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Typst
#import "../styles.typ": exercise_sol, note, tab, exercise_ref, math_numbering
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#import "../math.typ": span, Poly
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#exercise_sol(type: "proof")[
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证明：$RR^2$ 的子空间恰有 ${0}$，$RR^2$ 中所有过原点的直线，以及 $RR^2$ 本身。
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设 $U$ 是 $RR^2$ 的子空间，根据子空间的维数性质（原书2.37），有 $dim U in {0, 1, 2}$。
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- 如果 $dim U = 0$，则 $U = span() = {0}$；
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- 如果 $dim U = 1$，则存在一个非零向量 $v$，使得 $U = span(v)$，即 $U$ 是过原点的直线；
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- 如果 $dim U = 2$，则根据满维数的子空间等于整个空间（原书2.39），$U = RR^2$。
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#tab 综上所述，$RR^2$ 的子空间恰有 ${0}$，$RR^2$ 中所有过原点的直线，以及 $RR^2$ 本身。
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#exercise_sol(type: "proof")[
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证明：$RR^3$ 的子空间恰有 ${0}$，$RR^3$ 中所有过原点的直线，$RR^3$ 中所有过原点的平面，以及 $RR^3$ 本身。
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设 $U$ 是 $RR^3$ 的子空间，根据子空间的维数性质（原书2.37），有 $dim U in {0, 1, 2, 3}$。
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- 如果 $dim U = 0$，则 $U = span() = {0}$；
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- 如果 $dim U = 1$，则存在一个非零向量 $v$，使得 $U = span(v)$，即 $U$ 是过原点的直线；
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- 如果 $dim U = 2$，则存在两个线性无关的向量 $v_1, v_2$，使得 $U = span(v_1, v_2)$，即 $U$ 是过原点的平面；
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- 如果 $dim U = 3$，则根据满维数的子空间等于整个空间（原书2.39），$U = RR^3$。
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#tab 综上所述，$RR^3$ 的子空间恰有 ${0}$，$RR^3$ 中所有过原点的直线，$RR^3$ 中所有过原点的平面，以及 $RR^3$ 本身。
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]
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#exercise_sol(type: "answer")[
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+ 令 $U = {p in Poly_4(FF) : p(6) = 0}$，求 $U$ 的一组基；
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+ 将 (a) 中的基扩充为 $Poly_4(FF)$ 的基；
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+ 求 $Poly_4(FF)$ 的一个子空间 $W$，使得 $Poly_4(FF) = U plus.circle W$。
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对于 (a)，我们的思路是，考虑到 $p(6) = 0$ 意味着任意 $p in U$ 都可以表示为 $p(z) = (z - 6)q(z)$，其中 $q in Poly_3(FF)$。因此，我们很容易猜测 $z - 6, z^2 - 6z, z^3 - 6z^2, z^4 - 6z^3$#footnote[将这些表达式看作关于 $z$ 的函数，即这里表示的是 $z |-> dots.c$，下同。]是 $U$ 的一组基。
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#tab 为了说明这一点，我们首先证明 $z - 6, z^2 - 6z, z^3 - 6z^2, z^4 - 6z^3$ 是线性无关的。设 $a, b, c, d in FF$，满足对于任意 $z in FF$，
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$ a(z - 6) + b(z^2 - 6z) + c(z^3 - 6z^2) + d(z^4 - 6z^3) = 0 $
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#tab 整理得到
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$ -6a + (a - 6b)z + (b - 6c)z^2 + (c - 6d)z^3 + d z^4 = 0 $
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#tab 根据多项式系数的唯一性，我们有
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$ cases(
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-6a = 0,
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a - 6b = 0,
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b - 6c = 0,
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c - 6d = 0,
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d = 0
