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Typst
358 lines
13 KiB
Typst
#import "../styles.typ": exercise_sol, tab, exercise_ref, math_numbering
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#import "../math.typ": span, ii
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#exercise_sol(type: "answer")[
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求 $FF^3$ 中的四个不同的向量，其张成空间为
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$ {(x, y, z) in FF^3 : x + y + z = 0} $
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][
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取 $u = (1, 0, -1)$，$v = (0, 1, -1)$。根据张成空间的定义，
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$ span(u, v) = {(x, y, -x-y) in FF^3 : x,y in FF} $
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#tab 这已经是题目所要求的张成空间了。为了补足四个不同的向量，我们可以取 $w_1 = 2u$，$w_2 = 2v$。
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#tab 综上所述，题目要求的四个不同的向量可以是
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$ (1, 0, -1), (0, 1, -1), (2, 0, -2), (0, 2, -2) $
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]
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#exercise_sol(type: "proof")[
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证明或证伪：如果向量组 $v_1, v_2, v_3, v_4$ 张成 $V$，那么向量组
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$ v_1 - v_2, v_2 - v_3, v_3 - v_4, v_4 $
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也张成 $V$。
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][
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对于任意 $v in V$，可以将其表示为
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$ v = a_1 v_1 + a_2 v_2 + a_3 v_3 + a_4 v_4 $
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#tab 其中 $a_i in FF$。我们可以将其改写为
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$ v = a_1 (v_1 - v_2) + (a_1 + a_2) (v_2 - v_3) + (a_2 + a_3) (v_3 - v_4) + (a_3 + a_4) v_4 $
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#tab 这说明 $v$ 可以用 $v_1 - v_2$，$v_2 - v_3$，$v_3 - v_4$ 和 $v_4$ 线性表示，这表明 $V subset.eq span(v_1 - v_2, v_2 - v_3, v_3 - v_4, v_4)$。
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#tab 另一方面，设 $v in span(v_1 - v_2, v_2 - v_3, v_3 - v_4, v_4)$，则 $v$ 可以表示为
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$ v = b_1 (v_1 - v_2) + b_2 (v_2 - v_3) + b_3 (v_3 - v_4) + b_4 v_4 $
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#tab 其中 $b_i in FF$。我们可以将其改写为
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$ v = (b_1 + b_2) v_1 + (b_2 + b_3) v_2 + (b_3 + b_4) v_3 + b_4 v_4 $
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#tab 这说明 $v$ 可以用 $v_1$，$v_2$，$v_3$ 和 $v_4$ 线性表示，这表明 $span(v_1 - v_2, v_2 - v_3, v_3 - v_4, v_4) subset.eq V$。
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#tab 综上所述，$V = span(v_1 - v_2, v_2 - v_3, v_3 - v_4, v_4)$，即向量组 $v_1 - v_2, v_2 - v_3, v_3 - v_4, v_4$ 也张成 $V$。
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]
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#exercise_sol(type: "proof")[
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设 $v_1, dots, v_m$ 是 $V$ 中的一组向量。对于 $k in {1, dots, m}$，令
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$ w_k = v_1 + dots.c + v_k $
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证明：$span(v_1, dots, v_m) = span(w_1, dots, w_m)$。
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][
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设 $u in span(v_1, dots, v_m)$，则 $u$ 可以表示为
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$ u = a_1 v_1 + dots.c + a_m v_m $
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#tab 其中 $a_i in FF$。我们可以将其改写为
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$ u = b_1 w_1 + dots.c + b_m w_m $
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#tab 其中对于 $k in {1, dots, m}$，$b_k = a_k - a_(k + 1)$（方便起见，我们设 $a_(m+1) = 0$。为了验证这一点，我们带入 $b_i$ 和 $w_i$ 的定义，得到
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$ b_1 w_1 + dots.c + b_m w_m
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&= sum_(i=1)^m (a_i - a_(i + 1))sum_(j=1)^i v_j \
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&= sum_(i=1)^m sum_(j=1)^i (a_i - a_(i + 1))v_j \
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&= sum_(j=1)^m sum_(i=j)^m (a_i - a_(i + 1))v_j \
