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fb9569c826
commit
ecdfc30b7a
GPG Key ID:
072D999D60C6473C
@ -147,7 +147,7 @@
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&= x+(y+z) $
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&= x+(y+z) $
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#note[$FF^n$ 上向量的加法交换律由原书定理1.14给出。]
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#note[$FF^n$ 上向量的加法交换律由原书1.14给出。]
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#exercise_sol(type: "proof", ref: <E-ffn-mul-assoc>)[
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#exercise_sol(type: "proof", ref: <E-ffn-mul-assoc>)[
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证明：$(a b)x = a(b x)$ 对所有 $x in FF^n$ 和 $a,b in FF$ 成立。
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证明：$(a b)x = a(b x)$ 对所有 $x in FF^n$ 和 $a,b in FF$ 成立。
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@ -195,16 +195,16 @@
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#simple_box(title: [$FF^n$ 是向量空间])[
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#simple_box(title: [$FF^n$ 是向量空间])[
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#show: unset-list-indent
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#show: unset-list-indent
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#tab 在原书的下一个小节（1B 向量空间的定义）中，正式给出了向量空间的定义。其实上面的习题就是在引导我们去验证：$FF^n$ 是一个向量空间。具体而言，原书定义1.13和定义1.18分别给出的 $FF^n$ 上的加法和标量乘法的定义，而我们已经证明了其所需满足的性质：
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#tab 在原书的下一个小节（1B 向量空间的定义）中，正式给出了向量空间的定义。其实上面的习题就是在引导我们去验证：$FF^n$ 是一个向量空间。具体而言，原书1.13和定义1.18分别给出的 $FF^n$ 上的加法和标量乘法的定义，而我们已经证明了其所需满足的性质：
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/ 可交换性: \
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/ 可交换性: \
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原书定理1.14
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原书1.14
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/ 可结合性: \
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/ 可结合性: \
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@E-ffn-add-assoc 和@E-ffn-mul-assoc
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@E-ffn-add-assoc 和@E-ffn-mul-assoc
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/ 加法单位元: \
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/ 加法单位元: \
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原书记号1.15定义了 $0$，其性质容易验证
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原书记号1.15定义了 $0$，其性质容易验证
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/ 加法逆元: \
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/ 加法逆元: \
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原书定义1.17
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原书1.17
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/ 乘法单位元: \
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/ 乘法单位元: \
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@E-ffn-mul-scalar-id
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@E-ffn-mul-scalar-id
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/ 分配性质: \
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/ 分配性质: \
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@ -6,7 +6,7 @@
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#note[沿用原书记号1.29，即 $V$ 表示 $FF$ 上的向量空间。下文不再赘述。]
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#note[沿用原书记号1.29，即 $V$ 表示 $FF$ 上的向量空间。下文不再赘述。]
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根据定义 $v + (-v) = 0$，由可交换性，得 $(-v) + v = 0$，即 $v$ 是 $-v$ 的加法逆元。由加法逆元的唯一性（原书定理1.27），得 $-(-v) = v$。
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根据定义 $v + (-v) = 0$，由可交换性，得 $(-v) + v = 0$，即 $v$ 是 $-v$ 的加法逆元。由加法逆元的唯一性（原书1.27），得 $-(-v) = v$。
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#exercise_sol(type: "proof", label: "tricky", ref: <E-vector-trivial-annihilation>)[
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#exercise_sol(type: "proof", label: "tricky", ref: <E-vector-trivial-annihilation>)[
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@ -32,13 +32,13 @@
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#exercise_sol(type: "answer")[
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#exercise_sol(type: "answer")[
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空集不是向量空间。对于在向量空间的定义（原书定义1.20）中列出的要求，空集仅不满足其中的一条。是哪一条？
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空集不是向量空间。对于在向量空间的定义（原书1.20）中列出的要求，空集仅不满足其中的一条。是哪一条？
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空集中不存在加法单位元。
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空集中不存在加法单位元。
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#exercise_sol(type: "proof")[
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#exercise_sol(type: "proof")[
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证明：在向量空间的定义（原书定义1.20）中，加法逆元条件可以替换为这一条件——
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证明：在向量空间的定义（原书1.20）中，加法逆元条件可以替换为这一条件——
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#align(center)[$0v=0$ 对所有 $v in V$ 成立。]
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#align(center)[$0v=0$ 对所有 $v in V$ 成立。]
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@ -48,7 +48,7 @@
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在定义中“条件可以替换”，指原来的条件替换成新条件后，满足定义的对象还是原来的那些。
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在定义中“条件可以替换”，指原来的条件替换成新条件后，满足定义的对象还是原来的那些。
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采用原有定义时，新条件成立的证明由原书定理1.30给出。我们现在采用替换后的新定义，并以此证明加法逆元条件，即“对于任意 $v in V$，都存在 $w in V$ 使得 $v+w=0$”。
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采用原有定义时，新条件成立的证明由原书1.30给出。我们现在采用替换后的新定义，并以此证明加法逆元条件，即“对于任意 $v in V$，都存在 $w in V$ 使得 $v+w=0$”。
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#tab 更具体地，我们说明 $v + (-1)v=0$。这是由于
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#tab 更具体地，我们说明 $v + (-1)v=0$。这是由于
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@ -57,7 +57,7 @@
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#tab 所以对于任意 $v in V$，它的加法逆元都存在，即 $(-1)v$。故两个条件可以相互替换。
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#tab 所以对于任意 $v in V$，它的加法逆元都存在，即 $(-1)v$。故两个条件可以相互替换。
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#note[值得一提的是，习题5的证明和原书定理1.32的证明的核心部分完全一样。]
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#note[值得一提的是，习题5的证明和原书1.32的证明的核心部分完全一样。]
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#exercise_sol(type: "answer")[
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#exercise_sol(type: "answer")[
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令 $infinity$ 和 $-infinity$ 是不在 $RR$ 中的不同对象。以最符合直觉的方式定义 $RR union {infinity, -infinity}$ 上的加法和标量乘法。具体而言，两个实数的和和积照常定义，而对于 $t in RR$，我们定义
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令 $infinity$ 和 $-infinity$ 是不在 $RR$ 中的不同对象。以最符合直觉的方式定义 $RR union {infinity, -infinity}$ 上的加法和标量乘法。具体而言，两个实数的和和积照常定义，而对于 $t in RR$，我们定义
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@ -98,7 +98,7 @@
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- 对于 $lambda in FF$ 和 $f in V^S$，乘积 $lambda f in V^S$ 是由下式定义的函数：对于任意 $x in S$，
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- 对于 $lambda in FF$ 和 $f in V^S$，乘积 $lambda f in V^S$ 是由下式定义的函数：对于任意 $x in S$，
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$ (lambda f)(x) = lambda f(x) $
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$ (lambda f)(x) = lambda f(x) $
