diff --git a/sections/1C.typ b/sections/1C.typ
index a757259..bd4bef0 100644
--- a/sections/1C.typ
+++ b/sections/1C.typ
@@ -20,6 +20,7 @@
 
 	/ 加法单位元: $0 in S_1$。 \
 		证明：注意到 $0 + 2 dot 0 + 3 dot 0 = 0$，故 $0 in S_1$。
+
 	/ 加法封闭性: $u,w in S_1$ 意味着 $u+w in S_1$。 \
 		证明：设 $u = (u_1, u_2, u_3)$，$w = (w_1, w_2, w_3)$，则 $u+w = (u_1+w_1, u_2+w_2, u_3+w_3)$。由于 $u_1 + 2u_2 + 3u_3 = 0$ 且 $w_1 + 2w_2 + 3w_3 = 0$，因此
 		$ (u+w)_1 + 2(u+w)_2 + 3(u+w)_3 
@@ -27,6 +28,7 @@
 			&= (u_1+2u_2+3u_3) + (w_1+2w_2+3w_3) \
 			&= 0 + 0 = 0 $
 		故 $u+w in S_1$。
+
 	/ 数乘封闭性: $a in FF$ 且 $u in S_1$ 意味着 $a u in S_1$。 \
 		证明：设 $u = (u_1, u_2, u_3)$，则 $a u = (a u_1, a u_2, a u_3)$。由于 $u_1 + 2u_2 + 3u_3 = 0$，因此
 		$ (a u)_1 + 2(a u)_2 + 3(a u)_3 
@@ -45,10 +47,12 @@
 
 	/ 加法单位元: $0 in S_4$。 \
 		证明：注意到 $0 = 5 dot 0$，故 $0 in S_4$。
+
 	/ 加法封闭性: $u,w in S_4$ 意味着 $u+w in S_4$。 \
 		证明：设 $u = (u_1, u_2, u_3)$，$w = (w_1, w_2, w_3)$，则 $u+w = (u_1+w_1, u_2+w_2, u_3+w_3)$。由于 $u_1 = 5 u_3$ 且 $w_1 = 5 w_3$，因此
 		$ u_1 + w_1 = 5 u_3 + 5 w_3 = 5(u_3 + w_3) $
 		故 $u+w in S_4$。
+
 	/ 数乘封闭性: $a in FF$ 且 $u in S_4$ 意味着 $a u in S_4$。 \
 		证明：设 $u = (u_1, u_2, u_3)$，则 $a u = (a u_1, a u_2, a u_3)$。由于 $u_1 = 5 u_3$，因此
 		$ a u_1 = a (5 u_3) = 5(a u_3) $
@@ -76,10 +80,12 @@
 
 	/ 加法单位元: $0 in S$。 \
 		证明：注意到 $0 + 5 dot 0 = 0$，故 $0 in S$。
+
 	/ 加法封闭性: $u,w in S$ 意味着 $u+w in S$。 \
 		证明：设 $u = (u_1, u_2, u_3, u_4)$，$w = (w_1, w_2, w_3, w_4)$，则 $u+w = (u_1+w_1, u_2+w_2, u_3+w_3, u_4+w_4)$。由于 $u_3 = 5 u_4$ 且 $w_3 = 5 w_4$，因此
 		$ (u+w)_3 = (u_3 + w_3) = 5(u_4 + w_4) $
 		故 $u+w in S$。
+
 	/ 数乘封闭性: $a in FF$ 且 $u in S$ 意味着 $a u in S$。 \
 		证明：设 $u = (u_1, u_2, u_3, u_4)$，则 $a u = (a u_1, a u_2, a u_3, a u_4)$。由于 $u_3 = 5 u_4$，因此
 		$ (a u)_3 = a u_3 = a (5 u_4) = 5(a u_4) $
@@ -95,10 +101,12 @@
 
 	/ 加法单位元: $0 in S$。 \
 		证明：注意到 $0'(2) = 0$，故 $0 in S$。
+
 	/ 加法封闭性: $u,w in S$ 意味着 $u+w in S$。 \
 		证明：设 $u, w in S$，则 $u'(2) = 0$ 且 $w'(2) = 0$。因此
 		$ (u+w)'(2) = u'(2) + w'(2) = 0 + 0 = 0 $
 		故 $u+w in S$。
+
 	/ 数乘封闭性: $a in RR$ 且 $u in S$ 意味着 $a u in S$。 \
 		证明：设 $u in S$，则 $u'(2) = 0$。因此
 		$ (a u)'(2) = a u'(2) = a dot 0 = 0 $ 
@@ -116,10 +124,12 @@
 
 	/ 加法单位元: $0 in S$。 \
 		证明：注意到 $0'(-1) = 0 = 3 dot 0 = 3 dot 0(2)$，故 $0 in S$。
+
 	/ 加法封闭性: $u,w in S$ 意味着 $u+w in S$。 \
 		证明：设 $u, w in S$，则 $u'(-1) = 3 u(2)$ 且 $w'(-1) = 3 w(2)$。因此
 		$ (u+w)'(-1) = u'(-1) + w'(-1) = 3 u(2) + 3 w(2) = 3(u(2) + w(2)) $
 		故 $u+w in S$。
+
 	/ 数乘封闭性: $a in RR$ 且 $u in S$ 意味着 $a u in S$。 \
 		证明：设 $u in S$，则 $u'(-1) = 3 u(2)$。因此
 		$ (a u)'(-1) = a u'(-1) = a dot 3 u(2) = 3(a u(2)) $
@@ -135,10 +145,12 @@
 