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) $
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#tab 由此可得 $a = b = c = d = 0$，因此 $z - 6, z^2 - 6z, z^3 - 6z^2, z^4 - 6z^3$ 是线性无关的。
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#tab 根据子空间的维数的性质，我们知道 $dim U <= dim Poly_4(FF) = 5$。注意到 $z |-> z in.not U$，故 $U != Poly_4(FF)$，于是 $dim U <= 4$。另一方面，将 $U$ 的一组基看作张成组，根据“线性无关组的长度 $<=$ 张成组的长度”（原书2.22），我们得到 $dim U >= 4$。于是只能有 $dim U = 4$。
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#tab 代入 $z=6$，立即可以验证 $z - 6, z^2 - 6z, z^3 - 6z^2, z^4 - 6z^3 in U$，根据长度恰当的线性无关组是基（原书2.38），我们得出 $z - 6, z^2 - 6z, z^3 - 6z^2, z^4 - 6z^3$ 是 $U$ 的一组基。
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#tab 对于 (b)，注意到 $1 in.not U$，根据#exercise_ref(<E-when-vector-list-append-remains-indep>)，可得向量组 $z - 6, z^2 - 6z, z^3 - 6z^2, z^4 - 6z^3, 1$ 是线性无关的，进一步地，向量组 $z - 6, z^2 - 6z, z^3 - 6z^2, z^4 - 6z^3, 1$ 是长度恰当（$dim Poly_4(FF) = 5$）的线性无关组，因此它是 $Poly_4(FF)$ 的一组基。
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#tab 对于 (c)，我们可以取 $W = span(1)$。由 (b) 可知 $Poly_4(FF) = U + W$，根据子空间之和的维数（原书2.43），我们有
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$ dim Poly_4(FF) = dim U + dim W - dim(U inter W) $
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#tab 解得 $dim (U inter W) = 0$，即 $U inter W = {0}$。根据“两个子空间的直和”（原书1.46），得到 $Poly_4(FF) = U plus.circle W$。
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#exercise_sol(type: "answer")[
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+ 令 $U = {p in Poly_4(FF) : p''(6) = 0}$，求 $U$ 的一组基；
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+ 将 (a) 中的基扩充为 $Poly_4(FF)$ 的基；
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+ 求 $Poly_4(FF)$ 的一个子空间 $W$，使得 $Poly_4(FF) = U plus.circle W$。
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#tab 对于 (a)，向量组 $1, z, z^3 - 18z^2, z^4 - 216z^2$ 是 $U$ 的一组基。为了说明这一点，我们首先证明 $1, z, z^3 - 18z^2, z^4 - 216z^2$ 是线性无关的。设 $a, b, c, d in FF$，满足对于任意 $z in FF$，
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$ a + b z + c(z^3 - 18z^2) + d(z^4 - 216z^2) = 0 $
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#tab 整理得到
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$ a + b z + (-18c - 216d)z^2 + c z^3 + d z^4 = 0 $
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#tab 根据多项式系数的唯一性，我们有
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$ cases(
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a = 0,
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b = 0,
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-18c - 216d = 0,
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c = 0,
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d = 0
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) $
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#tab 由此可得 $a = b = c = d = 0$，因此 $1, z, z^3 - 18z^2, z^4 - 216z^2$ 是线性无关的。
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#tab 根据子空间的维数的性质，我们知道 $dim U <= dim Poly_4(FF) = 5$。注意到 $z |-> z^2 in.not U$，故 $U != Poly_4(FF)$，于是 $dim U <= 4$。另一方面，将 $U$ 的一组基看作张成组，根据“线性无关组的长度 $<=$ 张成组的长度”（原书2.22），我们得到 $dim U >= 4$。于是只能有 $dim U = 4$。
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#tab 分别求二阶导，再代入 $z = 6$，可以验证 $1, z, z^3 - 18z^2, z^4 - 216z^2 in U$，根据长度恰当的线性无关组是基（原书2.38），我们得出 $1, z, z^3 - 18z^2, z^4 - 216z^2$ 是 $U$ 的一组基。
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#tab 对于 (b)，注意到 $z^2 in.not U$，根据#exercise_ref(<E-when-vector-list-append-remains-indep>)，可得向量组 $1, z, z^3 - 18z^2, z^4 - 216z^2, z^2$ 是线性无关的，进一步地，向量组 $1, z, z^3 - 18z^2, z^4 - 216z^2, z^2$ 是长度恰当（$dim Poly_4(FF) = 5$）的线性无关组，因此它是 $Poly_4(FF)$ 的一组基。