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#tab 我们现在证明 $V^S$ 是 $FF$ 上的向量空间。具体而言，我们逐条验证向量空间的定义（原书定义1.20）中的要求：
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#tab 我们现在证明 $V^S$ 是 $FF$ 上的向量空间。具体而言，我们逐条验证向量空间的定义（原书1.20）中的要求：
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/ 可交换性: 对于任意 $f, g in V^S$，都有 $f + g = g + f$。 \
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/ 可交换性: 对于任意 $f, g in V^S$，都有 $f + g = g + f$。 \
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证明：设 $x in S$，有
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证明：设 $x in S$，有
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@ -164,7 +164,7 @@
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#note[将 $u in V$ 等同于 $u + ii 0$，从而将 $V$ 视为 $complexification(V)$ 的一个子集。这样一来，由 $V$ 构造 $complexification(V)$ 就可以视作由 $RR^n$ 构造 $CC^n$ 的推广。]
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#note[将 $u in V$ 等同于 $u + ii 0$，从而将 $V$ 视为 $complexification(V)$ 的一个子集。这样一来，由 $V$ 构造 $complexification(V)$ 就可以视作由 $RR^n$ 构造 $CC^n$ 的推广。]
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我们将说明 $complexification(V)$ 是 $CC$ 上的向量空间。具体而言，我们逐条验证向量空间的定义（原书定义1.20）中的要求：
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我们将说明 $complexification(V)$ 是 $CC$ 上的向量空间。具体而言，我们逐条验证向量空间的定义（原书1.20）中的要求：
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/ 可交换性: 对于任意 $u, v in complexification(V)$，都有 $u + v = v + u$。 \
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/ 可交换性: 对于任意 $u, v in complexification(V)$，都有 $u + v = v + u$。 \
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证明：设 $u_1,v_1,u_2,v_2 in V$，由加法的可交换性，$u_1 + u_2 = u_2 + u_1$ 且 $v_1 + v_2 = v_2 + v_1$，因此
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证明：设 $u_1,v_1,u_2,v_2 in V$，由加法的可交换性，$u_1 + u_2 = u_2 + u_1$ 且 $v_1 + v_2 = v_2 + v_1$，因此
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@ -12,7 +12,7 @@
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+ ${(x_1,x_2,x_3) in FF^3 : x_1x_2x_3=0}$
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+ ${(x_1,x_2,x_3) in FF^3 : x_1x_2x_3=0}$
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+ ${(x_1,x_2,x_3) in FF^3 : x_1=5x_3}$
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+ ${(x_1,x_2,x_3) in FF^3 : x_1=5x_3}$
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方便起见，将这四个集合分别记作 $S_1, S_2, S_3, S_4$。为了验证它们是否是 $FF^3$ 的子空间，我们需要验证它们是否满足子空间的条件（原书定理1.34）。
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方便起见，将这四个集合分别记作 $S_1, S_2, S_3, S_4$。为了验证它们是否是 $FF^3$ 的子空间，我们需要验证它们是否满足子空间的条件（原书1.34）。
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#tab 对于 $S_1$，我们验证以下三个条件：
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#tab 对于 $S_1$，我们验证以下三个条件：
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#note(supplement: "说明")[本题原文为“验证例1.35中关于子空间的所有结论”。出于完整性考虑，这里将原书例1.35的所有结论摘录在上面。]
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#note(supplement: "说明")[本题原文为“验证例1.35中关于子空间的所有结论”。出于完整性考虑，这里将原书例1.35的所有结论摘录在上面。]
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我们逐个验证这些结论。对于第一个结论，我们首先验证其充分性。当 $b=0$ 时，此时集合 $S={(x_1,x_2,x_3,x_4) in FF^4 : x_3=5x_4}$。我们逐条验证其满足子空间的条件（原书定理1.34）：
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我们逐个验证这些结论。对于第一个结论，我们首先验证其充分性。当 $b=0$ 时，此时集合 $S={(x_1,x_2,x_3,x_4) in FF^4 : x_3=5x_4}$。我们逐条验证其满足子空间的条件（原书1.34）：
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/ 加法单位元: $0 in S$。 \
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/ 加法单位元: $0 in S$。 \
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证明：注意到 $0 + 5 dot 0 = 0$，故 $0 in S$。
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证明：注意到 $0 + 5 dot 0 = 0$，故 $0 in S$。
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@ -93,7 +93,7 @@
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#tab 第二个结论和第三个结论具有较强的数学分析背景，严格论证大大超出了“代数”的范围。从直觉上说，两个连续函数的和仍然是连续的，两个可微函数的和仍然是可微的，连续函数的数乘仍然是连续的，可微函数的数乘仍然是可微的，以及函数 $x |-> 0$ 自然是连续且可微的。因此这两个集合都是子空间。我们不再详细论证。
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#tab 第二个结论和第三个结论具有较强的数学分析背景，严格论证大大超出了“代数”的范围。从直觉上说，两个连续函数的和仍然是连续的，两个可微函数的和仍然是可微的，连续函数的数乘仍然是连续的，可微函数的数乘仍然是可微的，以及函数 $x |-> 0$ 自然是连续且可微的。因此这两个集合都是子空间。我们不再详细论证。
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#tab 对于第四个结论，我们首先验证其充分性。当 $b=0$ 时，集合 $S={(f in RR^((0,3)) : f'(2)=0}$。我们逐条验证其满足子空间的条件（原书定理1.34）：
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#tab 对于第四个结论，我们首先验证其充分性。当 $b=0$ 时，集合 $S={(f in RR^((0,3)) : f'(2)=0}$。我们逐条验证其满足子空间的条件（原书1.34）：
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/ 加法单位元: $0 in S$。 \
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/ 加法单位元: $0 in S$。 \
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证明：注意到 $0'(2) = 0$，故 $0 in S$。
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证明：注意到 $0'(2) = 0$，故 $0 in S$。
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@ -116,7 +116,7 @@
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#exercise_sol(type: "proof")[
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#exercise_sol(type: "proof")[
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证明：在区间 $(-4,4)$ 上的满足 $f'(-1) = 3f(2)$ 的可微实值函数 $f$ 构成的集合是 $RR^((-4,4))$ 的子空间。
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证明：在区间 $(-4,4)$ 上的满足 $f'(-1) = 3f(2)$ 的可微实值函数 $f$ 构成的集合是 $RR^((-4,4))$ 的子空间。
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记 $S$ 为题目所说的子集，即 $S={f in RR^((-4,4)) : f'(-1) = 3f(2)}$。我们逐条验证其满足子空间的条件（原书定理1.34）：
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记 $S$ 为题目所说的子集，即 $S={f in RR^((-4,4)) : f'(-1) = 3f(2)}$。我们逐条验证其满足子空间的条件（原书1.34）：
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/ 加法单位元: $0 in S$。 \
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/ 加法单位元: $0 in S$。 \
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证明：注意到 $0'(-1) = 0 = 3 dot 0 = 3 dot 0(2)$，故 $0 in S$。
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证明：注意到 $0'(-1) = 0 = 3 dot 0 = 3 dot 0(2)$，故 $0 in S$。
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@ -137,7 +137,7 @@
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#exercise_sol(type: "proof")[
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#exercise_sol(type: "proof")[
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设 $b in RR$，证明：在区间 $[0,1]$ 上满足 $integral_0^1 f = b$ 的连续实值函数 $f$ 构成的集合是 $RR^([0,1])$ 的子空间，当且仅当 $b=0$。
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设 $b in RR$，证明：在区间 $[0,1]$ 上满足 $integral_0^1 f = b$ 的连续实值函数 $f$ 构成的集合是 $RR^([0,1])$ 的子空间，当且仅当 $b=0$。
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我们首先说明其充分性。假设 $b=0$，此时 $S = {f in RR^([0, 1]) : integral_0^1 f = 0}$，我们逐条验证其满足子空间的条件（原书定理1.34）：
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我们首先说明其充分性。假设 $b=0$，此时 $S = {f in RR^([0, 1]) : integral_0^1 f = 0}$，我们逐条验证其满足子空间的条件（原书1.34）：
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/ 加法单位元: $0 in S$。 \
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/ 加法单位元: $0 in S$。 \
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证明：注意到 $integral_0^1 0 = 0$，故 $0 in S$。
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证明：注意到 $integral_0^1 0 = 0$，故 $0 in S$。
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@ -162,7 +162,7 @@
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$ ii v = (ii, 0) in.not RR^2 $
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$ ii v = (ii, 0) in.not RR^2 $
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#tab 这违反了子空间的条件（原书定理1.34）中对“数乘封闭性”的要求。由此，$RR^2$ 不是 $CC^2$ 的子空间。
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#tab 这违反了子空间的条件（原书1.34）中对“数乘封闭性”的要求。由此，$RR^2$ 不是 $CC^2$ 的子空间。
