szTom/LADRSolutions
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sections/2B.typ
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${0}$ 是唯一满足要求的向量空间，它的基是空集。对于任何其他向量空间 $V$，不妨设其的一个基为 $v_1, dots, v_m$，则由基的判定准则（原书定理2.28）可知，$V$ 中的任意向量都 $v$ 都可以唯一地表示为 ${0}$ 是唯一满足要求的向量空间，它的基是空集。对于任何其他向量空间 $V$，不妨设其的一个基为 $v_1, dots, v_m$，则由基的判定准则（原书定理2.28）可知，$V$ 中的任意向量都 $v$ 都可以唯一地表示为
$ v = a_1 v_1 + dots + a_m v_m $ $ v = a_1 v_1 + dots.c + a_m v_m $
#tab 其中 $a_1, dots, a_m in FF$。现在取向量组 $2v_1, dots, 2v_m$，则 $v$，可以被表示为 #tab 其中 $a_1, dots, a_m in FF$。现在取向量组 $2v_1, dots, 2v_m$，则 $v$，可以被表示为
$ v = b_1 (2v_1) + dots + b_m (2v_m) $ $ v = b_1 (2v_1) + dots.c + b_m (2v_m) $
#tab 则对于 $k in {1, dots, m}$，$a_k = 2b_k$。这只有唯一的解，即 $b_k = a_k slash 2$，因此 $v$ 可以唯一地被向量组 $2v_1, dots, 2v_m$ 的线性组合表示，这表明向量组 $2v_1, dots, 2v_m$ 也是 $V$ 的一个基。由此可知，$V$ 中的任意向量都可以被表示为两个不同的基的线性组合，因此 $V$ 不可能只有一个基。 #tab 则对于 $k in {1, dots, m}$，$a_k = 2b_k$。这只有唯一的解，即 $b_k = a_k slash 2$，因此 $v$ 可以唯一地被向量组 $2v_1, dots, 2v_m$ 的线性组合表示，这表明向量组 $2v_1, dots, 2v_m$ 也是 $V$ 的一个基。由此可知，$V$ 中的任意向量都可以被表示为两个不同的基的线性组合，因此 $V$ 不可能只有一个基。
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对于 (a)，记这些向量为 $v_1, dots, v_n$，设 $a_1, dots, a_n in FF$，使得 对于 (a)，记这些向量为 $v_1, dots, v_n$，设 $a_1, dots, a_n in FF$，使得
$ a_1 v_1 + dots + a_n v_n = 0 $ $ a_1 v_1 + dots.c + a_n v_n = 0 $
#tab 这立即给出 $a_1 = dots.c = a_n = 0$，根据线性无关的定义（原书定义2.15），可知向量组 $v_1, dots, v_n$ 是线性无关的。设 $v = (x_1, dots, x_n) in FF^n$，则 #tab 这立即给出 $a_1 = dots.c = a_n = 0$，根据线性无关的定义（原书定义2.15），可知向量组 $v_1, dots, v_n$ 是线性无关的。设 $v = (x_1, dots, x_n) in FF^n$，则
$ v = x_1 v_1 + dots + x_n v_n $ $ v = x_1 v_1 + dots.c + x_n v_n $
#tab 因此，$v_1, dots, v_n$ 张成 $FF^n$。根据基的定义（原书定义2.26），可知向量组 $v_1, dots, v_n$ 是 $FF^n$ 的基。 #tab 因此，$v_1, dots, v_n$ 张成 $FF^n$。根据基的定义（原书定义2.26），可知向量组 $v_1, dots, v_n$ 是 $FF^n$ 的基。
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#tab 对于 (g)，根据多项式的次数的定义（原书定义2.11），立即可得 $1, z, dots, z^m$ 张成 $Poly_m (FF)$。现在反证假设 $1, z, dots, z^m$ 不是线性无关的。即存在 $a_0, dots, a_m in FF$，其中至少有一个不为 $0$，使得对于任意 $z in FF$，有 #tab 对于 (g)，根据多项式的次数的定义（原书定义2.11），立即可得 $1, z, dots, z^m$ 张成 $Poly_m (FF)$。现在反证假设 $1, z, dots, z^m$ 不是线性无关的。即存在 $a_0, dots, a_m in FF$，其中至少有一个不为 $0$，使得对于任意 $z in FF$，有
$ a_0 + a_1 z + dots + a_m z^m = 0 $ $ a_0 + a_1 z + dots.c + a_m z^m = 0 $
#tab 现在找到编号最大的不为 $0$ 的系数 $ell$，即 $a_ell != 0$，且 $a_k = 0$ 对于 $ell < k <= m$ 成立。取 #tab 现在找到编号最大的不为 $0$ 的系数 $ell$，即 $a_ell != 0$，且 $a_k = 0$ 对于 $ell < k <= m$ 成立。取
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#tab 下面说明 $u_1, dots, u_5$ 是 $RR^5$ 的一个基。设 $a_1, dots, a_5 in RR$，$v = (x_1, dots, x_5) in RR^5$，满足 #tab 下面说明 $u_1, dots, u_5$ 是 $RR^5$ 的一个基。设 $a_1, dots, a_5 in RR$，$v = (x_1, dots, x_5) in RR^5$，满足
$ v = a_1 u_1 + dots + a_5 u_5 $ $ v = a_1 u_1 + dots.c + a_5 u_5 $
#tab 求解 $a_1, dots, a_5$，得到唯一的一组解是 #tab 求解 $a_1, dots, a_5$，得到唯一的一组解是
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$ a_1 u_1 + a_2 u_2 + a_3 u_3 - a_4 u_4 - a_5 u_5 = 0 $ $ a_1 u_1 + a_2 u_2 + a_3 u_3 - a_4 u_4 - a_5 u_5 = 0 $