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#tab 对于 (c)，我们可以取 $W = span(z^2)$。由 (b) 可知 $Poly_4(FF) = U + W$，
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根据子空间之和的维数（原书2.43），我们有
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$ dim Poly_4(FF) = dim U + dim W - dim(U inter W) $
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#tab 解得 $dim (U inter W) = 0$，即 $U inter W = {0}$。根据“两个子空间的直和”（原书1.46），得到 $Poly_4(FF) = U plus.circle W$。
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]
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#exercise_sol(type: "answer", ref: <E-p2-eq-p5-poly4>)[
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+ 令 $U = {p in Poly_4(FF) : p(2) = p(5)}$，求 $U$ 的一组基；
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+ 将 (a) 中的基扩充为 $Poly_4(FF)$ 的基；
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+ 求 $Poly_4(FF)$ 的一个子空间 $W$，使得 $Poly_4(FF) = U plus.circle W$。
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#tab 对于 (a)，向量组 $1, z^2 - 7z, z^3 - 39 z, z^4 - 203 z$ 是 $U$ 的一组基。为了说明这一点，我们首先证明 $1, z^2 - 7z, z^3 - 39 z, z^4 - 203 z$ 是线性无关的。设 $a, b, c, d in FF$，满足对于任意 $z in FF$，
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$ a + b(z^2 - 7z) + c(z^3 - 39 z) + d(z^4 - 203 z) = 0 $
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#tab 整理得到
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$ a + (-7b - 39c - 203d)z + b z^2 + c z^3 + d z^4 = 0 $
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#tab 根据多项式系数的唯一性，我们有
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$ cases(
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a = 0,
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-7b - 39c - 203d = 0,
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b = 0,
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c = 0,
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d = 0
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) $
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#tab 由此可得 $a = b = c = d = 0$，因此 $1, z^2 - 7z, z^3 - 39 z, z^4 - 203 z$ 是线性无关的。
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#tab 根据子空间的维数的性质，我们知道 $dim U <= dim Poly_4(FF) = 5$。注意到 $z |-> z in.not U$，故 $U != Poly_4(FF)$，于是 $dim U <= 4$。另一方面，将 $U$ 的一组基看作张成组，根据“线性无关组的长度 $<=$ 张成组的长度”（原书2.22），我们得到 $dim U >= 4$。于是只能有 $dim U = 4$。
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#tab 分别代入 $z = 2$ 和 $z = 5$，可以验证 $1, z^2 - 7z, z^3 - 39 z, z^4 - 203 z in U$，根据长度恰当的线性无关组是基（原书2.38），我们得出 $1, z^2 - 7z, z^3 - 39 z, z^4 - 203 z$ 是 $U$ 的一组基。
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#tab 对于 (b)，注意到 $z in.not U$，根据#exercise_ref(<E-when-vector-list-append-remains-indep>)，可得向量组 $1, z^2 - 7z, z^3 - 39 z, z^4 - 203 z, z$ 是线性无关的，进一步地，向量组 $1, z^2 - 7z, z^3 - 39 z, z^4 - 203 z, z$ 是长度恰当（$dim Poly_4(FF) = 5$）的线性无关组，因此它是 $Poly_4(FF)$ 的一组基。
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#tab 对于 (c)，我们可以取 $W = span(z)$。由 (b) 可知 $Poly_4(FF) = U + W$，根据子空间之和的维数（原书2.43），我们有
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$ dim Poly_4(FF) = dim U + dim W - dim(U inter W) $
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#tab 解得 $dim (U inter W) = 0$，即 $U inter W = {0}$。根据“两个子空间的直和”（原书1.46），得到 $Poly_4(FF) = U plus.circle W$。
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]
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#exercise_sol(type: "answer")[