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#exercise_sol(type: "proof")[
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#exercise_sol(type: "proof")[
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@ -183,7 +183,7 @@
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#tab 即当 $a != 0$ 且 $b != 0$ 时，$a^2 + a b + b^2 > 0$。此时，必然有 $a - b = 0$，即 $a = b$。而 $a = b = 0$ 时，自然也有 $a = b$。综上所述，$a^3 = b^3$ 意味着 $a = b$。
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#tab 即当 $a != 0$ 且 $b != 0$ 时，$a^2 + a b + b^2 > 0$。此时，必然有 $a - b = 0$，即 $a = b$。而 $a = b = 0$ 时，自然也有 $a = b$。综上所述，$a^3 = b^3$ 意味着 $a = b$。
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#tab 由此，我们可以将 $S_RR$ 重写为 $S_RR={(a,b,c) in RR^3 : a = b}$。我们逐条验证其满足子空间的条件（原书定理1.34）：
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#tab 由此，我们可以将 $S_RR$ 重写为 $S_RR={(a,b,c) in RR^3 : a = b}$。我们逐条验证其满足子空间的条件（原书1.34）：
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/ 加法单位元: $0 in S_RR$。 \
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/ 加法单位元: $0 in S_RR$。 \
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证明：注意到 $0 = 0$，故 $0 in S_RR$。
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证明：注意到 $0 = 0$，故 $0 in S_RR$。
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@ -211,13 +211,13 @@
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$ u + v = (-1, 2, 0) in.not S_CC $
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$ u + v = (-1, 2, 0) in.not S_CC $
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#tab 这违反了子空间的条件（原书定理1.34）中对“加法封闭性”的要求。由此，$S_CC$ 不是 $CC^3$ 的子空间。
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#tab 这违反了子空间的条件（原书1.34）中对“加法封闭性”的要求。由此，$S_CC$ 不是 $CC^3$ 的子空间。
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#exercise_sol(type: "proof")[
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#exercise_sol(type: "proof")[
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证明或证伪：如果 $U$ 是 $RR^2$ 的非空子集，满足对加法封闭和对“取加法逆元”封闭（即 $u in U$ 意味着 $-u in U$），那么 $U$ 是 $RR^2$ 的子空间。
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证明或证伪：如果 $U$ 是 $RR^2$ 的非空子集，满足对加法封闭和对“取加法逆元”封闭（即 $u in U$ 意味着 $-u in U$），那么 $U$ 是 $RR^2$ 的子空间。
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取 $U = {(1, 0), (0, 0), (-1, 0)}$，容易验证 $U$ 满足对加法封闭和对“取加法逆元”封闭。但是，取 $u = (1, 0) in U$, $2u = (2, 0) in.not U$，这违反了子空间的条件（原书定理1.34）中对“数乘封闭性”的要求。由此，$U$ 不是 $RR^2$ 的子空间。
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取 $U = {(1, 0), (0, 0), (-1, 0)}$，容易验证 $U$ 满足对加法封闭和对“取加法逆元”封闭。但是，取 $u = (1, 0) in U$, $2u = (2, 0) in.not U$，这违反了子空间的条件（原书1.34）中对“数乘封闭性”的要求。由此，$U$ 不是 $RR^2$ 的子空间。
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#tab 我们找到了一个反例，这说明题目中的命题不成立。
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#tab 我们找到了一个反例，这说明题目中的命题不成立。
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@ -301,13 +301,13 @@
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#tab 这意味着存在 $k_1,k_2 in ZZ$，使得 $sqrt(2) p = 2 k_1 pi$ 且 $p = 2 k_2 pi$。联立消去 $p$，得到 $sqrt(2) = k_1 slash k_2$，这与我们熟知的 $sqrt(2) in.not QQ$ 矛盾，故假设不成立。
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#tab 这意味着存在 $k_1,k_2 in ZZ$，使得 $sqrt(2) p = 2 k_1 pi$ 且 $p = 2 k_2 pi$。联立消去 $p$，得到 $sqrt(2) = k_1 slash k_2$，这与我们熟知的 $sqrt(2) in.not QQ$ 矛盾，故假设不成立。
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#tab 综上所述，$h$ 不是 $RR^RR$ 上的周期函数。这表明 $RR -> RR$ 上的周期函数构成的集合并不符合子空间的条件（原书定理1.34）中对“加法封闭性”的要求，因此其不是 $RR^RR$ 的子空间。
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#tab 综上所述，$h$ 不是 $RR^RR$ 上的周期函数。这表明 $RR -> RR$ 上的周期函数构成的集合并不符合子空间的条件（原书1.34）中对“加法封闭性”的要求，因此其不是 $RR^RR$ 的子空间。
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#exercise_sol(type: "proof", ref: <E-inter-of-subspace-is-subspace>)[
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#exercise_sol(type: "proof", ref: <E-inter-of-subspace-is-subspace>)[
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设 $V_1$ 和 $V_2$ 都是 $V$ 的子空间，证明：交集 $V_1 inter V_2$ 是 $V$ 的子空间。
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设 $V_1$ 和 $V_2$ 都是 $V$ 的子空间，证明：交集 $V_1 inter V_2$ 是 $V$ 的子空间。
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记 $S=V_1 inter V_2$，我们逐条验证其满足子空间的条件（原书定理1.34）：
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记 $S=V_1 inter V_2$，我们逐条验证其满足子空间的条件（原书1.34）：
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/ 加法单位元: $0 in S$。 \
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/ 加法单位元: $0 in S$。 \
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证明：由于 $V_1$ 和 $V_2$ 都是 $V$ 的子空间，因此 $0 in V_1$ 且 $0 in V_2$，从而 $0 in S$。
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证明：由于 $V_1$ 和 $V_2$ 都是 $V$ 的子空间，因此 $0 in V_1$ 且 $0 in V_2$，从而 $0 in S$。
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@ -364,7 +364,7 @@
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$ V_1 subset.eq.not V_2 union V_3 wide and wide V_2 union V_3 subset.eq.not V_1 $
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$ V_1 subset.eq.not V_2 union V_3 wide and wide V_2 union V_3 subset.eq.not V_1 $
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#tab 所以可以找到 $u, v in V$ 使得 $u in V_1$ 且 $u in.not V_2 union V_3$，以及 $v in V_2 union V_3$ 且 $v in.not V_1$。由于 $V_1$，$V_2$ 和 $V_3$ 都包含 $0$，因此 $u != 0$ 且 $v != 0$。我们取集合 $v + span(u)$#footnote[记号 $span$ 在后续的2A节中由原书定义2.19定义，而记号 $v + V$ 表示平移，由后续3E节原书定义3.97定义。但是这里无需明白这些定义，将其当作一个集合的名字即可。]，
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#tab 所以可以找到 $u, v in V$ 使得 $u in V_1$ 且 $u in.not V_2 union V_3$，以及 $v in V_2 union V_3$ 且 $v in.not V_1$。由于 $V_1$，$V_2$ 和 $V_3$ 都包含 $0$，因此 $u != 0$ 且 $v != 0$。我们取集合 $v + span(u)$#footnote[记号 $span$ 在后续的2A节中由原书2.19定义，而记号 $v + V$ 表示平移，由后续3E节原书3.97定义。但是这里无需明白这些定义，将其当作一个集合的名字即可。]，
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$ v + span(u) = {v + lambda u : lambda in FF} $
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$ v + span(u) = {v + lambda u : lambda in FF} $
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@ -493,7 +493,7 @@
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$ v_1 &= (b, b, d, d) in U \
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$ v_1 &= (b, b, d, d) in U \
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v_2 &= (a - b, 0, c - d, 0) in W $
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v_2 &= (a - b, 0, c - d, 0) in W $
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#tab 进一步地，我们说明这个和是直和。根据两个子空间的直和的条件（原书定理1.46），我们只需说明 $U inter W = {0}$。设 $v in U inter W$，那么存在 $a, b, c, d in FF$，使得
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#tab 进一步地，我们说明这个和是直和。根据两个子空间的直和的条件（原书1.46），我们只需说明 $U inter W = {0}$。设 $v in U inter W$，那么存在 $a, b, c, d in FF$，使得
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$ (a, a, b, b) = v = (c, 0, d, 0) $
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$ (a, a, b, b) = v = (c, 0, d, 0) $
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@ -534,7 +534,7 @@
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2a = 0
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2a = 0
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) $
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) $
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#tab 这个方程组的唯一解是 $a = b = c = d = e = 0$，这说明 $0$ 只有唯一的表示方式。根据直和的条件（原书定理1.45），我们确认 $FF^5 = U plus.circle W$。
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#tab 这个方程组的唯一解是 $a = b = c = d = e = 0$，这说明 $0$ 只有唯一的表示方式。根据直和的条件（原书1.45），我们确认 $FF^5 = U plus.circle W$。
