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788 B
Typst
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Typst
#import "../styles.typ": exercise_sol, tab
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#import "../math.typ": null, range, LinearMap
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#exercise_sol(type: "answer")[
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给出一例：满足 $dim null T = 3$ 且 $dim range T = 2$ 的线性映射 $T$。
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令
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$ T:& RR^5 -> RR^2 \ &(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) |-> (x_1, x_2) $
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#tab 根据定义
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$ range T &= RR^2 \
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null T &= {(0, 0, x, y, z) in RR^5 : x, y, z in RR} $
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#tab 于是 $dim null T = 3$ 且 $dim range T = 2$。
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#exercise_sol(type: "proof")[
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设 $S, T in LinearMap(V)$ 使得 $range S subset.eq null T$，证明：$(S T)^2 = 0$。
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设 $v in V$。考虑到 $S (T v) in range S subset.eq null T$，根据定义，$ T S T v = 0$。根据线性映射将 $0$ 映射到 $0$（原书3.10），
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$ (S T)^2 v = S (T S T) v = S 0 = 0 $
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因此 $(S T)^2 = 0$。
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