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#import "../styles.typ": exercise_sol, note, tab
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#import "../math.typ": span
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#exercise_sol(type: "proof")[
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证明：$RR^2$ 的子空间恰有 ${0}$，$RR^2$ 中所有过原点的直线，以及 $RR^2$ 本身。
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设 $U$ 是 $RR^2$ 的子空间，根据子空间的维数性质（原书2.37），有 $dim U in {0, 1, 2}$。
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- 如果 $dim U = 0$，则 $U = span() = {0}$；
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- 如果 $dim U = 1$，则存在一个非零向量 $v$，使得 $U = span(v)$，即 $U$ 是过原点的直线；
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- 如果 $dim U = 2$，则根据满维数的子空间等于整个空间（原书2.39），$U = RR^2$。
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#tab 综上所述，$RR^2$ 的子空间恰有 ${0}$，$RR^2$ 中所有过原点的直线，以及 $RR^2$ 本身。
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#exercise_sol(type: "proof")[
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证明：$RR^3$ 的子空间恰有 ${0}$，$RR^3$ 中所有过原点的直线，$RR^3$ 中所有过原点的平面，以及 $RR^3$ 本身。
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设 $U$ 是 $RR^3$ 的子空间，根据子空间的维数性质（原书2.37），有 $dim U in {0, 1, 2, 3}$。
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- 如果 $dim U = 0$，则 $U = span() = {0}$；
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- 如果 $dim U = 1$，则存在一个非零向量 $v$，使得 $U = span(v)$，即 $U$ 是过原点的直线；
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- 如果 $dim U = 2$，则存在两个线性无关的向量 $v_1, v_2$，使得 $U = span(v_1, v_2)$，即 $U$ 是过原点的平面；
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- 如果 $dim U = 3$，则根据满维数的子空间等于整个空间（原书2.39），$U = RR^3$。
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#tab 综上所述，$RR^3$ 的子空间恰有 ${0}$，$RR^3$ 中所有过原点的直线，$RR^3$ 中所有过原点的平面，以及 $RR^3$ 本身。
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