v_1, v_2, v_3, v_4$ 线性无关，根据线性无关的定义（原书定义2.15），只能有
$ cases(
a_1 = 0,
a_2 - a_1 = 0,
a_3 - a_2 = 0,
a_1 = 0,
a_2 - a_1 = 0,
a_3 - a_2 = 0,
a_4 - a_3 = 0
) $
@ -269,7 +269,7 @@
$ v_1 &= (1, 0), wide &v_2 = (0, 1) \
w_1 &= (0, 1), &w_2 = (1, 0) $
#tab 容易验证这两个向量组都是 $RR^2$ 中的线性无关向量组。然而，注意到
$ 1(v_1 + w_1) + (-1)(v_2 + w_2) = 1(1, 1) + (-1)(1, 1) = 0 $
@ -291,7 +291,7 @@
#show: math_numbering(false)
#tab 其中 $a_1, dots, a_m$ 中至少有一个不为 $0$。
#tab 下面我们说明 $a_1 + dots.c + a_m != 0$。整理@2A-vi-plus-w-is-dependent-def 可得
$ a_1 v_1 + dots.c + a_m v_m + (a_1 + dots.c + a_m) w = 0 $
@ -339,7 +339,7 @@
$ a_1 v_1 + dots.c + a_m v_m = 0 $
#tab 这与题目条件中 $v_1, dots, v_m$ 线性无关矛盾。因此，$a_(m+1) != 0$。
#tab 所以，我们可以将@2A-v-union-w-is-dependent-def 改写为
$ w = -(a_1 v_1 + dots.c + a_m v_m) / a_(m+1) $
@ -351,9 +351,9 @@
#tab 则有
$ w = b_1 v_1 + dots.c + b_m v_m $
#tab 这表明 $w in span(v_1, dots, v_m)$，与反证假设 $w in.not span(v_1, dots, v_m)$ 矛盾。因此，$v_1, dots, v_m, w$ 线性无关。
#tab 综上所述，$v_1, dots, v_m, w$ 线性无关当且仅当 $w in.not span(v_1, dots, v_m)$。
]
@ -402,7 +402,7 @@
#tab 其中对于 $k in {1, dots, m}$，$b_k = a_k + dots.c + a_m$。为了验证这一点，我们带入 $b_i$ 和 $w_i$ 的定义，得到
$ b_1 v_1 + dots.c + b_m v_m
$ b_1 v_1 + dots.c + b_m v_m
&= sum_(i=1)^m (sum_(j=i)^m a_j) v_i \
&= sum_(i=1)^m sum_(j=i)^m a_j v_i \
&= sum_(j=1)^m sum_(i=1)^j a_j v_i \
@ -416,7 +416,7 @@
a_2 + dots.c + a_m = 0,
dots.c,
a_(m-1) + a_m = 0,
a_m = 0
a_m = 0
) $
#tab 这解得 $a_1 = dots.c = a_m = 0$，于是根据线性无关的定义（原书定义2.15），向量组 $w_1, dots, w_m$ 线性无关。
@ -436,7 +436,7 @@
$ p = a_0 p_0 + a_1 p_1 + a_2 p_2 + a_3 p_3 + a_4 p_4 $
#tab 这说明 $Poly_4(FF) = span(p_0, p_1, p_2, p_3, p_4)$。因此，根据“线性无关组的长度 $<=$ 张成组的长度”（原书定理2.22），我们可以得出结论，$Poly_4(FF)$ 上的线性无关组的长度不能超过 $5$。
#tab 所以，在 $Poly_4(FF)$ 上不存在由六个多项式组成的线性无关组。
]
@ -479,7 +479,7 @@
/ 第 $1$ 步: \
任取 $v_1 in V$，使得 $v_1 != 0$。根据@E-when-1-or-2-vectors-indep 中的结论，向量组 $v_1$ 是线性无关的。
/ 第 $k$ 步: \
由于 $V$ 是无限维的，存在一个向量 $v_k in V$，使得 $v_k in.not span(v_1, dots, v_(k-1))$。根据@E-when-vector-list-append-remains-indep 中的结论，向量组 $v_1, dots, v_k$ 线性无关。
@ -591,6 +591,6 @@
$ b1:& FF -> FF \ &z |-> 1 $
#tab 有 $b1 in Poly_m (FF)$。同时，注意到 $b1(2) != 0$，因此 $b1 in.not span(v_1, dots, v_m)$。根据@E-when-vector-list-append-remains-indep 中的结论，向量组 $p_0, dots, p_m, b1$ 线性无关。然而，根据“线性无关组的长度 $<=$ 张成组的长度”（原书定理2.22），$q_0, dots, q_m$ 这一张成向量组的长度为 $m + 1$，而向量组 $p_0, dots, p_m, b1$ 的长度为 $m + 2$，不可能是线性无关的。矛盾，故假设不成立。
