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@ -502,3 +502,26 @@
#tab 根据@2A-when-is-V-inf-dim 中的结论,$FF^infinity$ 是无限维的。 #tab 根据@2A-when-is-V-inf-dim 中的结论,$FF^infinity$ 是无限维的。
] ]
#exercise_sol(type: "proof")[
证明:由区间 $[0, 1]$ 上的所有连续实值函数构成的 $RR$ 上的向量空间是无限维的。
][
#let fun-notation = $RR^[0, 1]_cancel(arrow.dotted)$
#fun-notation 为由区间 $[0, 1]$ 上的所有连续实值函数构成的 $RR$ 上的向量空间。
#tab 对于 $k in NN^+$,我们令函数
$ f_k:& [0, 1] -> RR \ &x |-> x^k $
#tab 论证 $f_k$ 是连续函数超出了“代数”的范围,但我们可以论证 $f_k in #fun-notation$。我们现在论证,对于任意正整数 $m$,函数组 $f_1, dots, f_m$ 是线性无关的。设 $a_1, dots a_m in RR$,使得
$ a_1 f_1 + dots.c + a_m f_m = 0 $
#tab 即对于任意 $x in [0, 1]$,有
$ a_1 x + dots.c + a_m x^m = 0 $
#tab 根据“次数为 $m$ 的多项式最多有 $m$ 个零点”原书定理4.8#footnote[一般而言我们不应该引用后面的定理因为这将带来循环论证的风险。但是第4章多项式相对独立从逻辑上说这里引用原书定理4.8是没有问题的。]),我们可以得出结论,$a_1 = dots.c = a_m = 0$于是根据线性无关的定义原书定义2.15),函数组 $f_1, dots, f_m$ 是线性无关的。
#tab 根据@2A-when-is-V-inf-dim 中的结论,#fun-notation 是无限维的。
]

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@ -135,6 +135,7 @@
show heading.where(level: 1): it => { show heading.where(level: 1): it => {
counter("chapter_N").step() counter("chapter_N").step()
counter("section_N").update(0) counter("section_N").update(0)
counter(footnote).update(0)
block(width: 100%, { block(width: 100%, {
set text(15pt, font: zhfont_sans, weight: "medium") set text(15pt, font: zhfont_sans, weight: "medium")
grid( grid(