 	/ 加法单位元: $0 in S$。 \
 		证明：注意到 $integral_0^1 0 = 0$，故 $0 in S$。
+
 	/ 加法封闭性: $u,w in S$ 意味着 $u+w in S$。 \
 		证明：设 $u, w in S$，则
 		$ integral_0^1 (u+w) = integral_0^1 u + integral_0^1 w = 0 + 0 = 0 $
 		故 $u+w in S$。
+
 	/ 数乘封闭性: $a in RR$ 且 $u in S$ 意味着 $a u in S$。 \
 		证明：设 $u in S$，则
 		$ integral_0^1 (a u) = a integral_0^1 u = a dot 0 = 0 $
@@ -180,12 +192,14 @@
 
 	/ 加法单位元: $0 in S_RR$。 \
 		证明：注意到 $0 = 0$，故 $0 in S_RR$。
+
 	/ 加法封闭性: $u,w in S_RR$ 意味着
 		$u+w in S_RR$。 \
 		证明：设 $u = (u_1, u_2, u_3)$，$w = (w_1, w_2, w_3)$，
 		则 $u+w = (u_1+w_1, u_2+w_2, u_3+w_3)$。由于 $u_1 = u_2$ 且 $w_1 = w_2$，因此
 		$ u_1 + w_1 = u_2 + w_2 $
 		故 $u+w in S_RR$。
+
 	/ 数乘封闭性: $a in RR$ 且 $u in S_RR$ 意味着
 		$a u in S_RR$。 \
 		证明：设 $u = (u_1, u_2, u_3)$，则 $a u = (a u_1, a u_2, a u_3)$。由于 $u_1 = u_2$，因此
@@ -302,10 +316,12 @@
 
 	/ 加法单位元: $0 in S$。 \
 		证明：由于 $V_1$ 和 $V_2$ 都是 $V$ 的子空间，因此 $0 in V_1$ 且 $0 in V_2$，从而 $0 in S$。
+
 	/ 加法封闭性: $u,w in S$ 意味着 $u+w in S$。 \
 		证明：设 $u, w in S$，则
 		$ u in V_1, w in V_1, u in V_2, w in V_2 $
 		因此 $u+w in V_1$ 且 $u+w in V_2$，从而 $u+w in S$。
+
 	/ 数乘封闭性: $a in V$ 且 $u in S$ 意味着 $a u in S$。 \
 		证明：设 $u in S$，则
 		$ u in V_1, u in V_2 $
@@ -321,6 +337,7 @@
 
 	/ 第 $1$ 步: \
 		当 $n=1$ 时，$S=V_1$，显然是 $V$ 的子空间。
+
 	/ 第 $k+1$ 步: \
 		假设当 $n=k$ 时，结论成立，即 $V_1 inter dots inter V_k$ 是 $V$ 的子空间。又因为 $V_(k+1)$ 是 $V$ 的子空间，由@1C-inter-of-subspace-is-subspace 可知，$(V_1 inter dots inter V_k) inter V_(k+1)$ 也是 $V$ 的子空间。由此，我们证明了当 $n=k+1$ 时，结论也成立。
 
@@ -379,4 +396,29 @@
 	#tab 由于 $mu_1 != mu_2$，我们立即得到 $u in V_2$，而这与 $u in.not V_2 union V_3$ 矛盾，故假设不成立。
 
 	#tab 综上所述，$V$ 的三个子空间的并集是 $V$ 的子空间，当且仅当其中一个包含另外两个。
+]
+
+#exercise_sol(type: "explain")[
+	设
+
+	$ U = {(x, -x, 2x) in FF^3 : x in FF} quad "与" quad W = {(x, x, 2x) in FF^3 : x in FF} $
+
+	用符号描述 $U + W$，并给出不使用符号的描述。
+][
+	我们声称
+
+	$ S = {(x, y, 2x) in FF^3 : x,y in FF^3} = U + W $
+
+	#tab 为了证明这一点，我们将论证 $S subset.eq U + W$ 以及 $U + W subset.eq S$。现在设 $u = (a, b, 2a)$，其中 $a, b in FF$，即 $u in S$。注意到 $u = v_1 + v_2$，其中
+
+	$ v_1 &= ((a - b) / 2, -(a - b) / 2, a - b) in U \
+		v_2 &= ((a + b) / 2, (a + b) / 2, a + b) in W $
+	
+	#tab 故 $u in U + W$，这表明 $S subset.eq U + W$。另一方面，设 $u = (a + b, -a + b, 2a + 2b)$，其中 $a, b in FF$，即 $u in U + W$。注意到 $u = (x, y, 2x)$，其中
+
+	$ cases(x = a + b, y = -a + b) $
+
+	#tab 这表明 $u in S$，即 $U + W subset.eq S$。综上所述，$S = U + W$。
+
+	#tab 不使用符号的描述：$U + W$ 是 $FF^3$ 中第三个分量是第一个分量的两倍的所有元素构成的集合。
 ]
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