#tab 综上所述，$p_0, dots, p_m$ 在 $Poly_m (FF)$ 中不是线性无关的。
]

40
sections/2B.typ
View File

@ -4,16 +4,16 @@
#exercise_sol(type: "answer")[
求出所有恰好有一个基的向量空间。
][
${0}$ 是唯一满足要求的向量空间，它的基是空集。对于任何其他向量空间 $V$，不妨设其的一个基为 $v_1, dots, v_m$，则由基的判定准则（原书定理2.28）可知，$V$ 中的任意向量都 $v$ 都可以唯一地表示为
${0}$ 是唯一满足要求的向量空间，它的基是空集。对于任何其他向量空间 $V$，不妨设其的一个基为 $v_1, dots, v_m$，则由基的判定准则（原书定理2.28）可知，$V$ 中的任意向量都 $v$ 都可以唯一地表示为
$ v = a_1 v_1 + dots + a_m v_m $
$ v = a_1 v_1 + dots.c + a_m v_m $
#tab 其中 $a_1, dots, a_m in FF$。现在取向量组 $2v_1, dots, 2v_m$，则 $v$，可以被表示为
$ v = b_1 (2v_1) + dots + b_m (2v_m) $
$ v = b_1 (2v_1) + dots.c + b_m (2v_m) $
#tab 则对于 $k in {1, dots, m}$，$a_k = 2b_k$。这只有唯一的解，即 $b_k = a_k slash 2$，因此 $v$ 可以唯一地被向量组 $2v_1, dots, 2v_m$ 的线性组合表示，这表明向量组 $2v_1, dots, 2v_m$ 也是 $V$ 的一个基。由此可知，$V$ 中的任意向量都可以被表示为两个不同的基的线性组合，因此 $V$ 不可能只有一个基。
#tab 综上所述，只有 ${0}$ 满足题目要求。
]
@ -32,11 +32,11 @@
][
对于 (a)，记这些向量为 $v_1, dots, v_n$，设 $a_1, dots, a_n in FF$，使得
$ a_1 v_1 + dots + a_n v_n = 0 $
$ a_1 v_1 + dots.c + a_n v_n = 0 $
#tab 这立即给出 $a_1 = dots.c = a_n = 0$，根据线性无关的定义（原书定义2.15），可知向量组 $v_1, dots, v_n$ 是线性无关的。设 $v = (x_1, dots, x_n) in FF^n$，则
$ v = x_1 v_1 + dots + x_n v_n $
$ v = x_1 v_1 + dots.c + x_n v_n $
#tab 因此，$v_1, dots, v_n$ 张成 $FF^n$。根据基的定义（原书定义2.26），可知向量组 $v_1, dots, v_n$ 是 $FF^n$ 的基。
@ -74,7 +74,7 @@
$ v = a_1 (1, 1, 0) + a_2 (0, 0, 1) $
#tab 求解 $a_1, a_2$，得到唯一的一组解是
$ cases(
a_1 = x,
a_2 = y
@ -97,7 +97,7 @@
#tab 对于 (g)，根据多项式的次数的定义（原书定义2.11），立即可得 $1, z, dots, z^m$ 张成 $Poly_m (FF)$。现在反证假设 $1, z, dots, z^m$ 不是线性无关的。即存在 $a_0, dots, a_m in FF$，其中至少有一个不为 $0$，使得对于任意 $z in FF$，有
$ a_0 + a_1 z + dots + a_m z^m = 0 $
$ a_0 + a_1 z + dots.c + a_m z^m = 0 $
#tab 现在找到编号最大的不为 $0$ 的系数 $ell$，即 $a_ell != 0$，且 $a_k = 0$ 对于 $ell < k <= m$ 成立。取
@ -149,7 +149,7 @@
#tab 下面说明 $u_1, dots, u_5$ 是 $RR^5$ 的一个基。设 $a_1, dots, a_5 in RR$，$v = (x_1, dots, x_5) in RR^5$，满足
$ v = a_1 u_1 + dots + a_5 u_5 $
$ v = a_1 u_1 + dots.c + a_5 u_5 $
#tab 求解 $a_1, dots, a_5$，得到唯一的一组解是
@ -167,7 +167,7 @@
$ w = span(u_4, u_5) $
#tab 我们首先说明，$RR^5 = U + W$。由于向量组 $u_1, dots, u_5$ 张成 $RR^5$，因此任意向量 $v in RR^5$ 都可以被表示为
#tab 我们首先说明，$RR^5 = U + W$。由于向量组 $u_1, dots, u_5$ 张成 $RR^5$，因此任意向量 $v in RR^5$ 都可以被表示为
$ v = (a_1 u_1 + a_2 u_2 + a_3 u_3) + (a_4 u_4 + a_5 u_5) $
@ -181,7 +181,7 @@
$ a_1 u_1 + a_2 u_2 + a_3 u_3 - a_4 u_4 - a_5 u_5 = 0 $
