From f4535a456a3da272843578a6545286eb779452ed Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: szdytom Date: Fri, 11 Jul 2025 23:25:26 +0800 Subject: [PATCH] 2B p4 Signed-off-by: szdytom --- sections/2B.typ | 72 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-- 1 file changed, 70 insertions(+), 2 deletions(-) diff --git a/sections/2B.typ b/sections/2B.typ index c75ff77..00bcdf6 100644 --- a/sections/2B.typ +++ b/sections/2B.typ @@ -122,6 +122,7 @@ 求 $U$ 的一个基； + 将 (a) 中的基扩充为 $RR^5$ 的一个基； + + 求 $RR^5$ 的一个子空间 $W$，使得 $RR^5 = U plus.circle W$。 ][ 对于 (a)，令 @@ -146,7 +147,7 @@ $ u_4 = (1, 0, 0, 0, 0), quad u_5 = (0, 0, 1, 0, 0) $ - #tab 下面说明 $u_1, dots, u_5$ 是 $RR^5$ 的一个基。设 $a_1, dots, a_5 in RR$，$v = (x_1, dots x_5) in RR^5$，满足 + #tab 下面说明 $u_1, dots, u_5$ 是 $RR^5$ 的一个基。设 $a_1, dots, a_5 in RR$，$v = (x_1, dots, x_5) in RR^5$，满足 $ v = a_1 u_1 + dots + a_5 u_5 $ @@ -168,7 +169,7 @@ #tab 我们首先说明，$RR^5 = U + W$。由于向量组 $u_1, dots, u_5$ 张成 $RR^5$，因此任意向量 $v in RR^5$ 都可以被表示为 - $ v = a_1 u_1 + a_2 u_2 + a_3 u_3 + a_4 u_4 + a_5 u_5 $ + $ v = (a_1 u_1 + a_2 u_2 + a_3 u_3) + (a_4 u_4 + a_5 u_5) $ #tab 注意到 $a_1 u_1 + a_2 u_2 + a_3 u_3 in U$，且 $a_4 u_4 + a_5 u_5 in W$，故 $RR^5 = U + W$。 @@ -182,3 +183,70 @@ #tab 由于 $u_1, dots, u_5$ 是线性无关的（见上面 (b) 的证明），因此 $a_1 = dots = a_5 = 0$。这表明 $v = 0$，因此 $U inter W = {0}$。根据“两个子空间的直和”（原书定理1.46），我们得到 $RR^5 = U plus.circle W$。 ] + +#exercise_sol(type: "answer")[ + + 设 $U$ 为 $CC^5$ 的子空间，定义为 + $ U = {(z_1, z_2, z_3, z_4, z_5) in CC^5 : 6z_1 = z_2 and z_3 + 2z_4 + 3z_5 = 0} $ + + + 将 (a) 中的基扩充为 $CC^5$ 的一个基； + + + 求 $CC^5$ 的一个子空间 $W$，使得 $CC^5 = U plus.circle W$。 +][ + 对于 (a)，令 + + $ u_1 = (1, 6, 0, 0, 0), quad u_2 = (0, 0, -2, 1, 0), quad u_3 = (0, 0, -3, 0, 1) $ + + #tab 下面说明 $u_1, u_2, u_3$ 是 $U$ 的一个基。设 $a_1, a_2, a_3 in CC$，$v = (x, 6x, y, z, -1/3(y + 2z)) in U$，满足 + + $ v = a_1 u_1 + a_2 u_2 + a_3 u_3 $ + + #tab 求解 $a_1, a_2, a_3$，得到唯一的一组解是 + + $ cases( + a_1 = x, + a_2 = z, + a_3 = -1/3(y + 2z) + ) $ + + #tab 这表明 $U$ 中的每个向量都可以唯一地被表示为向量组 $u_1, u_2, u_3$ 的线性组合。所以，根据基的判定准则（原书定理2.28），向量组 $u_1, u_2, u_3$ 是 $U$ 的基。 + + #tab 对于 (b)，令 + + $ u_4 = (1, 0, 0, 0, 0), quad u_5 = (0, 0, 0, 1, 0) $ + + #tab 下面说明 $u_1, dots, u_5$ 是 $CC^5$ 的一个基。设 $a_1, dots, a_5 in CC$，$v = (z_1, dots, z_5) in CC^5$，满足 + + $ v = a_1 u_1 + dots + a_5 u_5 $ + + #tab 求解 $a_1, dots, a_5$，得到唯一的一组解是 + + $ cases( + a_1 = 1/6 z_2, + a_2 = z_4, + a_3 = z_5, + a_4 = z_1 - 1/6 z_2, + a_5 = z_3 + 2 z_4 + 3 z_5 + ) $ + + #tab 这表明 $CC^5$ 中的每个向量都可以唯一地被表示为向量组 $u_1, dots, u_6$ 的线性组合。所以，根据基的判定准则，向量组 $u_1, dots, u_6$ 是 $CC^5$ 的基。 + + #tab 对于 (c)，令 + + $ W = span(u_4, u_5) $ + + #tab 我们首先说明，$CC^5 = U + W$。由于向量组 $u_1, dots, u_5$ 张成 $CC^5$，因此任意向量 $v in CC^5$ 都可以被表示为 + + $ v = (a_1 u_1 + a_2 u_2 + a_3 u_3) + (a_4 u_4 + a_5 u_5) $ + + #tab 注意到 $a_1 u_1 + a_2 u_2 + a_3 u_3 in U$，且 $a_4 u_4 + a_5 u_5 in W$，故 $CC^5 = U + W$。 + + #tab 设 $v in U inter W$。则存在标量 $a_1, dots, a_5$，满足 + + $ a_1 u_1 + a_2 u_2 + a_3 u_3 = v = a_4 u_4 + a_5 u_5 $ + + #tab 于是 + + $ a_1 u_1 + a_2 u_2 + a_3 u_3 - a_4 u_4 - a_5 u_5 = 0 $ + + #tab 由于 $u_1, dots, u_5$ 是线性无关的（见上面 (b) 的证明），因此 $a_1 = dots = a_5 = 0$。这表明 $v = 0$，因此 $U inter W = {0}$。根据“两个子空间的直和”（原书定理1.46），我们得到 $CC^5 = U plus.circle W$。 +]