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||
&= sum_(j=1)^m (sum_(i=j)^m a_i - sum_(i=j)^m a_(i + 1)) v_j \
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&= sum_(j=1)^m a_j v_j = u $
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#tab 这说明 $u$ 可以用 $w_1, dots, w_m$ 线性表示，因此 $span(v_1, dots, v_m) subset.eq span(w_1, dots, w_m)$。另一方面，设 $u in span(w_1, dots, w_m)$，则 $u$ 可以表示为
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$ u = a_1 w_1 + dots.c + a_m w_m $
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#tab 其中 $a_i in FF$。我们可以将其改写为
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$ u = b_1 v_1 + dots.c + b_m v_m $
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#tab 其中对于 $k in {1, dots, m}$，$b_k = a_k + dots.c + a_m$。为了验证这一点，我们带入 $b_i$ 和 $w_i$ 的定义，得到
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$ b_1 v_1 + dots.c + b_m v_m
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&= sum_(i=1)^m (sum_(j=i)^m a_j) v_i \
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&= sum_(i=1)^m sum_(j=i)^m a_j v_i \
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||
&= sum_(j=1)^m sum_(i=1)^j a_j v_i \
|
||
&= sum_(j=1)^m a_j sum_(i=1)^j v_i \
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&= sum_(j=1)^m a_j w_j = u $
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#tab 这说明 $u$ 可以用 $v_1, dots, v_m$ 线性表示，因此 $span(w_1, dots, w_m) subset.eq span(v_1, dots, v_m)$。
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||
#tab 综上所述，$span(v_1, dots, v_m) = span(w_1, dots, w_m)$。
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]
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#exercise_sol(type: "proof", ref: <2A-when-1-or-2-vecs-are-indep>)[
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#set enum(numbering: "(a) ") // 与原书一致
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+ 证明：向量空间中长度为 $1$ 的组线性无关，当且仅当组中的该向量不是 $0$；
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+ 证明：向量空间中长度为 $2$ 的组线性无关，当且仅当组中两个向量的任意一个不是另一个的标量倍。
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][
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设 $V$ 是向量空间。对于第一个命题，设 $v in V$。首先说明充分性。假设 $v != 0$，根据#exercise_ref(<1B-vec-zero-product-property>)，使得 $a v = 0$ 成立的 $a in FF$ 的唯一选取方式是 $a = 0$，根据线性无关的定义（原书定义2.15），这表明向量组 $v$ 是线性无关的。
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#tab 然后说明必要性，如果 $v = 0$，则我们有
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$ 0v = 1v = 0 $
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#tab 根据线性无关的定义（原书定义2.15），向量组 $0$ 不是线性无关的。
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#tab 对于第二个命题，设 $v_1, v_2 in V$。首先说明充分性：使用反证法，假设 $v_1$ 和 $v_2$ 不是线性无关的，即存在 $a_1, a_2 in FF$，使得
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$ a_1 v_1 + a_2 v_2 = 0 $
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#tab 其中 $a_1$ 和 $a_2$ 中至少有一个向量不为 $0$。不妨设 $a_1 != 0$，那么，可以整理得
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$ v_1 = - a_2/a_1 v_2 $
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#tab 这表明 $v_1$ 是 $v_2$ 的标量倍，与题目条件矛盾。这说明，$v_1$ 和 $v_2$ 线性无关。
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#tab 然后说明必要性：假设 $v_1$ 和 $v_2$ 线性无关，使用反证法，假设 $v_1$ 和 $v_2$ 中有一个向量是另一个向量的标量倍，不妨设 $v_1 = k v_2$，其中 $k in FF$。注意到，
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$ v_1 + (-k) v_2 = 0 $
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#tab 这与线性无关的定义矛盾。因此，$v_1$ 和 $v_2$ 线性无关当且仅当组中两个向量的任意一个不是另一个的标量倍。
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]
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#exercise_sol(type: "answer")[
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求一数 $t in RR$，使得向量组
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$ (3, 1, 4), (2, -3, 5), (5, 9, t) $
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在 $RR^3$ 中不是线性无关的。
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][
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$t = 2$。为了说明这一点，注意到，
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$ (-3) (3, 1, 4) + 2 (2, -3, 5) + 1 (5, 9, 2) = 0 $
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#tab 根据线性无关的定义（原书定义2.15），这表明向量组 $(3, 1, 4), (2, -3, 5), (5, 9, 2)$ 在 $RR^3$ 中不是线性无关的。
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]
