From fb9569c8267d75866cb6c0376dd117a2994d0ad0 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: szdytom Date: Tue, 29 Jul 2025 22:04:22 +0800 Subject: [PATCH] 3B p10 Signed-off-by: szdytom --- sections/3B.typ | 14 ++++++++++++++ 1 file changed, 14 insertions(+) diff --git a/sections/3B.typ b/sections/3B.typ index 2869cdf..addaf35 100644 --- a/sections/3B.typ +++ b/sections/3B.typ @@ -160,3 +160,17 @@ #tab 这说明向量组 $T v_1, dots, T v_n$ 在 $W$ 中线性无关。 ] + +#exercise_sol(type: "proof")[ + 设向量组 $v_1, dots, v_n$ 张成 $V$，$T in LinearMap(V, W)$，证明：$T v_1, dots, T v_n$ 张成 $range T$。 +][ + 设 $w in range T$，则可设 $v in V$，使得 $T v = w$。将 $v$ 表示为 + + $ v = z_1 v_1 + dots.c + z_n v_n $ + + #tab 其中 $z_1, dots, z_n in FF$。则 + + $ w = T v = T (z_1 v_1 + dots.c + z_n v_n) = z_1 T v_1 + dots.c + z_n T v_n $ + + #tab 这说明 $w$ 可以表示为向量组 $T v_1, dots, T v_n$ 的线性组合，根据张成的定义（原书2.7），可得 $T v_1, dots, T v_n$ 张成 $range T$。 +]