From efc3f90e5e0fdb1bbf2f2555dfa54a023ec07b1f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: szdytom Date: Sun, 13 Jul 2025 21:00:45 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=E7=BB=9F=E4=B8=80=E4=B9=A0=E9=A2=98=E5=BC=95?= =?UTF-8?q?=E7=94=A8=E6=A0=87=E7=AD=BE=E6=A0=BC=E5=BC=8F?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit Signed-off-by: szdytom --- sections/1A.typ | 16 ++++++++-------- sections/1B.typ | 2 +- sections/1C.typ | 10 +++++----- sections/2A.typ | 20 ++++++++++---------- 4 files changed, 24 insertions(+), 24 deletions(-) diff --git a/sections/1A.typ b/sections/1A.typ index 5927453..763d2bc 100644 --- a/sections/1A.typ +++ b/sections/1A.typ @@ -134,8 +134,8 @@ #tab 因此，这样的 $lambda$ 不存在。 ] -#exercise_sol(type: "proof", ref: <1A-ffn-add-assoc>)[ - 证明：$(x+y)+z=x+(y+z)$ 对所有 $x,y,z in FF^n$ 成立。 +#exercise_sol(type: "proof", ref: )[ + 证明：$(x + y) + z = x + (y + z)$ 对所有 $x,y,z in FF^n$ 成立。 #note[沿用原书记号1.6与记号1.10，即 $FF$ 表示 $RR$ 或 $CC$，$n$ 表示某一固定的正整数。下文不再赘述。] ][ @@ -160,7 +160,7 @@ &= a(b x) $ ] -#exercise_sol(type: "proof", ref: <1A-ffn-mul-unit>)[ +#exercise_sol(type: "proof", ref: )[ 证明：$1 x=x$ 对所有 $x in FF^n$ 成立。 ][ 根据定义，令 $x = (x_1, dots, x_n)$，则有 @@ -171,7 +171,7 @@ &= x $ ] -#exercise_sol(type: "proof", ref: <1A-ffn-distri-2v1s>)[ +#exercise_sol(type: "proof", ref: )[ 证明：$lambda (x+y) = lambda x + lambda y$ 对所有 $lambda in FF$ 和 $x,y in FF^n$ 成立。 ][ 根据定义，令 $x = (x_1, dots, x_n)$，$y = (y_1, dots, y_n)$，则有 @@ -182,7 +182,7 @@ &= lambda x + lambda y $ ] -#exercise_sol(type: "proof", ref: <1A-ffn-distri-1v2s>)[ +#exercise_sol(type: "proof", ref: )[ 证明：$(a+b)x = a x + b x$ 对所有 $a,b in FF$ 和 $x in FF^n$ 成立。 ][ 根据定义，令 $x = (x_1, dots, x_n)$，则有 @@ -200,13 +200,13 @@ / 可交换性: \ 原书定理1.14 / 可结合性: \ - @1A-ffn-add-assoc + @E-ffn-add-assoc / 加法单位元: \ 原书记号1.15定义了 $0$，其性质容易验证 / 加法逆元: \ 原书定义1.17 / 乘法单位元: \ - @1A-ffn-mul-unit + @E-ffn-mul-scalar-id / 分配性质: \ - @1A-ffn-distri-2v1s 和@1A-ffn-distri-1v2s + @E-ffn-distributivity-vector-add 和@E-ffn-distributivity-scalar-add ] diff --git a/sections/1B.typ b/sections/1B.typ index 4a17f93..83ac3da 100644 --- a/sections/1B.typ +++ b/sections/1B.typ @@ -9,7 +9,7 @@ 根据定义 $v + (-v) = 0$，由可交换性，得 $(-v) + v = 0$，即 $v$ 是 $-v$ 的加法逆元。