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#exercise_sol(type: "answer")[
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#exercise_sol(type: "answer")[
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@ -571,7 +571,7 @@
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2a = 0
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2a = 0
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) $
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) $
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#tab 这个方程组的唯一解是 $a = b = c = d = e = 0$，这说明 $0$ 只有唯一的表示方式。根据直和的条件（原书定理1.45），我们确认 $FF^5 = U plus.circle W_1 plus.circle W_2 plus.circle W_3$。
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#tab 这个方程组的唯一解是 $a = b = c = d = e = 0$，这说明 $0$ 只有唯一的表示方式。根据直和的条件（原书1.45），我们确认 $FF^5 = U plus.circle W_1 plus.circle W_2 plus.circle W_3$。
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]
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#exercise_sol(type: "answer")[
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#exercise_sol(type: "answer")[
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@ -628,5 +628,5 @@
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#tab 这说明 $f(x) = -f(x)$ 对所有 $x in RR$ 成立，因此 $f(x) = 0$ 对所有 $x in RR$ 成立，即 $f = 0$。因此 $ve inter vo = {0}$。
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#tab 这说明 $f(x) = -f(x)$ 对所有 $x in RR$ 成立，因此 $f(x) = 0$ 对所有 $x in RR$ 成立，即 $f = 0$。因此 $ve inter vo = {0}$。
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#tab 根据两个子空间的直和的条件（原书定理1.46），我们确认 $RR^RR = ve plus.circle vo$。
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#tab 根据两个子空间的直和的条件（原书1.46），我们确认 $RR^RR = ve plus.circle vo$。
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@ -100,13 +100,13 @@
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+ 证明：向量空间中长度为 $1$ 的组线性无关，当且仅当组中的该向量不是 $0$；
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+ 证明：向量空间中长度为 $1$ 的组线性无关，当且仅当组中的该向量不是 $0$；
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+ 证明：向量空间中长度为 $2$ 的组线性无关，当且仅当组中两个向量的任意一个不是另一个的标量倍。
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+ 证明：向量空间中长度为 $2$ 的组线性无关，当且仅当组中两个向量的任意一个不是另一个的标量倍。
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][
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][
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设 $V$ 是向量空间。对于第一个命题，设 $v in V$。首先说明充分性。假设 $v != 0$，根据#exercise_ref(<E-vector-trivial-annihilation>)，使得 $a v = 0$ 成立的 $a in FF$ 的唯一选取方式是 $a = 0$，根据线性无关的定义（原书定义2.15），这表明向量组 $v$ 是线性无关的。
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设 $V$ 是向量空间。对于第一个命题，设 $v in V$。首先说明充分性。假设 $v != 0$，根据#exercise_ref(<E-vector-trivial-annihilation>)，使得 $a v = 0$ 成立的 $a in FF$ 的唯一选取方式是 $a = 0$，根据线性无关的定义（原书2.15），这表明向量组 $v$ 是线性无关的。
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#tab 然后说明必要性，如果 $v = 0$，则我们有
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#tab 然后说明必要性，如果 $v = 0$，则我们有
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$ 0v = 1v = 0 $
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$ 0v = 1v = 0 $
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#tab 根据线性无关的定义（原书定义2.15），向量组 $0$ 不是线性无关的。
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#tab 根据线性无关的定义（原书2.15），向量组 $0$ 不是线性无关的。
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#tab 对于第二个命题，设 $v_1, v_2 in V$。首先说明充分性：使用反证法，假设 $v_1$ 和 $v_2$ 不是线性无关的，即存在 $a_1, a_2 in FF$，使得
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#tab 对于第二个命题，设 $v_1, v_2 in V$。首先说明充分性：使用反证法，假设 $v_1$ 和 $v_2$ 不是线性无关的，即存在 $a_1, a_2 in FF$，使得
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@ -136,7 +136,7 @@
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$ (-3) (3, 1, 4) + 2 (2, -3, 5) + 1 (5, 9, 2) = 0 $
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$ (-3) (3, 1, 4) + 2 (2, -3, 5) + 1 (5, 9, 2) = 0 $
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#tab 根据线性无关的定义（原书定义2.15），这表明向量组 $(3, 1, 4), (2, -3, 5), (5, 9, 2)$ 在 $RR^3$ 中不是线性无关的。
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#tab 根据线性无关的定义（原书2.15），这表明向量组 $(3, 1, 4), (2, -3, 5), (5, 9, 2)$ 在 $RR^3$ 中不是线性无关的。
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#exercise_sol(type: "proof")[
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#exercise_sol(type: "proof")[
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@ -150,7 +150,7 @@
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$ 16 (2, 3, 1) + 1 (1, -1, 2) + (-5) (7, 3, 8) = 0 $
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$ 16 (2, 3, 1) + 1 (1, -1, 2) + (-5) (7, 3, 8) = 0 $
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#tab 根据线性相关的定义（原书定义2.17），这表明向量组 $(2, 3, 1)$，$(1, -1, 2)$，$(7, 3, 8)$ 在 $FF^3$ 中线性相关。
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#tab 根据线性相关的定义（原书2.17），这表明向量组 $(2, 3, 1)$，$(1, -1, 2)$，$(7, 3, 8)$ 在 $FF^3$ 中线性相关。
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#tab 然后说明必要性：使用反证法，假设 $c != 8$ 且向量组 $(2, 3, 1), (1, -1, 2), (7, 3, c)$ 线性相关。根据定义，存在 $a_1, a_2, a_3 in RR$，使得
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#tab 然后说明必要性：使用反证法，假设 $c != 8$ 且向量组 $(2, 3, 1), (1, -1, 2), (7, 3, c)$ 线性相关。根据定义，存在 $a_1, a_2, a_3 in RR$，使得
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@ -199,7 +199,7 @@
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$ a_1 v_1 + (a_2 - a_1) v_2 + (a_3 - a_2) v_3 + (a_4 - a_3) v_4 = 0 $
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$ a_1 v_1 + (a_2 - a_1) v_2 + (a_3 - a_2) v_3 + (a_4 - a_3) v_4 = 0 $
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#tab 由于 $v_1, v_2, v_3, v_4$ 线性无关，根据线性无关的定义（原书定义2.15），只能有
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#tab 由于 $v_1, v_2, v_3, v_4$ 线性无关，根据线性无关的定义（原书2.15），只能有
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$ cases(
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$ cases(
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a_1 = 0,
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a_1 = 0,
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@ -208,7 +208,7 @@
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a_4 - a_3 = 0
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a_4 - a_3 = 0
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) $
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) $
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#tab 这说明 $a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = 0$。因此，根据线性无关的定义（原书定义2.15），向量组 $v_1 - v_2, v_2 - v_3, v_3 - v_4, v_4$ 线性无关。
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#tab 这说明 $a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = 0$。因此，根据线性无关的定义（原书2.15），向量组 $v_1 - v_2, v_2 - v_3, v_3 - v_4, v_4$ 线性无关。
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]
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]
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#exercise_sol(type: "proof")[
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#exercise_sol(type: "proof")[
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@ -226,7 +226,7 @@
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$ 5a_1 v_1 + (a_2 - 4a_1) + a_3 v_3 + a_4 v_4 + dots.c + a_m v_m = 0 $
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$ 5a_1 v_1 + (a_2 - 4a_1) + a_3 v_3 + a_4 v_4 + dots.c + a_m v_m = 0 $
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#tab 由于 $v_1, dots, v_m$ 线性无关，根据线性无关的定义（原书定义2.15），只能有