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+ 令 $U = {p in Poly_4(FF) : p(2) = p(5) = p(6)}$，求 $U$ 的一组基；
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+ 将 (a) 中的基扩充为 $Poly_4(FF)$ 的基；
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+ 求 $Poly_4(FF)$ 的一个子空间 $W$，使得 $Poly_4(FF) = U plus.circle W$。
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对于 (a)，向量组 $1, z^3 - 13 z^2 + 52z, z^4 - 117 z^2 + 616z$ 是 $U$ 的一组基。为了说明这一点，我们首先证明 $1, z^3 - 13 z^2 + 52z, z^4 - 117 z^2 + 616z$ 是线性无关的。设 $a, b, c in FF$，满足对于任意 $z in FF$，
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$ a + b(z^3 - 13 z^2 + 52z) + c(z^4 - 117 z^2 + 616z) = 0 $
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#tab 整理得到
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$ a + (52b + 616c)z + (-13b - 117c)z^2 + b z^3 + c z^4 = 0 $
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#tab 根据多项式系数的唯一性，我们有
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$ cases(
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a = 0,
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52b + 616c = 0,
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-13b - 117c = 0,
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b = 0,
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c = 0
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) $
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#tab 由此可得 $a = b = c = 0$，因此 $1, z^3 - 13 z^2 + 52z, z^4 - 117 z^2 + 616z$ 是线性无关的。
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#tab 设 $U_0$ 表示@E-p2-eq-p5-poly4 中的子空间 $U$。根据子空间的维数的性质，我们知道 $dim U <= dim U_0 = 4$。注意到 $(z - 2)(z - 5) in U_0$ 但是 $(z - 2)(z - 5) in.not U$，故 $U != U_0$，于是 $dim U <= 3$。另一方面，将 $U$ 的一组基看作张成组，根据“线性无关组的长度 $<=$ 张成组的长度”（原书2.22），我们得到 $dim U >= 3$。于是只能有 $dim U = 3$。
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#tab 分别代入 $z = 2$、$z = 5$ 和 $z = 6$，可以验证 $1, z^3 - 13 z^2 + 52z, z^4 - 117 z^2 + 616z in U$，根据长度恰当的线性无关组是基（原书2.38），我们得出 $1, z^3 - 13 z^2 + 52z, z^4 - 117 z^2 + 616z$ 是 $U$ 的一组基。
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#tab 对于 (b)，注意到 $(z - 2)(z - 5) in.not U$，根据#exercise_ref(<E-when-vector-list-append-remains-indep>)，可得向量组 $1, z^3 - 13 z^2 + 52z, z^4 - 117 z^2 + 616z, (z - 2)(z - 5)$ 是线性无关的。进一步地，注意到该向量组中的多项式均满足在 $z = 2$ 处的取值与在 $z = 5$ 处的取值相等，故
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$ z^2 in.not span(1, z^3 - 13 z^2 + 52z, z^4 - 117 z^2 + 616z, (z - 2)(z - 5)) $
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#tab 所以，向量组 $1, z^3 - 13 z^2 + 52z, z^4 - 117 z^2 + 616z, (z - 2)(z - 5), z^2$ 是线性无关的，作为长度恰当（$dim Poly_4(FF) = 5$）的线性无关组，它是 $Poly_4(FF)$ 的一组基。
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#tab 对于 (c)，我们可以取 $W = span((z - 2)(z - 5), z^2)$。由 (b) 可知 $Poly_4(FF) = U + W$，根据子空间之和的维数（原书2.43），我们有
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$ dim Poly_4(FF) = dim U + dim W - dim(U inter W) $
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#tab 解得 $dim (U inter W) = 0$，即 $U inter W = {0}$。根据“两个子空间的直和”（原书1.46），得到 $Poly_4(FF) = U plus.circle W$。
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]
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#exercise_sol(type: "answer")[
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+ 令 $U = {p in Poly_4(FF) : integral_(-1)^1 p = 0}$，求 $U$ 的一组基；
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+ 将 (a) 中的基扩充为 $Poly_4(FF)$ 的基；
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+ 求 $Poly_4(FF)$ 的一个子空间 $W$，使得 $Poly_4(FF) = U plus.circle W$。
