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## 2.65
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每一次操作，将 $w$ 位的整数 $x$ 从中间分成两个 $\frac{w}{2}$ 位的整数 $y$ 和 $z$，接着令 `x = y ^ z`。进行 5 次操作后即得到答案。
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我们将这样的思路称为“折半递归法”。
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## 2.66
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第 $k$ 次操作，令 `x = x | (x >> (1 << (k - 1)))`。通过 5 次操作即可实现提示中的转换。
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## 2.75
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$x,y$ 是补码数，$x'=T2U_w(x),y'=T2U_w(y)$。
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$$
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\begin{aligned}
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x'\cdot y'&=(x+x_{w-1}\cdot 2^w)\times(y+y_{w-1}\cdot 2^w)\\
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&=x\cdot y+(x_{w-1}\cdot y+y_{w-1}\cdot x)2^w+x_{w-1}\cdot y_{w-1}\cdot 2^{2w}
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\end{aligned}$$
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进一步，令 `a = signed_high_prod(x, y), b = unsigned_high_prod(x', y')`，有
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$$b\cdot 2^w+x'*^u_w y'=a\cdot 2^w+T2U_w(x*^t_wy)+(x_{w-1}\cdot y+y_{w-1}\cdot x)2^w+x_{w-1}\cdot y_{w-1}\cdot 2^{2w}$$
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化简得
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$$b=a+x_{w-1}\cdot y+y_{w-1}\cdot x+x_{w-1}\cdot y_{w-1}\cdot 2^w$$
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即
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$$\begin{aligned}
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b&=(a+x_{w-1}\cdot y+y_{w-1}\cdot x)\bmod 2^w\\
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&=T2U_w(a)+^u_t x_{w-1}\cdot y'+^u_t y_{w-1}\cdot x'
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\end{aligned}$$
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## 2.80
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$$
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\texttt{threefourths(x)}=\left\{\begin{aligned}
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&3\cdot\lfloor x/4\rfloor+x\bmod 3-[x\bmod 3\neq0], &x\ge0\\
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&3\cdot\lfloor x/4\rfloor+x\bmod 3, &x<0
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\end{aligned}\right.
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$$
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## 2.97
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在某些情况下，舍入会导致最高位提高一位。对于这种情况，我们要将舍入时的最低有效位相应提高一位。 |