由加法逆元的唯一性（原书定理1.27），得 $-(-v) = v$。 ] -#exercise_sol(type: "proof", label: "tricky", ref: <1B-vec-zero-product-property>)[ +#exercise_sol(type: "proof", label: "tricky", ref: )[ 设 $a in FF$，$v in V$ 且 $a v=0$，证明：$a=0$ 或 $v=0$。 ][ 我们使用反证法，假设 $a != 0$ 且 $v != 0$，同时 $a v = 0$。由于 $a != 0$ 故存在 $a^(-1) in FF$（$a^(-1) != 0$），使得 $a^(-1) a = 1$。因此有 diff --git a/sections/1C.typ b/sections/1C.typ index 650975d..8a60336 100644 --- a/sections/1C.typ +++ b/sections/1C.typ @@ -304,7 +304,7 @@ #tab 综上所述，$h$ 不是 $RR^RR$ 上的周期函数。这表明 $RR -> RR$ 上的周期函数构成的集合并不符合子空间的条件（原书定理1.34）中对“加法封闭性”的要求，因此其不是 $RR^RR$ 的子空间。 ] -#exercise_sol(type: "proof", ref: <1C-inter-of-subspace-is-subspace>)[ +#exercise_sol(type: "proof", ref: )[ 设 $V_1$ 和 $V_2$ 都是 $V$ 的子空间，证明：交集 $V_1 inter V_2$ 是 $V$ 的子空间。 ][ 记 $S=V_1 inter V_2$，我们逐条验证其满足子空间的条件（原书定理1.34）： @@ -334,12 +334,12 @@ 当 $n=1$ 时，$S=V_1$，显然是 $V$ 的子空间。 / 第 $k+1$ 步: \ - 假设当 $n=k$ 时，结论成立，即 $V_1 inter dots inter V_k$ 是 $V$ 的子空间。又因为 $V_(k+1)$ 是 $V$ 的子空间，由@1C-inter-of-subspace-is-subspace 可知，$(V_1 inter dots inter V_k) inter V_(k+1)$ 也是 $V$ 的子空间。由此，我们证明了当 $n=k+1$ 时，结论也成立。 + 假设当 $n=k$ 时，结论成立，即 $V_1 inter dots inter V_k$ 是 $V$ 的子空间。又因为 $V_(k+1)$ 是 $V$ 的子空间，由@E-inter-of-subspace-is-subspace 可知，$(V_1 inter dots inter V_k) inter V_(k+1)$ 也是 $V$ 的子空间。由此，我们证明了当 $n=k+1$ 时，结论也成立。 #tab 综上所述，$V$ 的任意一族子空间的交集是 $V$ 的子空间。 ] -#exercise_sol(type: "proof", ref: <1C-when-union-of-two-subspaces-is-subspace>)[ +#exercise_sol(type: "proof", ref: )[ 证明：$V$ 的两个子空间的并集是 $V$ 的子空间，当且仅当其中一个子空间是另一个的子集。 ][ 设 $V_1$ 和 $V_2$ 都是 $V$ 的子空间。我们首先说明充分性。不妨设 $V_1 subset.eq V_2$，则 $V_1 union V_2 = V_2$ 是 $V$ 的子空间。 @@ -354,13 +354,13 @@ #exercise_sol(type: "proof", label: "hard")[ 证明：$V$ 的三个子空间的并集是 $V$ 的子空间，当且仅当其中一个包含另外两个。 - #note[令人惊讶的是，这道习题比@1C-when-union-of-two-subspaces-is-subspace 难不少，也许是因为如果我们把 $FF$ 换成只包含两个元素的域，这道习题的结论就不成立了。] + #note[令人惊讶的是，这道习题比@E-when-union-of-two-subspaces-is-subspace 难不少，也许是因为如果我们把 $FF$ 换成只包含两个元素的域，这道习题的结论就不成立了。] ][ 设 $V_1, V_2, V_3$ 都是 $V$ 的子空间。我们首先说明充分性。不妨设 $V_1 subset.eq V_3$ 且 $V_2 subset.eq V_3$，则 $V_1 union V_2 union V_3 = V_3$ 是 $V$ 的子空间。 #tab 下面说明必要性。使用反证法，假设 $V_1 union V_2 union V_3$ 是 $V$ 的子空间，以及任意一个 $V_j$ 都不包含另外两个。 - #tab 我们首先说明，任意一个 $V_j$ 都不是另外两个的并集的子集。