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我们的思路是，考虑到
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#show: math_numbering(true)
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$ integral_(-1)^1 a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + a_3 z^3 + a_4 z^4 dif z = 2 a_0 + 2/3 a_2 + 2/5 a_4 $ <2C-F-intt-poly4--1-to-1>
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#show: math_numbering(false)
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#tab 我们很容易猜测 $z, 3 z^2 - 1, z^3, 5z^4 - 1$ 是 $U$ 的一组基。为了严格说明这一点，我们首先证明 $z, 3 z^2 - 1, z^3, 5z^4 - 1$ 是线性无关的。设 $a, b, c, d in FF$，满足对于任意 $z in FF$，
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$ a z + b(3 z^2 - 1) + c z^3 + d(5z^4 - 1) = 0 $
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#tab 整理得到
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$ (-b - d) + a z + (3b)z^2 + c z^3 + (5d)z^4 = 0 $
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#tab 根据多项式系数的唯一性，我们有
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$ cases(
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-b - d = 0,
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a = 0,
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3b = 0,
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c = 0,
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5d = 0
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) $
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#tab 由此可得 $a = b = c = d = 0$，因此 $z, 3 z^2 - 1, z^3, 5z^4 - 1$ 是线性无关的。
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#tab 根据子空间的维数的性质，我们知道 $dim U <= dim Poly_4(FF) = 5$。注意到 $z |-> 1 in.not U$，故 $U != Poly_4(FF)$，于是 $dim U <= 4$。另一方面，将 $U$ 的一组基看作张成组，根据“线性无关组的长度 $<=$ 张成组的长度”（原书2.22），我们得到 $dim U >= 4$。于是只能有 $dim U = 4$。
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#tab 将系数代入@2C-F-intt-poly4--1-to-1 的积分结果，发现 $z, 3 z^2 - 1, z^3, 5z^4 - 1 in U$，根据长度恰当的线性无关组是基（原书2.38），我们得出 $z, 3 z^2 - 1, z^3, 5z^4 - 1$ 是 $U$ 的一组基。
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#tab 对于 (b)，注意到 $1 in.not U$，根据#exercise_ref(<E-when-vector-list-append-remains-indep>)，可得向量组 $z, 3 z^2 - 1, z^3, 5z^4 - 1, 1$ 是线性无关的，进一步地，向量组 $z, 3 z^2 - 1, z^3, 5z^4 - 1, 1$ 是长度恰当（$dim Poly_4(FF) = 5$）的线性无关组，因此它是 $Poly_4(FF)$ 的一组基。
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#tab 对于 (c)，我们可以取 $W = span(1)$。由 (b) 可知 $Poly_4(FF) = U + W$，根据子空间之和的维数（原书2.43），我们有
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$ dim Poly_4(FF) = dim U + dim W - dim(U inter W) $
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#tab 解得 $dim (U inter W) = 0$，即 $U inter W = {0}$。根据“两个子空间的直和”（原书1.46），得到 $Poly_4(FF) = U plus.circle W$。
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]
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#exercise_sol(type: "proof", label: "tricky")[
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设向量组 $v_1, dots, v_m$ 在 $V$ 中线性无关，$w in V$，证明
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$ dim span(v_1 + w, dots, v_m + w) >= m - 1 $
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$m = 1$ 的情况是平凡的。对于 $m >= 2$，我们注意到以下事实：
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- $-v_1 in.not span(v_2, dots, v_m)$；
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- $v_2, dots, v_m$ 线性无关。
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#tab 根据#exercise_ref(<E-when-shared-vec-add-become-dep>) 的逆否命题，我们得到 $v_2 - v_1, dots, v_m - v_1$ 是线性无关的。另一方面，注意到，对于任意 $k in {2, dots, m}$
