2C p9

Signed-off-by: szdytom <szdytom@qq.com>

sections/1C.typ

@@ -333,8 +333,8 @@
 	/ 第 $1$ 步: \
 		当 $n=1$ 时，$S=V_1$，显然是 $V$ 的子空间。
 
-	/ 第 $k+1$ 步: \
+	/ 第 $k$ 步: \
-		假设当 $n=k$ 时，结论成立，即 $V_1 inter dots inter V_k$ 是 $V$ 的子空间。又因为 $V_(k+1)$ 是 $V$ 的子空间，由@E-inter-of-subspace-is-subspace 可知，$(V_1 inter dots inter V_k) inter V_(k+1)$ 也是 $V$ 的子空间。由此，我们证明了当 $n=k+1$ 时，结论也成立。
+		假设当 $n = k - 1$ 时，结论成立，即 $V_1 inter dots inter V_(k - 1)$ 是 $V$ 的子空间。又因为 $V_k$ 是 $V$ 的子空间，由@E-inter-of-subspace-is-subspace 可知，$(V_1 inter dots inter V_(k - 1)) inter V_k$ 也是 $V$ 的子空间。由此，我们证明了当 $n = k$ 时，结论也成立。
 
 	#tab 综上所述，$V$ 的任意一族子空间的交集是 $V$ 的子空间。
 ]

sections/2C.typ

@@ -252,3 +252,17 @@
 ]
 
 #note[可以验证，上面结论等号成立，当且仅当存在 $i,j in {1, dots, m}$（$i != j$），使得 $w = lambda v_i + mu v_j$，其中 $lambda, mu in FF$，满足 $lambda + mu = -1$。]
+
+#exercise_sol(type: "proof")[
+	设 $m$ 是正整数，$p_0, dots, p_m in Poly(FF)$，其中 $p_k$ 的次数为 $k$，证明： $p_0, dots, p_m$ 是 $Poly_m (FF)$ 的基。
+][
+	我们首先论证：对于任意自然数 $m$，$p_0, dots, p_m$ 是线性无关的。我们关于 $m$ 使用数学归纳法。
+
+	/ 第 $0$ 步: \
+		当 $m = 0$ 时，根据#exercise_ref(<E-when-1-or-2-vectors-indep>)，向量组 $p_0$ 是线性无关的。
+
+	/ 第 $k$ 步: \
+		假设向量组 $p_0, dots, p_(k - 1)$ 是线性无关的。根据多项式系数的唯一性，$k$ 次多项式 $p_k in.not span(p_0, dots, p_(k-1))$，于是根据#exercise_ref(<E-when-vector-list-append-remains-indep>)，向量组 $p_0, dots, p_k$ 是线性无关的。
+	
+	#tab 综上所述，对于任意自然数 $m$，向量组 $p_0, dots, p_m$ 是线性无关的。注意到对于任意正整数 $m$，$Poly_m (FF) = m + 1$，根据长度恰当的线性无关组是基（原书2.38），$p_0, dots, p_m$ 是 $Poly_m (FF)$ 的基。
+]