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#tab 由于 $v_1, dots, v_m$ 线性无关，根据线性无关的定义（原书2.15），只能有
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$ cases(
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$ cases(
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5a_1 = 0,
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5a_1 = 0,
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@ -237,7 +237,7 @@
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a_m = 0
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a_m = 0
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) $
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) $
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#tab 这说明 $a_1 = dots.c = a_m = 0$。因此，根据线性无关的定义（原书定义2.15），向量组 $5v_1 - 4v_2, v_2, v_3, dots, v_m$ 线性无关。
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#tab 这说明 $a_1 = dots.c = a_m = 0$。因此，根据线性无关的定义（原书2.15），向量组 $5v_1 - 4v_2, v_2, v_3, dots, v_m$ 线性无关。
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]
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#exercise_sol(type: "proof")[
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#exercise_sol(type: "proof")[
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@ -255,7 +255,7 @@
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$ lambda (a_1 v_1 + dots.c + a_m v_m) = 0 $
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$ lambda (a_1 v_1 + dots.c + a_m v_m) = 0 $
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#tab 由于 $lambda != 0$，因此 $a_1 v_1 + dots.c + a_m v_m = 0$。由于 $v_1, dots, v_m$ 线性无关，根据线性无关的定义（原书定义2.15），只能有 $a_1 = dots.c = a_m = 0$。因此，根据线性无关的定义（原书定义2.15），向量组 $lambda v_1, dots, lambda v_m$ 线性无关。
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#tab 由于 $lambda != 0$，因此 $a_1 v_1 + dots.c + a_m v_m = 0$。由于 $v_1, dots, v_m$ 线性无关，根据线性无关的定义（原书2.15），只能有 $a_1 = dots.c = a_m = 0$。因此，根据线性无关的定义（原书2.15），向量组 $lambda v_1, dots, lambda v_m$ 线性无关。
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#exercise_sol(type: "answer")[
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#exercise_sol(type: "answer")[
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@ -274,7 +274,7 @@
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$ 1(v_1 + w_1) + (-1)(v_2 + w_2) = 1(1, 1) + (-1)(1, 1) = 0 $
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$ 1(v_1 + w_1) + (-1)(v_2 + w_2) = 1(1, 1) + (-1)(1, 1) = 0 $
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#tab 根据线性无关的定义（原书定义2.15），这表明向量组 $v_1 + w_1, v_2 + w_2$ 不是线性无关的，因此原命题不成立。
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#tab 根据线性无关的定义（原书2.15），这表明向量组 $v_1 + w_1, v_2 + w_2$ 不是线性无关的，因此原命题不成立。
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#exercise_sol(type: "proof", ref: <E-when-shared-vec-add-become-dep>)[
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#exercise_sol(type: "proof", ref: <E-when-shared-vec-add-become-dep>)[
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@ -284,7 +284,7 @@
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线性相关，则 $w in span(v_1, dots, v_m)$。
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线性相关，则 $w in span(v_1, dots, v_m)$。
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][
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][
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由于向量组 $v_1 + w, dots, v_m + w$ 线性相关，根据线性相关的定义（原书定义2.17），存在 $a_1, dots, a_m in FF$，使得
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由于向量组 $v_1 + w, dots, v_m + w$ 线性相关，根据线性相关的定义（原书2.17），存在 $a_1, dots, a_m in FF$，使得
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#show: math_numbering(true)
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#show: math_numbering(true)
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$ a_1 (v_1 + w) + dots.c + a_m (v_m + w) = 0 $ <2A-vi-plus-w-is-dependent-def>
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$ a_1 (v_1 + w) + dots.c + a_m (v_m + w) = 0 $ <2A-vi-plus-w-is-dependent-def>
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@ -296,7 +296,7 @@
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$ a_1 v_1 + dots.c + a_m v_m + (a_1 + dots.c + a_m) w = 0 $
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$ a_1 v_1 + dots.c + a_m v_m + (a_1 + dots.c + a_m) w = 0 $
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#tab 反证假设 $a_1 + dots.c + a_m = 0$，则 $a_1 v_1 + dots.c + a_m v_m = 0$，而这与线性无关的定义（原书定义2.15）矛盾。因此，我们只能有 $a_1 + dots.c + a_m != 0$。
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#tab 反证假设 $a_1 + dots.c + a_m = 0$，则 $a_1 v_1 + dots.c + a_m v_m = 0$，而这与线性无关的定义（原书2.15）矛盾。因此，我们只能有 $a_1 + dots.c + a_m != 0$。
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#tab 所以，我们可以将@2A-vi-plus-w-is-dependent-def 改写为
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#tab 所以，我们可以将@2A-vi-plus-w-is-dependent-def 改写为
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@ -310,7 +310,7 @@
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$ w = b_1 v_1 + dots.c + b_m v_m $
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$ w = b_1 v_1 + dots.c + b_m v_m $
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#tab 根据张成空间的定义（原书定义2.4），这表明 $w in span(v_1, dots, v_m)$。
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#tab 根据张成空间的定义（原书2.4），这表明 $w in span(v_1, dots, v_m)$。
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#exercise_sol(type: "proof", ref: <E-when-vector-list-append-remains-indep>)[
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#exercise_sol(type: "proof", ref: <E-when-vector-list-append-remains-indep>)[
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@ -318,7 +318,7 @@
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$ v_1, dots, v_m, w "线性无关" quad <==> quad w in.not span(v_1, dots, v_m) $
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$ v_1, dots, v_m, w "线性无关" quad <==> quad w in.not span(v_1, dots, v_m) $
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首先说明充分性：现在 $v_1, dots, v_m, w$ 线性无关。反证假设 $w in span(v_1, dots, v_m)$，则根据张成空间的定义（原书定义2.4），存在 $a_1, dots, a_m in FF$，使得
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首先说明充分性：现在 $v_1, dots, v_m, w$ 线性无关。反证假设 $w in span(v_1, dots, v_m)$，则根据张成空间的定义（原书2.4），存在 $a_1, dots, a_m in FF$，使得
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$ w = a_1 v_1 + dots.c + a_m v_m $
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$ w = a_1 v_1 + dots.c + a_m v_m $
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@ -326,9 +326,9 @@
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$ a_1 v_1 + dots.c + a_m v_m + (-1)w = 0 $
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$ a_1 v_1 + dots.c + a_m v_m + (-1)w = 0 $
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#tab 根据线性无关的定义（原书定义2.15），这与 $v_1, dots, v_m, w$ 线性无关矛盾，因此，$w in.not span(v_1, dots, v_m)$。
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#tab 根据线性无关的定义（原书2.15），这与 $v_1, dots, v_m, w$ 线性无关矛盾，因此，$w in.not span(v_1, dots, v_m)$。
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#tab 然后说明必要性：现在 $w in.not span(v_1, dots, v_m)$。反证假设 $v_1, dots, v_m, w$ 线性相关。根据线性相关的定义（原书定义2.17），存在 $a_1, dots, a_(m+1) in FF$，使得
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#tab 然后说明必要性：现在 $w in.not span(v_1, dots, v_m)$。反证假设 $v_1, dots, v_m, w$ 线性相关。根据线性相关的定义（原书2.17），存在 $a_1, dots, a_(m+1) in FF$，使得
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#show: math_numbering(true)
