diff --git a/sections/2C.typ b/sections/2C.typ new file mode 100644 index 0000000..b769344 --- /dev/null +++ b/sections/2C.typ @@ -0,0 +1,16 @@ +#import "../styles.typ": exercise_sol, note, tab +#import "../math.typ": span + +#exercise_sol(type: "proof")[ + 证明:$RR^2$ 的子空间恰有 ${0}$,$RR^2$ 中所有过原点的直线,以及 $RR^2$ 本身。 +][ + 设 $U$ 是 $RR^2$ 的子空间,根据子空间的维数性质(原书2.37),有 $dim U in {0, 1, 2}$。 + + - 如果 $dim U = 0$,则 $U = span() = {0}$; + + - 如果 $dim U = 1$,则存在一个非零向量 $v$,使得 $U = span(v)$,即 $U$ 是过原点的直线; + + - 如果 $dim U = 2$,则根据满维数的子空间等于整个空间(原书2.39),$U = RR^2$。 + + #tab 综上所述,$RR^2$ 的子空间恰有 ${0}$,$RR^2$ 中所有过原点的直线,以及 $RR^2$ 本身。 +] diff --git a/toc.typ b/toc.typ index 7a752a4..80fec59 100644 --- a/toc.typ +++ b/toc.typ @@ -3,5 +3,5 @@ sections: ([$RR^n$ 和 $CC^n$], [向量空间的定义], [子空间]), ), ( title: [有限维向量空间], - sections: ([张成空间和线性无关性], [基]) + sections: ([张成空间和线性无关性], [基], [维数]), ))