#tab 由于 $u_1, dots, u_5$ 是线性无关的（见上面 (b) 的证明），因此 $a_1 = dots = a_5 = 0$。这表明 $v = 0$，因此 $U inter W = {0}$。根据“两个子空间的直和”（原书定理1.46），我们得到 $RR^5 = U plus.circle W$。
#tab 由于 $u_1, dots, u_5$ 是线性无关的（见上面 (b) 的证明），因此 $a_1 = dots.c = a_5 = 0$。这表明 $v = 0$，因此 $U inter W = {0}$。根据“两个子空间的直和”（原书定理1.46），我们得到 $RR^5 = U plus.circle W$。
]
#exercise_sol(type: "answer")[
@ -217,7 +217,7 @@
#tab 下面说明 $u_1, dots, u_5$ 是 $CC^5$ 的一个基。设 $a_1, dots, a_5 in CC$，$v = (z_1, dots, z_5) in CC^5$，满足
$ v = a_1 u_1 + dots + a_5 u_5 $
$ v = a_1 u_1 + dots.c + a_5 u_5 $
#tab 求解 $a_1, dots, a_5$，得到唯一的一组解是
@ -249,7 +249,7 @@
$ a_1 u_1 + a_2 u_2 + a_3 u_3 - a_4 u_4 - a_5 u_5 = 0 $
#tab 由于 $u_1, dots, u_5$ 是线性无关的（见上面 (b) 的证明），因此 $a_1 = dots = a_5 = 0$。这表明 $v = 0$，因此 $U inter W = {0}$。根据“两个子空间的直和”（原书定理1.46），我们得到 $CC^5 = U plus.circle W$。
#tab 由于 $u_1, dots, u_5$ 是线性无关的（见上面 (b) 的证明），因此 $a_1 = dots.c = a_5 = 0$。这表明 $v = 0$，因此 $U inter W = {0}$。根据“两个子空间的直和”（原书定理1.46），我们得到 $CC^5 = U plus.circle W$。
]
#exercise_sol(type: "proof")[
@ -257,13 +257,13 @@
][
设 $u_1, dots, u_m in U$ 是 $U$ 的一组基，$w_1, dots, w_ell in W$ 是 $W$ 的一组基。由于 $V = U + W$，因此任意向量 $v in V$ 都可以被表示为
$ v = (a_1 u_1 + dots + a_m u_m) + (b_1 w_1 + dots + b_n w_ell) $
$ v = (a_1 u_1 + dots.c + a_m u_m) + (b_1 w_1 + dots.c + b_n w_ell) $
#tab 其中 $a_1, dots, a_m, b_1, dots, b_ell in FF$。这表明
$ V = span(u_1, dots, u_m, w_1, dots w_ell) $
#tab 由于每个张成组都包含基（原书定理2.30），因此 $V$ 有一个由 $U union W$ 中的向量组成的基。
#tab 由于每个张成组都包含基（原书定理2.30），因此 $V$ 有一个由 $U union W$ 中的向量组成的基。
]
#exercise_sol(type: "answer")[
@ -356,7 +356,7 @@
#exercise_sol(type: "proof")[
设 $v_1, dots, v_m$ 是 $V$ 上的向量组，对于 $k in {1, dots, m}$，定义
$ w_k = v_1 + dots + v_k $
$ w_k = v_1 + dots.c + v_k $
证明：向量组 $v_1, dots, v_m$ 是 $V$ 的基，当且仅当向量组 $w_1, dots, w_m$ 是 $V$ 的基。
][
@ -365,17 +365,17 @@
#exercise_sol(type: "proof")[
设 $U$ 和 $W$ 是 $V$ 的子空间，且 $V = U plus.circle W$。又设 $u_1, dots, u_m$ 是 $U$ 的基，$w_1, dots, w_n$ 是 $W$ 的基。证明：向量组
$ u_1, dots, u_m, w_1, dots, w_n $
是 $V$ 的基。
][
设 $v in V$，由于 $V = U plus.circle W$，因此存在唯一的 $u_1, dots, u_m in U$ 和 $w_1, dots, w_n in W$，使得
$ v = (a_1 u_1 + dots + a_m u_m) + (b_1 w_1 + dots + b_n w_n) $
$ v = (a_1 u_1 + dots.c + a_m u_m) + (b_1 w_1 + dots.c + b_n w_n) $
#tab 其中 $a_1, dots, a_m, b_1, dots, b_n in FF$，这表明 $u_1, dots, u_m, w_1, dots w_n$ 张成 $V$。
#tab 另一方面，设 $a_1, dots, a_m, b_1, dots, b_n in FF$，满足
$ (a_1 u_1 + dots.c + a_m u_m) + (b_1 w_1 + dots.c + b_n w_n) = 0 $