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## 2.65
每一次操作,将 $w$ 位的整数 $x$ 从中间分成两个 $\frac{w}{2}$ 位的整数 $y$ 和 $z$,接着令 `x = y ^ z`。进行 5 次操作后即得到答案。
我们将这样的思路称为“折半递归法”。
## 2.66
第 $k$ 次操作,令 `x = x | (x >> (1 << (k - 1)))`。通过 5 次操作即可实现提示中的转换。
## 2.75
$x,y$ 是补码数,$x'=T2U_w(x),y'=T2U_w(y)$。
$$
\begin{aligned}
x'\cdot y'&=(x+x_{w-1}\cdot 2^w)\times(y+y_{w-1}\cdot 2^w)\\
&=x\cdot y+(x_{w-1}\cdot y+y_{w-1}\cdot x)2^w+x_{w-1}\cdot y_{w-1}\cdot 2^{2w}
\end{aligned}$$
进一步,令 `a = signed_high_prod(x, y), b = unsigned_high_prod(x', y')`,有
$$b\cdot 2^w+x'*^u_w y'=a\cdot 2^w+T2U_w(x*^t_wy)+(x_{w-1}\cdot y+y_{w-1}\cdot x)2^w+x_{w-1}\cdot y_{w-1}\cdot 2^{2w}$$
化简得
$$b=a+x_{w-1}\cdot y+y_{w-1}\cdot x+x_{w-1}\cdot y_{w-1}\cdot 2^w$$
$$\begin{aligned}
b&=(a+x_{w-1}\cdot y+y_{w-1}\cdot x)\bmod 2^w\\
&=T2U_w(a)+^u_t x_{w-1}\cdot y'+^u_t y_{w-1}\cdot x'
\end{aligned}$$
## 2.80
先得到粗糙的结果 `(x >> 2) + ((x >> 2) << 1)`,再根据 `x & 3` 以及 $x$ 的符号(决定舍入方向)进行修正。
## 2.97
在某些情况下,舍入会导致最高位变化。对于这种情况,我们要将最低有效位提高一位。