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#show: math_numbering(true)
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$ a_1 v_1 + dots.c + a_m v_m + a_(m+1) w = 0 $ <2A-v-union-w-is-dependent-def>
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$ a_1 v_1 + dots.c + a_m v_m + a_(m+1) w = 0 $ <2A-v-union-w-is-dependent-def>
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@ -390,7 +390,7 @@
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a_m = 0
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a_m = 0
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) $
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) $
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#tab 这解得 $a_1 = dots.c = a_m = 0$，于是根据线性无关的定义（原书定义2.15），向量组 $v_1, dots, v_m$ 线性无关。
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#tab 这解得 $a_1 = dots.c = a_m = 0$，于是根据线性无关的定义（原书2.15），向量组 $v_1, dots, v_m$ 线性无关。
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#tab 然后说明必要性：现在 $v_1, dots, v_m$ 线性无关。设 $a_1, dots, a_m in FF$ 使得
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#tab 然后说明必要性：现在 $v_1, dots, v_m$ 线性无关。设 $a_1, dots, a_m in FF$ 使得
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@ -419,7 +419,7 @@
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a_m = 0
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a_m = 0
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) $
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) $
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#tab 这解得 $a_1 = dots.c = a_m = 0$，于是根据线性无关的定义（原书定义2.15），向量组 $w_1, dots, w_m$ 线性无关。
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#tab 这解得 $a_1 = dots.c = a_m = 0$，于是根据线性无关的定义（原书2.15），向量组 $w_1, dots, w_m$ 线性无关。
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#tab 综上所述，向量组 $v_1, dots, v_m$ 线性无关当且仅当向量组 $w_1, dots, w_m$ 线性无关。
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#tab 综上所述，向量组 $v_1, dots, v_m$ 线性无关当且仅当向量组 $w_1, dots, w_m$ 线性无关。
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]
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@ -435,7 +435,7 @@
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$ p = a_0 p_0 + a_1 p_1 + a_2 p_2 + a_3 p_3 + a_4 p_4 $
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$ p = a_0 p_0 + a_1 p_1 + a_2 p_2 + a_3 p_3 + a_4 p_4 $
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#tab 这说明 $Poly_4(FF) = span(p_0, p_1, p_2, p_3, p_4)$。因此，根据“线性无关组的长度 $<=$ 张成组的长度”（原书定理2.22），我们可以得出结论，$Poly_4(FF)$ 上的线性无关组的长度不能超过 $5$。
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#tab 这说明 $Poly_4(FF) = span(p_0, p_1, p_2, p_3, p_4)$。因此，根据“线性无关组的长度 $<=$ 张成组的长度”（原书2.22），我们可以得出结论，$Poly_4(FF)$ 上的线性无关组的长度不能超过 $5$。
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#tab 所以，在 $Poly_4(FF)$ 上不存在由六个多项式组成的线性无关组。
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#tab 所以，在 $Poly_4(FF)$ 上不存在由六个多项式组成的线性无关组。
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@ -467,13 +467,13 @@
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#tab 解得 $a_0 = a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = 0$，因此向量组 $p_0, dots, p_4$ 是线性无关的。
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#tab 解得 $a_0 = a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = 0$，因此向量组 $p_0, dots, p_4$ 是线性无关的。
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#tab 因此，根据“线性无关组的长度 $<=$ 张成组的长度”（原书定理2.22），$Poly_4(FF)$ 上的张成组的长度不少于 $5$。因此，由四个多项式构成的向量组不可能张成 $Poly_4(FF)$。
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#tab 因此，根据“线性无关组的长度 $<=$ 张成组的长度”（原书2.22），$Poly_4(FF)$ 上的张成组的长度不少于 $5$。因此，由四个多项式构成的向量组不可能张成 $Poly_4(FF)$。
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#exercise_sol(type: "proof", ref: <E-inf-dim-space-seq-characterization>)[
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#exercise_sol(type: "proof", ref: <E-inf-dim-space-seq-characterization>)[
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证明：$V$ 是无限维的，当且仅当 $V$ 中存在一个序列 $v_1, v_2, dots$ 使得对于任意正整数 $m$，均有向量组 $v_1, dots, v_m$ 线性无关。
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证明：$V$ 是无限维的，当且仅当 $V$ 中存在一个序列 $v_1, v_2, dots$ 使得对于任意正整数 $m$，均有向量组 $v_1, dots, v_m$ 线性无关。
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首先说明充分性：现在假设 $V$ 中存在一个序列 $v_1, v_2, dots$ 使得对于任意正整数 $m$，均有向量组 $v_1, dots, v_m$ 线性无关。反证假设 $V$ 是有限维的，即存在一个向量组 $u_1, dots, u_ell$ 张成 $V$。根据“线性无关组的长度 $<=$ 张成组的长度”（原书定理2.22），必然有向量组 $v_1, dots, v_(ell + 1)$ 线性相关，这与条件矛盾。因此，$V$ 是无限维的。
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首先说明充分性：现在假设 $V$ 中存在一个序列 $v_1, v_2, dots$ 使得对于任意正整数 $m$，均有向量组 $v_1, dots, v_m$ 线性无关。反证假设 $V$ 是有限维的，即存在一个向量组 $u_1, dots, u_ell$ 张成 $V$。根据“线性无关组的长度 $<=$ 张成组的长度”（原书2.22），必然有向量组 $v_1, dots, v_(ell + 1)$ 线性相关，这与条件矛盾。因此，$V$ 是无限维的。
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#tab 然后说明必要性：现在假设 $V$ 是无限维的。我们现在构造题目所要求的序列 $v_1, v_2, dots$ 如下
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#tab 然后说明必要性：现在假设 $V$ 是无限维的。我们现在构造题目所要求的序列 $v_1, v_2, dots$ 如下
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$ a_1 v_1 + dots.c + a_m v_m = 0 $
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$ a_1 v_1 + dots.c + a_m v_m = 0 $
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#tab 这立即给出 $a_1 = dots.c = a_m = 0$，于是根据线性无关的定义（原书定义2.15），向量组 $v_1, dots, v_m$ 是线性无关的。
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#tab 这立即给出 $a_1 = dots.c = a_m = 0$，于是根据线性无关的定义（原书2.15），向量组 $v_1, dots, v_m$ 是线性无关的。
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#tab 所以，根据@E-inf-dim-space-seq-characterization，$FF^infinity$ 是无限维的。
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#tab 所以，根据@E-inf-dim-space-seq-characterization，$FF^infinity$ 是无限维的。
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$ a_1 f_1 (x) + dots.c + a_m f_m (x) = 0 $
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$ a_1 f_1 (x) + dots.c + a_m f_m (x) = 0 $
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#tab 对于 $k in {1, dots, m}$，我们代入 $x = 1/k$ 即可说明 $a_k = 0$，于是根据线性无关的定义（原书定义2.15），向量组 $f_1, dots, f_m$ 是线性无关的。
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#tab 对于 $k in {1, dots, m}$，我们代入 $x = 1/k$ 即可说明 $a_k = 0$，于是根据线性无关的定义（原书2.15），向量组 $f_1, dots, f_m$ 是线性无关的。
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#tab 所以，根据@E-inf-dim-space-seq-characterization，#fun-notation 是无限维的。
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#tab 所以，根据@E-inf-dim-space-seq-characterization，#fun-notation 是无限维的。
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$ q_k:& FF -> FF \ &z |-> z^k $
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$ q_k:& FF -> FF \ &z |-> z^k $
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#tab 根据多项式的次数定义（原书定义2.11），有
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#tab 根据多项式的次数定义（原书2.11），有
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$ Poly_m (FF) = span(q_0, dots, q_m) $
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$ Poly_m (FF) = span(q_0, dots, q_m) $
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@ -591,7 +591,7 @@
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#let b1 = math.bold("1")
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#let b1 = math.bold("1")
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$ b1:& FF -> FF \ &z |-> 1 $
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$ b1:& FF -> FF \ &z |-> 1 $
