diff --git a/sections/2B.typ b/sections/2B.typ index e204281..c75ff77 100644 --- a/sections/2B.typ +++ b/sections/2B.typ @@ -115,3 +115,70 @@ ] #note[对于 (g),值得一提的是,上面证明的核心部分表明,多项式的系数是唯一的。这个巧妙的证明来自原书第三版的正文(定理4.7),然而在第四版中被删除了。] + +#exercise_sol(type: "answer")[ + + 设 $U$ 为 $RR^5$ 的子空间,定义为 + $ U = {(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) in RR^5 : x_1 = 3x_2 and x_3 = 7x_4} $ + 求 $U$ 的一个基; + + + 将 (a) 中的基扩充为 $RR^5$ 的一个基; + + 求 $RR^5$ 的一个子空间 $W$,使得 $RR^5 = U plus.circle W$。 +][ + 对于 (a),令 + + $ u_1 = (3, 1, 0, 0, 0), quad u_2 = (0, 0, 7, 1, 0), quad u_3 = (0, 0, 0, 0, 1) $ + + #tab 下面说明 $u_1, u_2, u_3$ 是 $U$ 的一个基。设 $a_1, a_2, a_3 in RR$,$v = (3x, x, 7y, y, z) in U$,满足 + + $ v = a_1 u_1 + a_2 u_2 + a_3 u_3 $ + + #tab 求解 $a_1, a_2, a_3$,得到唯一的一组解是 + + $ cases( + a_1 = x, + a_2 = y, + a_3 = z + ) $ + + #tab 这表明 $U$ 中的每个向量都可以唯一地被表示为向量组 $u_1, u_2, u_3$ 的线性组合。所以,根据基的判定准则(原书定理2.28),向量组 $u_1, u_2, u_3$ 是 $U$ 的基。 + + #tab 对于 (b),令 + + $ u_4 = (1, 0, 0, 0, 0), quad u_5 = (0, 0, 1, 0, 0) $ + + #tab 下面说明 $u_1, dots, u_5$ 是 $RR^5$ 的一个基。设 $a_1, dots, a_5 in RR$,$v = (x_1, dots x_5) in RR^5$,满足 + + $ v = a_1 u_1 + dots + a_5 u_5 $ + + #tab 求解 $a_1, dots, a_5$,得到唯一的一组解是 + + $ cases( + a_1 = x_2, + a_2 = x_4, + a_3 = x_5, + a_4 = x_1 - 3 x_2, + a_5 = x_3 - 7 x_4 + ) $ + + #tab 这表明 $RR^5$ 中的每个向量都可以唯一地被表示为向量组 $u_1, dots, u_5$ 的线性组合。所以,根据基的判定准则,向量组 $u_1, dots, u_5$ 是 $RR^5$ 的基。 + + #tab 对于 (c),令 + + $ w = span(u_4, u_5) $ + + #tab 我们首先说明,$RR^5 = U + W$。由于向量组 $u_1, dots, u_5$ 张成 $RR^5$,因此任意向量 $v in RR^5$ 都可以被表示为 + + $ v = a_1 u_1 + a_2 u_2 + a_3 u_3 + a_4 u_4 + a_5 u_5 $ + + #tab 注意到 $a_1 u_1 + a_2 u_2 + a_3 u_3 in U$,且 $a_4 u_4 + a_5 u_5 in W$,故 $RR^5 = U + W$。 + + #tab 设 $v in U inter W$。则存在标量 $a_1, dots, a_5$,满足 + + $ a_1 u_1 + a_2 u_2 + a_3 u_3 = v = a_4 u_4 + a_5 u_5 $ + + #tab 于是 + + $ a_1 u_1 + a_2 u_2 + a_3 u_3 - a_4 u_4 - a_5 u_5 = 0 $ + + #tab 由于 $u_1, dots, u_5$ 是线性无关的(见上面 (b) 的证明),因此 $a_1 = dots = a_5 = 0$。这表明 $v = 0$,因此 $U inter W = {0}$。根据“两个子空间的直和”(原书定理1.46),我们得到 $RR^5 = U plus.circle W$。 +]