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#exercise_sol(type: "proof")[
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证明：向量组
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$ (2, 3, 1), (1, -1, 2), (7, 3, c) $
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在 $FF^3$ 中线性相关，当且仅当 $c = 8$。
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][
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首先说明充分性：当 $c = 8$ 时，注意到
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$ 16 (2, 3, 1) + 1 (1, -1, 2) + (-5) (7, 3, 8) = 0 $
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#tab 根据线性相关的定义（原书定义2.17），这表明向量组 $(2, 3, 1)$，$(1, -1, 2)$，$(7, 3, 8)$ 在 $FF^3$ 中线性相关。
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#tab 然后说明必要性：使用反证法，假设 $c != 8$ 且向量组 $(2, 3, 1), (1, -1, 2), (7, 3, c)$ 线性相关。根据定义，存在 $a_1, a_2, a_3 in RR$，使得
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$ a_1 (2, 3, 1) + a_2 (1, -1, 2) + a_3 (7, 3, c) = 0 $
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#tab 其中 $a_1, a_2, a_3 in RR$ 中至少有一个不为 $0$。将其展开，得到下面方程组
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$ cases(
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2 &a_1 &+ &a_2 &+ 7 &a_3 &= 0,
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3 &a_1 &- &a_2 &+ 3 &a_3 &= 0,
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&a_1 &+ 2 &a_2 &+ c &a_3 &= 0
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) $
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#tab 由前两个方程，我们可以得到 $a_2 = 3/2 a_1$ 且 $a_3 = -1/2 a_1$，代入第三个方程中，化简得
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$ (c - 8) a_1 = 0 $
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#tab 由于 $c!=8$，只能有 $a_1 = 0$，而这将给出 $a_1 = a_2 = a_3 = 0$，与反证假设矛盾，故假设不成立。
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#tab 综上所述，向量组 $(2, 3, 1), (1, -1, 2), (7, 3, c)$ 在 $RR^3$ 中线性相关当且仅当 $c = 8$。
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]
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#exercise_sol(type: "proof")[
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#set enum(numbering: "(a) ") // 与原书一致
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+ 证明：如果我们将 $CC$ 视为 $RR$ 上的向量空间，那么向量组 $1 + ii, 1 - ii$ 是线性无关的；
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+ 证明：如果我们将 $CC$ 视为 $CC$ 上的向量空间，那么向量组 $1 + ii, 1 - ii$ 是线性相关的。
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][
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利用@2A-when-1-or-2-vecs-are-indep 中的结论，我们只需注意到，
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$ (1 + i) / (1 - i) = ii $
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#tab 考虑到 $ii in CC$ 但是 $ii in.not RR$，因此 $1 + i$ 只在 $CC$ 上是 $1 - ii$ 的标量倍。这表明，如果我们将 $CC$ 视为 $RR$ 上的向量空间，那么向量组 $1 + ii, 1 - ii$ 是线性无关的，而如果我们将 $CC$ 视为 $CC$ 上的向量空间，那么向量组 $1 + ii, 1 - ii$ 是线性相关的。
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]
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#exercise_sol(type: "proof")[
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设 $v_1, v_2, v_3, v_4$ 是 $V$ 中的线性无关向量组。证明：向量组
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$ v_1 - v_2, v_2 - v_3, v_3 - v_4, v_4 $
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也线性无关。
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][
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设 $a_1, a_2, a_3, a_4 in FF$，使得
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$ a_1 (v_1 - v_2) + a_2 (v_2 - v_3) + a_3 (v_3 - v_4) + a_4 v_4 = 0 $
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#tab 整理得到
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$ a_1 v_1 + (a_2 - a_1) v_2 + (a_3 - a_2) v_3 + (a_4 - a_3) v_4 = 0 $
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#tab 由于 $v_1, v_2, v_3, v_4$ 线性无关，根据线性无关的定义（原书定义2.15），只能有
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$ cases(
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a_1 = 0,
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a_2 - a_1 = 0,
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a_3 - a_2 = 0,
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a_4 - a_3 = 0
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) $
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#tab 这说明 $a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = 0$。因此，根据线性无关的定义（原书定义2.15），向量组 $v_1 - v_2, v_2 - v_3, v_3 - v_4, v_4$ 线性无关。