#tab 由于 $u_1, dots, u_5$ 是线性无关的（见上面 (b) 的证明），因此 $a_1 = dots = a_5 = 0$。这表明 $v = 0$，因此 $U inter W = {0}$。根据“两个子空间的直和”（原书定理1.46），我们得到 $RR^5 = U plus.circle W$。 #tab 由于 $u_1, dots, u_5$ 是线性无关的（见上面 (b) 的证明），因此 $a_1 = dots.c = a_5 = 0$。这表明 $v = 0$，因此 $U inter W = {0}$。根据“两个子空间的直和”（原书定理1.46），我们得到 $RR^5 = U plus.circle W$。
] ]
#exercise_sol(type: "answer")[ #exercise_sol(type: "answer")[
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#tab 下面说明 $u_1, dots, u_5$ 是 $CC^5$ 的一个基。设 $a_1, dots, a_5 in CC$，$v = (z_1, dots, z_5) in CC^5$，满足 #tab 下面说明 $u_1, dots, u_5$ 是 $CC^5$ 的一个基。设 $a_1, dots, a_5 in CC$，$v = (z_1, dots, z_5) in CC^5$，满足
$ v = a_1 u_1 + dots + a_5 u_5 $ $ v = a_1 u_1 + dots.c + a_5 u_5 $
#tab 求解 $a_1, dots, a_5$，得到唯一的一组解是 #tab 求解 $a_1, dots, a_5$，得到唯一的一组解是
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$ a_1 u_1 + a_2 u_2 + a_3 u_3 - a_4 u_4 - a_5 u_5 = 0 $ $ a_1 u_1 + a_2 u_2 + a_3 u_3 - a_4 u_4 - a_5 u_5 = 0 $
#tab 由于 $u_1, dots, u_5$ 是线性无关的（见上面 (b) 的证明），因此 $a_1 = dots = a_5 = 0$。这表明 $v = 0$，因此 $U inter W = {0}$。根据“两个子空间的直和”（原书定理1.46），我们得到 $CC^5 = U plus.circle W$。 #tab 由于 $u_1, dots, u_5$ 是线性无关的（见上面 (b) 的证明），因此 $a_1 = dots.c = a_5 = 0$。这表明 $v = 0$，因此 $U inter W = {0}$。根据“两个子空间的直和”（原书定理1.46），我们得到 $CC^5 = U plus.circle W$。
] ]
#exercise_sol(type: "proof")[ #exercise_sol(type: "proof")[
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][ ][
设 $u_1, dots, u_m in U$ 是 $U$ 的一组基，$w_1, dots, w_ell in W$ 是 $W$ 的一组基。由于 $V = U + W$，因此任意向量 $v in V$ 都可以被表示为 设 $u_1, dots, u_m in U$ 是 $U$ 的一组基，$w_1, dots, w_ell in W$ 是 $W$ 的一组基。由于 $V = U + W$，因此任意向量 $v in V$ 都可以被表示为
$ v = (a_1 u_1 + dots + a_m u_m) + (b_1 w_1 + dots + b_n w_ell) $ $ v = (a_1 u_1 + dots.c + a_m u_m) + (b_1 w_1 + dots.c + b_n w_ell) $
#tab 其中 $a_1, dots, a_m, b_1, dots, b_ell in FF$。这表明 #tab 其中 $a_1, dots, a_m, b_1, dots, b_ell in FF$。这表明
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#exercise_sol(type: "proof")[ #exercise_sol(type: "proof")[
设 $v_1, dots, v_m$ 是 $V$ 上的向量组，对于 $k in {1, dots, m}$，定义 设 $v_1, dots, v_m$ 是 $V$ 上的向量组，对于 $k in {1, dots, m}$，定义
$ w_k = v_1 + dots + v_k $ $ w_k = v_1 + dots.c + v_k $
证明：向量组 $v_1, dots, v_m$ 是 $V$ 的基，当且仅当向量组 $w_1, dots, w_m$ 是 $V$ 的基。 证明：向量组 $v_1, dots, v_m$ 是 $V$ 的基，当且仅当向量组 $w_1, dots, w_m$ 是 $V$ 的基。
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@ -372,7 +372,7 @@
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设 $v in V$，由于 $V = U plus.circle W$，因此存在唯一的 $u_1, dots, u_m in U$ 和 $w_1, dots, w_n in W$，使得 设 $v in V$，由于 $V = U plus.circle W$，因此存在唯一的 $u_1, dots, u_m in U$ 和 $w_1, dots, w_n in W$，使得
$ v = (a_1 u_1 + dots + a_m u_m) + (b_1 w_1 + dots + b_n w_n) $ $ v = (a_1 u_1 + dots.c + a_m u_m) + (b_1 w_1 + dots.c + b_n w_n) $
#tab 其中 $a_1, dots, a_m, b_1, dots, b_n in FF$，这表明 $u_1, dots, u_m, w_1, dots w_n$ 张成 $V$。 #tab 其中 $a_1, dots, a_m, b_1, dots, b_n in FF$，这表明 $u_1, dots, u_m, w_1, dots w_n$ 张成 $V$。