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@ -333,8 +333,8 @@
/ 第 $1$ 步: \
$n=1$ 时,$S=V_1$,显然是 $V$ 的子空间。
/ 第 $k+1$ 步: \
假设当 $n=k$ 时,结论成立,即 $V_1 inter dots inter V_k$ $V$ 的子空间。又因为 $V_(k+1)$ $V$ 的子空间,由@E-inter-of-subspace-is-subspace 可知,$(V_1 inter dots inter V_k) inter V_(k+1)$ 也是 $V$ 的子空间。由此,我们证明了当 $n=k+1$ 时,结论也成立。
/ 第 $k$ 步: \
假设当 $n = k - 1$ 时,结论成立,即 $V_1 inter dots inter V_(k - 1)$ $V$ 的子空间。又因为 $V_k$ $V$ 的子空间,由@E-inter-of-subspace-is-subspace 可知,$(V_1 inter dots inter V_(k - 1)) inter V_k$ 也是 $V$ 的子空间。由此,我们证明了当 $n = k$ 时,结论也成立。
#tab 综上所述,$V$ 的任意一族子空间的交集是 $V$ 的子空间。
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@ -252,3 +252,17 @@
]
#note[可以验证,上面结论等号成立,当且仅当存在 $i,j in {1, dots, m}$$i != j$),使得 $w = lambda v_i + mu v_j$,其中 $lambda, mu in FF$,满足 $lambda + mu = -1$]
#exercise_sol(type: "proof")[
$m$ 是正整数,$p_0, dots, p_m in Poly(FF)$,其中 $p_k$ 的次数为 $k$,证明: $p_0, dots, p_m$ $Poly_m (FF)$ 的基。
][
我们首先论证:对于任意自然数 $m$$p_0, dots, p_m$ 是线性无关的。我们关于 $m$ 使用数学归纳法。
/ 第 $0$ 步: \
$m = 0$ 时,根据#exercise_ref(<E-when-1-or-2-vectors-indep>),向量组 $p_0$ 是线性无关的。
/ 第 $k$ 步: \
假设向量组 $p_0, dots, p_(k - 1)$ 是线性无关的。根据多项式系数的唯一性,$k$ 次多项式 $p_k in.not span(p_0, dots, p_(k-1))$,于是根据#exercise_ref(<E-when-vector-list-append-remains-indep>),向量组 $p_0, dots, p_k$ 是线性无关的。
#tab 综上所述,对于任意自然数 $m$,向量组 $p_0, dots, p_m$ 是线性无关的。注意到对于任意正整数 $m$$Poly_m (FF) = m + 1$根据长度恰当的线性无关组是基原书2.38$p_0, dots, p_m$ $Poly_m (FF)$ 的基。
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