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]
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#exercise_sol(type: "proof")[
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证明或证伪：设 $v_1, dots, v_m$ 与 $V$ 中的线性无关向量组，则向量组
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$ 5v_1 - 4v_2, v_2, v_3, dots, v_m $
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也线性无关。
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][
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设 $a_1, dots, a_m in FF$，使得
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$ a_1 (5v_1 - 4v_2) + a_2 v_2 + dots.c + a_m v_m = 0 $
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#tab 整理得到
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$ 5a_1 v_1 + (a_2 - 4a_1) + a_3 v_3 + a_4 v_4 + dots.c + a_m v_m = 0 $
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#tab 由于 $v_1, dots, v_m$ 线性无关，根据线性无关的定义（原书定义2.15），只能有
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$ cases(
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5a_1 = 0,
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a_2 - 4a_1 = 0,
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a_3 = 0,
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a_4 = 0,
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dots.c,
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||
a_m = 0
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) $
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#tab 这说明 $a_1 = dots.c = a_m = 0$。因此，根据线性无关的定义（原书定义2.15），向量组 $5v_1 - 4v_2, v_2, v_3, dots, v_m$ 线性无关。
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]
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#exercise_sol(type: "proof")[
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证明或证伪：设 $v_1, dots, v_m$ 是 $V$ 中的线性无关向量组，$lambda in FF$（$lambda != 0$）。则向量组
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$ lambda v_1, dots, lambda v_m $
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也线性无关。
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][
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设 $a_1, dots, a_m in FF$，使得
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$ a_1 (lambda v_1) + dots.c + a_m (lambda v_m) = 0 $
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#tab 整理得到
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$ lambda (a_1 v_1 + dots.c + a_m v_m) = 0 $
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#tab 由于 $lambda != 0$，因此 $a_1 v_1 + dots.c + a_m v_m = 0$。由于 $v_1, dots, v_m$ 线性无关，根据线性无关的定义（原书定义2.15），只能有 $a_1 = dots.c = a_m = 0$。因此，根据线性无关的定义（原书定义2.15），向量组 $lambda v_1, dots, lambda v_m$ 线性无关。
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]
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#exercise_sol(type: "answer")[
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证明或证伪：设 $v_1, dots v_m$ 和 $w_1, dots, w_m$ 都是 $V$ 中的线性无关向量组。则向量组
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$ v_1 + w_1, dots, v_m + w_m $
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也线性无关。
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][
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取 $V = RR^2$，并令
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$ v_1 &= (1, 0), wide &v_2 = (0, 1) \
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w_1 &= (0, 1), &w_2 = (1, 0) $
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#tab 容易验证这两个向量组都是 $RR^2$ 中的线性无关向量组。然而，注意到
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$ 1(v_1 + w_1) + (-1)(v_2 + w_2) = 1(1, 1) + (-1)(1, 1) = 0 $
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||
#tab 根据线性无关的定义（原书定义2.15），这表明向量组 $v_1 + w_1, v_2 + w_2$ 不是线性无关的，因此原命题不成立。
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]
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#exercise_sol(type: "proof")[
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设 $v_1, dots, v_m$ 是 $V$ 中的线性无关向量组，且 $w in V$。证明：若向量组
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$ v_1 + w, dots, v_m + w $
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线性相关，则 $w in span(v_1, dots, v_m)$。
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][
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||