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#tab 有 $b1 in Poly_m (FF)$。同时，注意到 $b1(2) != 0$，因此 $b1 in.not span(v_1, dots, v_m)$。根据@E-when-vector-list-append-remains-indep，向量组 $p_0, dots, p_m, b1$ 线性无关。然而，根据“线性无关组的长度 $<=$ 张成组的长度”（原书定理2.22），$q_0, dots, q_m$ 这一张成向量组的长度为 $m + 1$，而向量组 $p_0, dots, p_m, b1$ 的长度为 $m + 2$，不可能是线性无关的。矛盾，故假设不成立。
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#tab 有 $b1 in Poly_m (FF)$。同时，注意到 $b1(2) != 0$，因此 $b1 in.not span(v_1, dots, v_m)$。根据@E-when-vector-list-append-remains-indep，向量组 $p_0, dots, p_m, b1$ 线性无关。然而，根据“线性无关组的长度 $<=$ 张成组的长度”（原书2.22），$q_0, dots, q_m$ 这一张成向量组的长度为 $m + 1$，而向量组 $p_0, dots, p_m, b1$ 的长度为 $m + 2$，不可能是线性无关的。矛盾，故假设不成立。
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#tab 综上所述，$p_0, dots, p_m$ 在 $Poly_m (FF)$ 中不是线性无关的。
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#tab 综上所述，$p_0, dots, p_m$ 在 $Poly_m (FF)$ 中不是线性无关的。
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#exercise_sol(type: "answer")[
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#exercise_sol(type: "answer")[
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求出所有恰好有一个基的向量空间。
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求出所有恰好有一个基的向量空间。
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${0}$ 是唯一满足要求的向量空间，它的基是空集。对于任何其他向量空间 $V$，不妨设其的一个基为 $v_1, dots, v_m$，则由基的判定准则（原书定理2.28）可知，$V$ 中的任意向量都 $v$ 都可以唯一地表示为
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${0}$ 是唯一满足要求的向量空间，它的基是空集。对于任何其他向量空间 $V$，不妨设其的一个基为 $v_1, dots, v_m$，则由基的判定准则（原书2.28）可知，$V$ 中的任意向量都 $v$ 都可以唯一地表示为
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$ v = a_1 v_1 + dots.c + a_m v_m $
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$ v = a_1 v_1 + dots.c + a_m v_m $
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@ -34,11 +34,11 @@
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$ a_1 v_1 + dots.c + a_n v_n = 0 $
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$ a_1 v_1 + dots.c + a_n v_n = 0 $
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#tab 这立即给出 $a_1 = dots.c = a_n = 0$，根据线性无关的定义（原书定义2.15），可知向量组 $v_1, dots, v_n$ 是线性无关的。设 $v = (x_1, dots, x_n) in FF^n$，则
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#tab 这立即给出 $a_1 = dots.c = a_n = 0$，根据线性无关的定义（原书2.15），可知向量组 $v_1, dots, v_n$ 是线性无关的。设 $v = (x_1, dots, x_n) in FF^n$，则
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$ v = x_1 v_1 + dots.c + x_n v_n $
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$ v = x_1 v_1 + dots.c + x_n v_n $
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#tab 因此，$v_1, dots, v_n$ 张成 $FF^n$。根据基的定义（原书定义2.26），可知向量组 $v_1, dots, v_n$ 是 $FF^n$ 的基。
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#tab 因此，$v_1, dots, v_n$ 张成 $FF^n$。根据基的定义（原书2.26），可知向量组 $v_1, dots, v_n$ 是 $FF^n$ 的基。
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#tab 对于 (b)，设 $a_1, a_2 in FF$，$v = (x_1, x_2) in FF^2$，满足
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#tab 对于 (b)，设 $a_1, a_2 in FF$，$v = (x_1, x_2) in FF^2$，满足
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@ -51,7 +51,7 @@
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a_2 = 2 x_1 - x_2
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a_2 = 2 x_1 - x_2
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) $
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) $
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#tab 这表明 $FF^2$ 中的每个向量都可以唯一地被表示为向量组 $(1, 2), (3, 5)$ 的线性组合。所以，根据基的判定准则（原书定理2.28），向量组 $(1, 2), (3, 5)$ 是 $FF^2$ 的基。
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#tab 这表明 $FF^2$ 中的每个向量都可以唯一地被表示为向量组 $(1, 2), (3, 5)$ 的线性组合。所以，根据基的判定准则（原书2.28），向量组 $(1, 2), (3, 5)$ 是 $FF^2$ 的基。
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#tab 对于 (c)，设 $a_1, a_2 in FF$，满足
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#tab 对于 (c)，设 $a_1, a_2 in FF$，满足
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@ -95,7 +95,7 @@
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#tab 这表明 ${(x, y, z) in FF^3 : x + y + z = 0}$ 中的每个向量都可以唯一地被表示为向量组 $(1, -1, 0), (1, 0, -1)$ 的线性组合。所以，根据基的判定准则，向量组 $(1, -1, 0), (1, 0, -1)$ 是 ${(x, y, z) in FF^3 : x + y + z = 0}$ 的基。
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#tab 这表明 ${(x, y, z) in FF^3 : x + y + z = 0}$ 中的每个向量都可以唯一地被表示为向量组 $(1, -1, 0), (1, 0, -1)$ 的线性组合。所以，根据基的判定准则，向量组 $(1, -1, 0), (1, 0, -1)$ 是 ${(x, y, z) in FF^3 : x + y + z = 0}$ 的基。
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#tab 对于 (g)，根据多项式的次数的定义（原书定义2.11），立即可得 $1, z, dots, z^m$ 张成 $Poly_m (FF)$。现在反证假设 $1, z, dots, z^m$ 不是线性无关的。即存在 $a_0, dots, a_m in FF$，其中至少有一个不为 $0$，使得对于任意 $z in FF$，有
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#tab 对于 (g)，根据多项式的次数的定义（原书2.11），立即可得 $1, z, dots, z^m$ 张成 $Poly_m (FF)$。现在反证假设 $1, z, dots, z^m$ 不是线性无关的。即存在 $a_0, dots, a_m in FF$，其中至少有一个不为 $0$，使得对于任意 $z in FF$，有
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$ a_0 + a_1 z + dots.c + a_m z^m = 0 $
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$ a_0 + a_1 z + dots.c + a_m z^m = 0 $
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$ z = (abs(a_0) + dots.c + abs(a_(ell - 1))) / abs(a_m) + 1 $
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$ z = (abs(a_0) + dots.c + abs(a_(ell - 1))) / abs(a_m) + 1 $
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#tab 注意到 $z >= 1$，于是对 $j in {0, dots, ell - 1}$，有 $z^j <= z^(ell-1)$。使用三角不等式#footnote[见原书定理4.4。一般而言，我们不应该引用后面的定理，因为这将带来循环论证的风险。但是复数的性质这个定理完全独立，因此从逻辑上说，这里引用原书定理4.4是没有问题的。]，我们有
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#tab 注意到 $z >= 1$，于是对 $j in {0, dots, ell - 1}$，有 $z^j <= z^(ell-1)$。使用三角不等式#footnote[见原书4.4。一般而言，我们不应该引用后面的定理，因为这将带来循环论证的风险。但是复数的性质这个定理完全独立，因此从逻辑上说，这里引用原书4.4是没有问题的。]，我们有
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$ abs(a_0 + a_1 z + dots.c + a_(ell - 1) z^(ell - 1)) <= (abs(a_0) + dots.c + abs(a_(ell - 1)))z^(ell - 1) < abs(a_ell z^ell) $
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$ abs(a_0 + a_1 z + dots.c + a_(ell - 1) z^(ell - 1)) <= (abs(a_0) + dots.c + abs(a_(ell - 1)))z^(ell - 1) < abs(a_ell z^ell) $
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#tab 矛盾，因此 $1, z, dots, z^m$ 是线性无关的。根据基的定义，$1, z, dots, z^m$ 是 $Poly_m (FF)$ 的基。
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#tab 矛盾，因此 $1, z, dots, z^m$ 是线性无关的。根据基的定义，$1, z, dots, z^m$ 是 $Poly_m (FF)$ 的基。
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#note[对于 (g)，值得一提的是，上面证明的核心部分表明，多项式的系数是唯一的。这个巧妙的证明来自原书第三版的正文（定理4.7），然而在第四版中被删除了，取而代之的是不那么直接的原书定理4.8。]
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#note[对于 (g)，值得一提的是，上面证明的核心部分表明，多项式的系数是唯一的。这个巧妙的证明来自原书第三版的正文（定理4.7），然而在第四版中被删除了，取而代之的是不那么直接的原书4.8。]
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#exercise_sol(type: "answer")[
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#exercise_sol(type: "answer")[
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+ 设 $U$ 为 $RR^5$ 的子空间，定义为#h(1fr) //https://github.com/typst/typst/issues/529
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+ 设 $U$ 为 $RR^5$ 的子空间，定义为#h(1fr) //https://github.com/typst/typst/issues/529
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a_3 = z
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a_3 = z
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) $
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) $
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#tab 这表明 $U$ 中的每个向量都可以唯一地被表示为向量组 $u_1, u_2, u_3$ 的线性组合。所以，根据基的判定准则（原书定理2.28），向量组 $u_1, u_2, u_3$ 是 $U$ 的基。
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#tab 这表明 $U$ 中的每个向量都可以唯一地被表示为向量组 $u_1, u_2, u_3$ 的线性组合。所以，根据基的判定准则（原书2.28），向量组 $u_1, u_2, u_3$ 是 $U$ 的基。