否则，不妨设 $V_1 subset.eq V_2 union V_3$，则 $V_1 union V_2 union V_3 = V_2 union V_3$ 是 $V$ 的子空间。应用@1C-when-union-of-two-subspaces-is-subspace，可以推出 $V_2 subset.eq V_3$ 或 $V_3 subset.eq V_2$，这说明 $V_2$ 或 $V_3$ 包含另外两个，矛盾，故假设不成立。因此， + #tab 我们首先说明，任意一个 $V_j$ 都不是另外两个的并集的子集。否则，不妨设 $V_1 subset.eq V_2 union V_3$，则 $V_1 union V_2 union V_3 = V_2 union V_3$ 是 $V$ 的子空间。应用@E-when-union-of-two-subspaces-is-subspace，可以推出 $V_2 subset.eq V_3$ 或 $V_3 subset.eq V_2$，这说明 $V_2$ 或 $V_3$ 包含另外两个，矛盾，故假设不成立。因此， $ V_1 subset.eq.not V_2 union V_3 wide and wide V_2 union V_3 subset.eq.not V_1 $ diff --git a/sections/2A.typ b/sections/2A.typ index f9ae243..68b8166 100644 --- a/sections/2A.typ +++ b/sections/2A.typ @@ -96,11 +96,11 @@ #tab 综上所述，$span(v_1, dots, v_m) = span(w_1, dots, w_m)$。 ] -#exercise_sol(type: "proof", ref: <2A-when-1-or-2-vecs-are-indep>)[ +#exercise_sol(type: "proof", ref: )[ + 证明：向量空间中长度为 $1$ 的组线性无关，当且仅当组中的该向量不是 $0$； + 证明：向量空间中长度为 $2$ 的组线性无关，当且仅当组中两个向量的任意一个不是另一个的标量倍。 ][ - 设 $V$ 是向量空间。对于第一个命题，设 $v in V$。首先说明充分性。假设 $v != 0$，根据#exercise_ref(<1B-vec-zero-product-property>)，使得 $a v = 0$ 成立的 $a in FF$ 的唯一选取方式是 $a = 0$，根据线性无关的定义（原书定义2.15），这表明向量组 $v$ 是线性无关的。 + 设 $V$ 是向量空间。对于第一个命题，设 $v in V$。首先说明充分性。假设 $v != 0$，根据#exercise_ref()，使得 $a v = 0$ 成立的 $a in FF$ 的唯一选取方式是 $a = 0$，根据线性无关的定义（原书定义2.15），这表明向量组 $v$ 是线性无关的。 #tab 然后说明必要性，如果 $v = 0$，则我们有 @@ -177,7 +177,7 @@ + 证明：如果我们将 $CC$ 视为 $RR$ 上的向量空间，那么向量组 $1 + ii, 1 - ii$ 是线性无关的； + 证明：如果我们将 $CC$ 视为 $CC$ 上的向量空间，那么向量组 $1 + ii, 1 - ii$ 是线性相关的。 ][ - 利用@2A-when-1-or-2-vecs-are-indep 中的结论，我们只需注意到， + 利用@E-when-1-or-2-vectors-indep 中的结论，我们只需注意到， $ (1 + i) / (1 - i) = ii $ @@ -313,7 +313,7 @@ #tab 根据张成空间的定义（原书定义2.4），这表明 $w in span(v_1, dots, v_m)$。 ] -#exercise_sol(type: "proof", ref: <2A-when-vecs-append-remains-indep>)[ +#exercise_sol(type: "proof", ref: )[ 设 $v_1, dots, v_m$ 是 $V$ 中的线性无关向量组，且 $w in V$。证明： $ v_1, dots, v_m, w "线性无关" quad <==> quad w in.not span(v_1, dots, v_m) $ @@ -470,7 +470,7 @@ #tab 因此，根据“线性无关组的长度 $<=$ 张成组的长度”（原书定理2.22），$Poly_4(FF)$ 上的张成组的长度不少于 $5$。因此，由四个多项式构成的向量组不可能张成 $Poly_4(FF)$。 ] -#exercise_sol(type: "proof", ref: <2A-when-is-V-inf-dim>)[ +#exercise_sol(type: "proof", ref: )[ 证明：$V$ 是无限维的，当且仅当 $V$ 中存在一个序列 $v_1, v_2, dots$ 使得对于任意正整数 $m$，均有向量组 $v_1, dots, v_m$ 线性无关。 ][ 首先说明充分性：现在假设 $V$ 中存在一个序列 $v_1, v_2, dots$ 使得对于任意正整数 $m$，均有向量组 $v_1, dots, v_m$ 线性无关。反证假设 $V$ 是有限维的，即存在一个向量组 $u_1, dots, u_ell$ 张成 $V$。根据“线性无关组的长度 $<=$ 张成组的长度”（原书定理2.22），必然有向量组 $v_1, dots, v_(ell + 1)$ 线性相关，这与条件矛盾。因此，$V$ 是无限维的。 @@ -478,10 +478,10 @@ #tab 然后说明必要性：现在假设 $V$ 是无限维的。我们现在构造题目所要求的序列 $v_1, v_2, dots$ 如下 / 第 $1$ 步: \ - 任取 $v_1 in V$，使得 $v_1 != 0$。根据@2A-when-1-or-2-vecs-are-indep 中的结论，向量组 $v_1$ 是线性无关的。 + 任取 $v_1 in V$，使得 $v_1 != 0$。根据@E-when-1-or-2-vectors-indep 中的结论，向量组 $v_1$ 是线性无关的。 / 第 $k$ 步: \ - 由于 $V$ 是无限维的，存在一个向量 $v_k in V$，使得 $v_k in.not span(v_1, dots, v_(k-1))$。根据@2A-when-vecs-append-remains-indep 中的结论，向量组 $v_1, dots, v_k$ 线性无关。 + 由于 $V$ 是无限维的，存在一个向量 $v_k in V$，使得 $v_k in.not span(v_1, dots, v_(k-1))$。根据@E-when-vector-list-append-remains-indep 中的结论，向量组 $v_1, dots, v_k$ 线性无关。 #tab 所以，$V$ 中存在一个序列 $v_1, v_2, dots$ 使得对于任意正整数 $m$，均有向量组 $v_1, dots, v_m$ 线性无关。必要性得证。 @@ -501,7 +501,7 @@ #tab 这立即给出 $a_1 = dots.c = a_m = 0$，于是根据线性无关的定义（原书定义2.15），向量组 $v_1, dots, v_m$ 是线性无关的。 - #tab 所以，根据@2A-when-is-V-inf-dim 中的结论，$FF^infinity$ 是无限维的。 + #tab 所以，根据@E-inf-dim-space-seq-characterization 中的结论，$FF^infinity$ 是无限维的。 ] #exercise_sol(type: "proof")[ @@ -571,7 +571,7 @@ #tab 对于 $k in {1, dots, m}$，我们代入 $x = 1/k$ 即可说明 $a_k = 0$，于是根据线性无关的定义（原书定义2.15），向量组 $f_1, dots, f_m$ 是线性无关的。 - #tab 所以，根据@2A-when-is-V-inf-dim 中的结论，#fun-notation 是无限维的。 + #tab 所以，根据@E-inf-dim-space-seq-characterization 中的结论，#fun-notation 是无限维的。 ] #exercise_sol(type: "proof")[ @@ -590,7 +590,7 @@ #let b1 = math.bold("1") $ b1:& FF -> FF \ &z |-> 1 $ - #tab 有 $b1 in Poly_m (FF)$。同时，注意到 $b1(2) != 0$，因此 $b1 in.not span(v_1, dots, v_m)$。根据@2A-when-vecs-append-remains-indep 中的结论，向量组 $p_0, dots, p_m, b1$ 线性无关。然而，根据“线性无关组的长度 $<=$ 张成组的长度”（原书定理2.22），$q_0, dots, q_m$ 这一张成向量组的长度为 $m + 1$，而向量组 $p_0, dots, p_m, b1$ 的长度为 $m + 2$，不可能是线性无关的。矛盾，故假设不成立。 + #tab 有 $b1 in Poly_m (FF)$。同时，注意到 $b1(2) != 0$，因此 $b1 in.not span(v_1, dots, v_m)$。根据@E-when-vector-list-append-remains-indep 中的结论，向量组 $p_0, dots, p_m, b1$ 线性无关。然而，根据“线性无关组的长度 $<=$ 张成组的长度”（原书定理2.22），$q_0, dots, q_m$ 这一张成向量组的长度为 $m + 1$，而向量组 $p_0, dots, p_m, b1$ 的长度为 $m + 2$，不可能是线性无关的。矛盾，故假设不成立。 #tab 综上所述，$p_0, dots, p_m$ 在 $Poly_m (FF)$ 中不是线性无关的。 ]