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$ v_k - v_1 = (v_k + w) - (v_1 + w) in span(v_1 + w, dots, v_m + w) $
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#tab 综上所述，$v_2 - v_1, dots, v_m - v_1$ 是 $span(v_1 + w, dots, v_m + w)$ 上的一个线性无关组，因此，根据“线性无关组的长度 $<=$ 张成组的长度”（原书2.22），我们得到结论 $dim span(v_1 + w, dots, v_m + w) >= m - 1$。
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#note[可以验证，上面结论等号成立，当且仅当存在 $i,j in {1, dots, m}$（$i != j$），使得 $w = lambda v_i + mu v_j$，其中 $lambda, mu in FF$，满足 $lambda + mu = -1$。]
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#exercise_sol(type: "proof")[
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设 $m$ 是正整数，$p_0, dots, p_m in Poly(FF)$，其中 $p_k$ 的次数为 $k$，证明： $p_0, dots, p_m$ 是 $Poly_m (FF)$ 的基。
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我们首先论证：对于任意自然数 $m$，$p_0, dots, p_m$ 是线性无关的。我们关于 $m$ 使用数学归纳法。
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/ 第 $0$ 步: \
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当 $m = 0$ 时，根据#exercise_ref(<E-when-1-or-2-vectors-indep>)，向量组 $p_0$ 是线性无关的。
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/ 第 $k$ 步: \
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假设向量组 $p_0, dots, p_(k - 1)$ 是线性无关的。根据多项式系数的唯一性，$k$ 次多项式 $p_k in.not span(p_0, dots, p_(k-1))$，于是根据#exercise_ref(<E-when-vector-list-append-remains-indep>)，向量组 $p_0, dots, p_k$ 是线性无关的。
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#tab 综上所述，对于任意自然数 $m$，向量组 $p_0, dots, p_m$ 是线性无关的。注意到对于任意正整数 $m$，$Poly_m (FF) = m + 1$，根据长度恰当的线性无关组是基（原书2.38），$p_0, dots, p_m$ 是 $Poly_m (FF)$ 的基。
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#exercise_sol(type: "proof")[
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设 $m$ 是正整数，对于 $k in {0, dots, m}$，令
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$ p_k:& FF -> FF \ &z |-> z^k (1 - z)^(m - k) $
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证明：$p_0, dots, p_m$ 是 $Poly_m (FF)$ 的基。
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#note[这道习题中的基能够引出所谓*伯恩斯坦多项式（Bernstein polynomials）*。你可以上网搜索，了解伯恩斯坦多项式如何用于逼近 $[0, 1]$ 上的连续函数。]
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注意到，根据二项式定理，对于任意 $j in {0, dots, m}$，
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$ z^j = sum_(k = j)^(m) binom(m - j, k - j) z^k (1 - z)^(m - k) $
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#tab 即 $1, z, dots, z^m$ 均可用 $p_0, dots, p_m$ 的线性组合表示，于是 $p_0, dots, p_k$ 张成 $Poly_m (FF)$。
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#tab 注意到 $dim Poly_m (FF) = m + 1$，根据恰当长度的张成组是基（原书2.42），$p_0, dots, p_m$ 是 $Poly_m (FF)$ 的基。
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#exercise_sol(type: "proof")[
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设 $U$ 和 $W$ 都是 $CC^6$ 的四维子空间，证明：在 $U inter W$ 中存在两个向量，其中任意一个都不是另一个的标量倍。
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设子空间 $V = U + W$，根据子空间之和的维数（原书2.43），我们有
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$ dim V = dim U + dim W - dim(U inter W) $
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#tab 另一方面，根据子空间的维数性质（原书2.37），$dim V <= dim CC^6 = 6$。因此，
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$ dim(U inter W) >= 2 $
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#tab 设 $u_1, dots, u_m$ 是 $U inter W$ 的一组基，其中 $m >= 2$。则 $u_1, u_2$ 是线性无关的。根据#exercise_ref(<E-when-1-or-2-vectors-indep>), $u_1, u_2$ 中任意一个都不是另一个的标量倍。由此得证。
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