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#tab 对于 (b)，令
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#tab 对于 (b)，令
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$ a_1 u_1 + a_2 u_2 + a_3 u_3 - a_4 u_4 - a_5 u_5 = 0 $
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$ a_1 u_1 + a_2 u_2 + a_3 u_3 - a_4 u_4 - a_5 u_5 = 0 $
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#tab 由于 $u_1, dots, u_5$ 是线性无关的（见上面 (b) 的证明），因此 $a_1 = dots.c = a_5 = 0$。这表明 $v = 0$，因此 $U inter W = {0}$。根据“两个子空间的直和”（原书定理1.46），我们得到 $RR^5 = U plus.circle W$。
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#tab 由于 $u_1, dots, u_5$ 是线性无关的（见上面 (b) 的证明），因此 $a_1 = dots.c = a_5 = 0$。这表明 $v = 0$，因此 $U inter W = {0}$。根据“两个子空间的直和”（原书1.46），我们得到 $RR^5 = U plus.circle W$。
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#exercise_sol(type: "answer")[
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#exercise_sol(type: "answer")[
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a_3 = -1/3(y + 2z)
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a_3 = -1/3(y + 2z)
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#tab 这表明 $U$ 中的每个向量都可以唯一地被表示为向量组 $u_1, u_2, u_3$ 的线性组合。所以，根据基的判定准则（原书定理2.28），向量组 $u_1, u_2, u_3$ 是 $U$ 的基。
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#tab 这表明 $U$ 中的每个向量都可以唯一地被表示为向量组 $u_1, u_2, u_3$ 的线性组合。所以，根据基的判定准则（原书2.28），向量组 $u_1, u_2, u_3$ 是 $U$ 的基。
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#tab 对于 (b)，令
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#tab 对于 (b)，令
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@ -249,7 +249,7 @@
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$ a_1 u_1 + a_2 u_2 + a_3 u_3 - a_4 u_4 - a_5 u_5 = 0 $
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$ a_1 u_1 + a_2 u_2 + a_3 u_3 - a_4 u_4 - a_5 u_5 = 0 $
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#tab 由于 $u_1, dots, u_5$ 是线性无关的（见上面 (b) 的证明），因此 $a_1 = dots.c = a_5 = 0$。这表明 $v = 0$，因此 $U inter W = {0}$。根据“两个子空间的直和”（原书定理1.46），我们得到 $CC^5 = U plus.circle W$。
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#tab 由于 $u_1, dots, u_5$ 是线性无关的（见上面 (b) 的证明），因此 $a_1 = dots.c = a_5 = 0$。这表明 $v = 0$，因此 $U inter W = {0}$。根据“两个子空间的直和”（原书1.46），我们得到 $CC^5 = U plus.circle W$。
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#exercise_sol(type: "proof")[
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#exercise_sol(type: "proof")[
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@ -263,7 +263,7 @@
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$ V = span(u_1, dots, u_m, w_1, dots w_ell) $
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$ V = span(u_1, dots, u_m, w_1, dots w_ell) $
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#tab 由于每个张成组都包含基（原书定理2.30），因此 $V$ 有一个由 $U union W$ 中的向量组成的基。
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#tab 由于每个张成组都包含基（原书2.30），因此 $V$ 有一个由 $U union W$ 中的向量组成的基。
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#exercise_sol(type: "answer")[
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#exercise_sol(type: "answer")[
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@ -276,7 +276,7 @@
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p_2:& z -> z^2 + z^3 \
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p_2:& z -> z^2 + z^3 \
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p_3:& z -> z^3 $
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p_3:& z -> z^3 $
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#tab 设 $p in Poly_3(FF)$，则根据多项式的次数的定义（原书定义2.11），存在 $a_0, dots, a_3 in FF$，使得对于任意 $z in FF$，有
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#tab 设 $p in Poly_3(FF)$，则根据多项式的次数的定义（原书2.11），存在 $a_0, dots, a_3 in FF$，使得对于任意 $z in FF$，有
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$ p(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + a_3 z^3 $
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$ p(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + a_3 z^3 $
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@ -318,7 +318,7 @@
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$ v = (b_1 + b_2) v_1 + (b_2 + b_3) v_2 + (b_3 + b_4) v_3 + b_4 v_4 $
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$ v = (b_1 + b_2) v_1 + (b_2 + b_3) v_2 + (b_3 + b_4) v_3 + b_4 v_4 $
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#tab 由于 $v_1, v_2, v_3, v_4$ 是基，根据基的判定准则（原书定理2.28），$v_1, v_2, v_3, v_4$ 的系数只能对应相等，即
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#tab 由于 $v_1, v_2, v_3, v_4$ 是基，根据基的判定准则（原书2.28），$v_1, v_2, v_3, v_4$ 的系数只能对应相等，即
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$ cases(
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$ cases(
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a_1 = b_1 + b_2,
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a_1 = b_1 + b_2,
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$ (a_1 u_1 + dots.c + a_m u_m) + (b_1 w_1 + dots.c + b_n w_n) = 0 $
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$ (a_1 u_1 + dots.c + a_m u_m) + (b_1 w_1 + dots.c + b_n w_n) = 0 $
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#tab 根据直和的条件（原书定理1.45），必须有
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#tab 根据直和的条件（原书1.45），必须有
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$ a_1 u_1 &+ dots.c + a_m u_m &= 0 \
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$ a_1 u_1 &+ dots.c + a_m u_m &= 0 \
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b_1 w_1 &+ dots.c + b_n w_n &= 0 $
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b_1 w_1 &+ dots.c + b_n w_n &= 0 $
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#tab 由于 $u_1, dots, u_m$ 是 $U$ 的基，$w_1, dots, w_n$ 是 $W$ 的基，根据基的定义（原书定义2.26），我们有 $a_1 = dots.c = a_m = b_1 = dots.c = b_n = 0$。这表明向量组 $u_1, dots, u_m, w_1, dots, w_n$ 是线性无关的。
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#tab 由于 $u_1, dots, u_m$ 是 $U$ 的基，$w_1, dots, w_n$ 是 $W$ 的基，根据基的定义（原书2.26），我们有 $a_1 = dots.c = a_m = b_1 = dots.c = b_n = 0$。这表明向量组 $u_1, dots, u_m, w_1, dots, w_n$ 是线性无关的。
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#tab 综上所述，向量组 $u_1, dots, u_m, w_1, dots, w_n$ 是 $V$ 的基。
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#tab 综上所述，向量组 $u_1, dots, u_m, w_1, dots, w_n$ 是 $V$ 的基。
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@ -419,7 +419,7 @@
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$ a_1 v_1 &+ dots.c + a_n v_n &= 0 \
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$ a_1 v_1 &+ dots.c + a_n v_n &= 0 \
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b_1 v_1 &+ dots.c + b_n v_n &= 0 $
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b_1 v_1 &+ dots.c + b_n v_n &= 0 $
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#tab 由于 $v_1, dots, v_n$ 是 $V$ 的基，根据基的定义（原书定义2.26），我们有 $a_1 = dots.c = a_n = b_1 = dots.c = b_n = 0$。这表明向量组 $v_1, dots, v_n$ 是线性无关的。
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#tab 由于 $v_1, dots, v_n$ 是 $V$ 的基，根据基的定义（原书2.26），我们有 $a_1 = dots.c = a_n = b_1 = dots.c = b_n = 0$。这表明向量组 $v_1, dots, v_n$ 是线性无关的。
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#tab 综上所述，向量组 $v_1, dots, v_n$ 是 $complexification(V)$ 的基。
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#tab 综上所述，向量组 $v_1, dots, v_n$ 是 $complexification(V)$ 的基。
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