diff --git a/sections/1A.typ b/sections/1A.typ index 2ce7987..ab5b7f6 100644 --- a/sections/1A.typ +++ b/sections/1A.typ @@ -149,7 +149,7 @@ #note[$FF^n$ 上向量的加法交换律由原书定理1.14给出。] -#exercise_sol(type: "proof")[ +#exercise_sol(type: "proof", ref: )[ 证明：$(a b)x = a(b x)$ 对所有 $x in FF^n$ 和 $a,b in FF$ 成立。 ][ 根据定义，令 $x = (x_1, dots, x_n)$，则有 @@ -200,7 +200,7 @@ / 可交换性: \ 原书定理1.14 / 可结合性: \ - @E-ffn-add-assoc + @E-ffn-add-assoc 和@E-ffn-mul-assoc / 加法单位元: \ 原书记号1.15定义了 $0$，其性质容易验证 / 加法逆元: \ diff --git a/sections/1B.typ b/sections/1B.typ index 071d4c1..c1d7197 100644 --- a/sections/1B.typ +++ b/sections/1B.typ @@ -101,39 +101,43 @@ #tab 我们现在证明 $V^S$ 是 $FF$ 上的向量空间。具体而言，我们逐条验证向量空间的定义（原书定义1.20）中的要求： / 可交换性: 对于任意 $f, g in V^S$，都有 $f + g = g + f$。 \ - 证明：对于任意 $x in S$，有 + 证明：设 $x in S$，有 $ (f + g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g + f)(x) $ 因此 $f + g = g + f $。 - / 可结合性: 对于任意 $f, g, h in V^S$，都有 $(f + g) + h = f + (g + h)$。 \ - 证明：对于任意 $x in S$，有 - $ ((f + g) + h)(x) &= (f + g)(x) + h(x) 、 + / 可结合性: 对于任意 $f, g, h in V^S$ 以及 $a, b in FF$，都有 $(f + g) + h = f + (g + h)$ 且 $(a b)f = a(b f)$。 \ + 证明：设 $x in S$，则对于加法的结合性，有 + $ ((f + g) + h)(x) &= (f + g)(x) + h(x) \ &= f(x) + g(x) + h(x) \ &= f(x) + (g + h)(x) \ &= (f + (g + h))(x) $ - 因此 $(f + g) + h = f + (g + h)$。 + 因此 $(f + g) + h = f + (g + h)$。对于标量乘法的结合性，有 + $ ((a b)f)(x) &= (a b)(f(x)) \ + &= a(b f(x)) \ + &= a((b f)(x)) = (a(b f))(x) $ + 因此 $(a b)f = a(b f)$。 / 加法单位元: 存在 $0 in V^S$ 使得对于任意 $f in V^S$，都有 $f + 0 = f$。 \ - 证明：取 $0: x |-> 0$ 为 $V^S$ 中的加法单位元。对于任意 $f in V^S$，都有 + 证明：取 $0: x |-> 0$ 为 $V^S$ 中的加法单位元。设 $x in S$，对于任意 $f in V^S$，都有 $ (f + 0)(x) = f(x) + 0 = f(x) = (f)(x) $ 因此 $f + 0 = f$。 / 加法逆元: 对于任意 $f in V^S$，存在 $g in V^S$ 使得 $f + g = 0$。 \ - 证明：取 $g: x |-> -f(x)$ 为 $f$ 的加法逆元。对于任意 $x in S$，都有 + 证明：取 $g: x |-> -f(x)$ 为 $f$ 的加法逆元。设 $x in S$，都有 $ (f + g)(x) = f(x) + g(x) = f(x) - f(x) = 0 $ 因此 $f + g = 0$。 / 乘法单位元: 对于任意 $f in V^S$，都有 $1f = f$。 \ - 证明：对于任意 $x in S$，都有 + 证明：设 $x in S$，都有 $ (1f)(x) = 1 f(x) = f(x) $ 因此 $1f = f$。 / 分配性质: 对于任意 $f, g in V^S$ 以及所有 $a, b in FF$，都有 $a(f + g) = a f + a g$ 且 $(a + b)f = a f + b f$。 \ - 证明：对于任意 $x in S$，有 + 证明：设 $x in S$，则对于第一个分配性质，有 $ (a(f + g))(x) &= a((f + g)(x)) = a(f(x) + g(x)) \ &= a f(x) + a g(x) = (a f)(x) + (a g)(x) \ &= (a f + a g)(x) $ - 因此 $a(f + g) = a f + a g$。另一方面，有 + 因此 $a(f + g) = a f + a g$。对于第二个分配性质，有 $ ((a + b)f)(x) &= (a + b) f(x) \ &= a f(x) + b f(x) \ &= (a f)(x) + (b f)(x) \ @@ -168,14 +172,19 @@ &= (u_2 + u_1) + ii (v_2 + v_1) \ &= (u_2 + ii v_2) + (u_1 + ii v_1) $ - / 可结合性: 对于任意 $u, v, w in complexification(V)$，都有 $(u + v) + w = u + (v + w)$。 \ - 证明：设 $u_1,v_1,u_2,v_2,u_3,v_3 in V$，由加法的可结合性，$(u_1 + u_2) + u_3 = u_1 + (u_2 + u_3)$ - 且 $(v_1 + v_2) + v_3 = v_1 + (v_2 + v_3)$，因此 + / 可结合性: 对于任意 $u, v, w in complexification(V)$ 以及 $a, b in CC$，都有 $(u + v) + w = u + (v + w)$ 且 $(a b)u = a(b u)$。 \ + 证明：设 $u_1,v_1,u_2,v_2,u_3,v_3 in V$，则对于加法的结合性，有 $ &((u_1 + ii v_1) + (u_2 + ii v_2)) + (u_3 + ii v_3) \ =& ((u_1 + u_2) + ii (v_1 + v_2)) + (u_3 + ii v_3) \ =& (u_1 + u_2 + u_3) + ii (v_1 + v_2 + v_3) \ =& (u_1 + ii v_1) + ((u_2 + ii v_2) + (u_3 + ii v_3)) \ =& (u_1 + ii v_1) + (u_2 + u_3) + ii (v_2 + v_3) $ + 另一方面，对于标量乘法的结合性，有 + $ (a b)(u + ii v) &= (a b)(u_1 + ii v_1) \ + &= (a b u_1 - a b v_1) + ii (a b v_1 + a b u_1) \ + &= a(b u_1 - b v_1) + ii (a b v_1 + a b u_1) \ + &= a(b(u_1 + ii v_1)) \ + &= a(b(u + ii v)) $ / 加法单位元: 存在 $0 in complexification(V)$，使得对于任意 $u in complexification(V)$，都有 $u + 0 = u$。 \ 证明：取 $0 = 0 + ii 0$ 为 $complexification(V)$ 中的加法单位元。对于任意 $u,v in V$，都有 @@ -201,7 +210,7 @@ =& (a(u_1 + u_2) - b(v_1 + v_2)) + ii (a(v_1 + v_2) + b(u_1 + u_2)) \ =& (a u_1 - b v_1 + a u_2 - b v_2) + ii (a v_1 + b u_1 + a v_2 + b u_2) \ =& (a + b ii)(u_1 + ii v_1) + (a + b ii)(u_2 + ii v_2) $ - 另一方面，对于任意 $u,v in V$ 和 $a, b, c, d in RR$ + 另一方面，对于任意 $u,v in V$ 和 $a, b, c, d in RR$， $ &((a + b ii) + (c + d ii))(u + ii v) \ =& (a + c) u - (b + d) v + ii ((a + b) v + (c + d) u) \ =& ((a u - b v) + (c u - d v)) + ii ((a v + b u) + (c v + d u)) \ diff --git a/sections/3A.typ b/sections/3A.typ index 162b774..d6c7908 100644 --- a/sections/3A.typ +++ b/sections/3A.typ @@ -128,6 +128,7 @@ $ (T + S)v &= T v + S v \ &= S v + T v \ &= (S + T)v $ + 因此 $T + S = S + T$。 / 可结合性: 对任意 $T, S, R in LinearMap(V, W)$ 以及 $a, b in FF$，都有 $ (T + S) + R = T + (S + R)$，以及 $(a b)T = a(b T)$。\ 证明：设 $v in V$，则对于加法的结合性，有 @@ -136,16 +137,18 @@ &= T v + (S + R)v \ &= T v + S v + R v \ &= (T + (S + R))v $ - 对于乘法的结合性，有 + 因此 $(T + S) + R = T + (S + R)$。另一方面，对于标量乘法的结合性，有 $ ((a b)T)v &= (a b)(T v) \ &= a(b(T v)) \ &= a((b T)v) = (a(b T))v $ + 因此 $(a b)T = a(b T)$。 / 加法单位元: 存在 $0 in LinearMap(V, W)$，使得对任意 $T in LinearMap(V, W)$，$T + 0 = T$。 \ 证明：取 $0: v |-> 0$，设 $v in V$，则 $ (T + 0)v &= T v + 0 v \ &= T v + 0 \ &= T v $ + 因此 $T + 0 = T$。 / 加法逆元: 对任意 $T in LinearMap(V, W)$，存在 $-T in LinearMap(V, W)$，使得 $T + (-T) = 0$。 \ 证明：取 $-T: v |-> -T v$，设 $v in V$，则 @@ -153,11 +156,13 @@ &= T v - T v \ &= 0 \ &= 0 v $ + 因此 $T + (-T) = 0$。 / 乘法单位元: 对于任意 $T in LinearMap(V, W)$，$1 T = T$。 \ 证明：设 $v in V$，则 $ (1 T)v &= 1(T v) \ &= T v $ + 因此 $1 T = T$。 / 分配性质: 对于任意 $T, S in LinearMap(V, W)$ 和 $a, b in FF$，都有 $a(T + S) = a T + a S$，以及 $(a + b)T = a T + b T$。\ 证明：设 $v in V$，则对于第一个分配性质，有 @@ -165,9 +170,10 @@ &= a(T v + S v) \ &= a T v + a S v \ &= (a T + a S)v $ - 对于第二个分配性质，有 + 因此 $a(T + S) = a T + a S$。另一方面，对于第二个分配性质，有 $ ((a + b)T)v &= (a + b)(T v) \ &= a(T v) + b(T v) \ &= (a T)v + (b T)v \ &= (a T + b T)v $ + 因此 $(a + b)T = a T + b T$。 ]