szTom/LADRSolutions
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方而静 2025-07-08 19:56:02 +08:00
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sections/1C.typ
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@ -290,3 +290,22 @@
#tab 综上所述，$h$ 不是 $RR^RR$ 上的周期函数。这表明 $RR -> RR$ 上的周期函数构成的集合并不符合子空间的条件（原书定理1.34）中对“加法封闭性”的要求，因此其不是 $RR^RR$ 的子空间。
]
#exercise_sol(type: "proof")[
设 $V_1$ 和 $V_2$ 都是 $V$ 的子空间，证明：交集 $V_1 inter V_2$ 是 $V$ 的子空间。
][
记 $S=V_1 inter V_2$，我们逐条验证其满足子空间的条件（原书定理1.34）：
/ 加法单位元: $0 in S$。 \
证明：由于 $V_1$ 和 $V_2$ 都是 $V$ 的子空间，因此 $0 in V_1$ 且 $0 in V_2$，从而 $0 in S$。
/ 加法封闭性: $u,w in S$ 意味着 $u+w in S$。 \
证明：设 $u, w in S$，则
$ u in V_1, w in V_1, u in V_2, w in V_2 $
因此 $u+w in V_1$ 且 $u+w in V_2$，从而 $u+w in S$。
/ 数乘封闭性: $a in V$ 且 $u in S$ 意味着 $a u in S$。 \
证明：设 $u in S$，则
$ u in V_1, u in V_2 $
因此 $a u in V_1$ 且 $a u in V_2$，从而 $a u in S$。
#tab 综上所述，$V_1 inter V_2$ 是 $V$ 的子空间。
]