由于向量组 $v_1 + w, dots, v_m + w$ 线性相关，根据线性相关的定义（原书定义2.17），存在 $a_1, dots, a_m in FF$，使得
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#show: math_numbering(true)
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$ a_1 (v_1 + w) + dots.c + a_m (v_m + w) = 0 $ <2A-vi-plus-w-is-dependent-def>
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#show: math_numbering(false)
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#tab 其中 $a_1, dots, a_m$ 中至少有一个不为 $0$。
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#tab 下面我们说明 $a_1 + dots.c + a_m != 0$。整理@2A-vi-plus-w-is-dependent-def 可得
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$ a_1 v_1 + dots.c + a_m v_m + (a_1 + dots.c + a_m) w = 0 $
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#tab 反证假设 $a_1 + dots.c + a_m = 0$，则 $a_1 v_1 + dots.c + a_m v_m = 0$，而这与线性无关的定义（原书定义2.15）矛盾。因此，我们只能有 $a_1 + dots.c + a_m != 0$。
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||
#tab 所以，我们可以将@2A-vi-plus-w-is-dependent-def 改写为
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$ w = -(a_1 v_1 + dots.c + a_m v_m) / (a_1 + dots.c + a_m) $
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#tab 更进一步地，对于 $k in {1, dots, m}$，令
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$ b_k = -a_k / (a_1 + dots.c + a_m) $
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#tab 则有
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$ w = b_1 v_1 + dots.c + b_m v_m $
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#tab 根据张成空间的定义（原书定义2.4），这表明 $w in span(v_1, dots, v_m)$。
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]
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#exercise_sol(type: "proof")[
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设 $v_1, dots, v_m$ 是 $V$ 中的线性无关向量组，且 $w in V$。证明：
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$ v_1, dots, v_m, w "线性无关" quad <==> quad w in.not span(v_1, dots, v_m) $
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][
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||
首先说明充分性：现在 $v_1, dots, v_m, w$ 线性无关。反证假设 $w in span(v_1, dots, v_m)$，则根据张成空间的定义（原书定义2.4），存在 $a_1, dots, a_m in FF$，使得
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$ w = a_1 v_1 + dots.c + a_m v_m $
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#tab 整理得到
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$ a_1 v_1 + dots.c + a_m v_m + (-1)w = 0 $
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||
#tab 根据线性无关的定义（原书定义2.15），这与 $v_1, dots, v_m, w$ 线性无关矛盾，因此，$w in.not span(v_1, dots, v_m)$。
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||
|
||
#tab 然后说明必要性：现在 $w in.not span(v_1, dots, v_m)$。反证假设 $v_1, dots, v_m, w$ 线性相关。根据线性相关的定义（原书定义2.17），存在 $a_1, dots, a_(m+1) in FF$，使得
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#show: math_numbering(true)
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$ a_1 v_1 + dots.c + a_m v_m + a_(m+1) w = 0 $ <2A-v-plus-w-is-dependent-def>
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#show: math_numbering(false)
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||
#tab 其中 $a_1, dots, a_(m+1)$ 中至少有一个不为 $0$。我们有 $a_(m+1) != 0$。这是因为，如果 $a_(m+1) = 0$，则我们可以将@2A-v-plus-w-is-dependent-def 改写为
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$ a_1 v_1 + dots.c + a_m v_m = 0 $
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#tab 这与题目条件中 $v_1, dots, v_m$ 线性无关矛盾。因此，$a_(m+1) != 0$。
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#tab 所以，我们可以将@2A-v-plus-w-is-dependent-def 改写为
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$ w = -(a_1 v_1 + dots.c + a_m v_m) / a_(m+1) $
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#tab 更进一步地，对于 $k in {1, dots, m}$，令
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$ b_k = -a_k / a_(m+1) $
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#tab 则有
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$ w = b_1 v_1 + dots.c + b_m v_m $
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#tab 这表明 $w in span(v_1, dots, v_m)$，与反证假设 $w in.not span(v_1, dots, v_m)$ 矛盾。因此，$v_1, dots, v_m, w$ 线性无关。
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#tab 综上所述，$v_1, dots, v_m, w$ 线性无关当且仅当 $w in.not span(v_1, dots, v_m)$。
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