修改了第9章中的区间的定义并修正了部分错误论述
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## 9.1 $\mathbb R$ 的子集合
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## 9.1 $\mathbb R$ 的子集合
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- **定义 9.1.1(区间)**:设 $a,b\in \mathbb R^*$。定义闭区间 $[a,b]:=\{x\in \mathbb R^*:a\leq x\leq b\}$;
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- **定义 9.1.1(区间)**:设 $I\subseteq \mathbb R$。称 $I$ 是区间,当且仅当对于任意 $x,y,z\in \mathbb R$,$x,y\in I\land x<z<y\implies z\in I$。
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半开区间 $[a,b):=\{x\in \mathbb R^*:a\leq x< b\},(a,b]:=\{x\in \mathbb R^*:a< x\leq b\}$;
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利用上下确界可以证明,非空的区间只有可能是下面的形式之一:
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开区间 $(a,b):=\{x\in \mathbb R^*:a<x<b\}$。
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1. $[a,b]:=\{x\in \mathbb R:a\leq x\leq b\}$,其中 $a,b\in\mathbb R$。
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2. $[a,b):=\{x\in \mathbb R:a\leq x< b\}$,其中 $a\in\mathbb R$,$b\in\mathbb R\cup\{+\infty\}$,$a<b$。
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3. $(a,b]:=\{x\in \mathbb R:a< x\leq b\}$,其中 $a\in\mathbb R\cup\{-\infty\}$,$b\in\mathbb R$,$a<b$。
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4. $(a,b):=\{x\in \mathbb R:a<x<b\}$,其中 $a\in\mathbb R\cup\{-\infty\}$,$b\in\mathbb R\cup\{+\infty\}$,$a<b$。
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称 $a$ 为这些区间的左端点,$b$ 为这些区间的右端点。
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对于非空区间,称 $a$ 为这些区间的左端点,$b$ 为这些区间的右端点,称没有端点是无限($+\infty$ 或 $-\infty$)的区间为有界区间,称一个端点是无限的区间为半无限区间,称两个端点都是无限的区间为双无限区间。
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称没有端点是无限($+\infty$ 或 $-\infty$)的区间为有界区间,称一个端点是无限的区间为半无限区间,称两个端点都是无限的区间为双无限区间。
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于是 $\mathbb R=(-\infty,+\infty)$。
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于是 $\mathbb R=(-\infty,+\infty)$,$\mathbb R^*=[-\infty,+\infty]$。
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- **定义 9.1.2(附着点)**:设 $X\subseteq \mathbb R$ 和实数 $x$。称 $x$ 是 $X$ 的附着点,当且仅当对于任意 $\varepsilon>0$ 都存在 $y\in X$ 使得 $|x-y|\leq \varepsilon$。
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- **定义 9.1.2(附着点)**:设 $X\subseteq \mathbb R$ 和实数 $x$。称 $x$ 是 $X$ 的附着点,当且仅当对于任意 $\varepsilon>0$ 都存在 $y\in X$ 使得 $|x-y|\leq \varepsilon$。
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- $\overleftrightarrow{X\cap Y}\subseteq \overleftrightarrow{X}\cap\overleftrightarrow{Y}$。
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- $\overleftrightarrow{X\cap Y}\subseteq \overleftrightarrow{X}\cap\overleftrightarrow{Y}$。
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- $X\subseteq Y\implies \overleftrightarrow{X}\subseteq\overleftrightarrow{Y}$。
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- $X\subseteq Y\implies \overleftrightarrow{X}\subseteq\overleftrightarrow{Y}$。
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**证明**:略。
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- **引理 9.1.5(区间的闭包)**:设实数 $a,b$ 满足 $a<b$。那么 $[a,b],[a,b),(a,b],(a,b)$ 的闭包是 $[a,b]$;$[a,+\infty),(a,+\infty)$ 的闭包是 $[a,\infty)$;$(-\infty,a],(-\infty,a)$ 的闭包是 $(-\infty,a]$;$(-\infty,+\infty)$ 的闭包是 $(-\infty,+\infty)$。
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- **引理 9.1.5(区间的闭包)**:设实数 $a,b$ 满足 $a<b$。那么 $[a,b],[a,b),(a,b],(a,b)$ 的闭包是 $[a,b]$;$[a,+\infty),(a,+\infty)$ 的闭包是 $[a,\infty)$;$(-\infty,a],(-\infty,a)$ 的闭包是 $(-\infty,a]$;$(-\infty,+\infty)$ 的闭包是 $(-\infty,+\infty)$。
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**证明**:略。
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我们还可以看到,$\overleftrightarrow{\mathbb N}=\mathbb N,\overleftrightarrow{\mathbb Z}=\mathbb Z,\overleftrightarrow{\mathbb Q}=\mathbb R,\overleftrightarrow{\mathbb R}=\mathbb R,\overleftrightarrow{\varnothing}=\varnothing$。
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我们还可以看到,$\overleftrightarrow{\mathbb N}=\mathbb N,\overleftrightarrow{\mathbb Z}=\mathbb Z,\overleftrightarrow{\mathbb Q}=\mathbb R,\overleftrightarrow{\mathbb R}=\mathbb R,\overleftrightarrow{\varnothing}=\varnothing$。
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- **引理 9.1.6**:设 $X\subseteq \mathbb R$ 和实数 $x$。那么 $x$ 是 $X$ 的附着点,当且仅当,存在一个收敛到 $x$ 的序列 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 满足对于任意 $n\geq 0$ 有 $a_n\in X$。
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- **引理 9.1.6**:设 $X\subseteq \mathbb R$ 和实数 $x$。那么 $x$ 是 $X$ 的附着点,当且仅当,存在一个收敛到 $x$ 的序列 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 满足对于任意 $n\geq 0$ 有 $a_n\in X$。
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@ -253,37 +250,39 @@ $$
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可以发现,$f$ 是有界的,当且仅当 $f(X)$ 是有界的。
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可以发现,$f$ 是有界的,当且仅当 $f(X)$ 是有界的。
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- **引理 9.6.2**:设有界闭集 $X\subseteq \mathbb R$,连续函数 $f:X\to\mathbb R$,那么 $f$ 是有界函数。
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- **引理 9.6.2**:设有界闭集 $X\subseteq \mathbb R$,连续函数 $f:X\to\mathbb R$,那么 $f(X)$ 是有界闭集。
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**证明**:反证,设 $f$ 是无界的。
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**证明**:先证 $f$ 有界。反证,设 $f$ 是无界的。
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根据选择公理,存在一个序列 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$,使得对于任意 $n\geq 0$ 满足 $x_n\in X$ 且 $f(x_n)>n$。
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根据选择公理,存在一个序列 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$,使得对于任意 $n\geq 0$ 满足 $x_n\in X$ 且 $f(x_n)>n$。
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根据定理 9.1.13,存在一个 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 的子序列 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$,使得 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 收敛到 $[a,b]$ 中的某实数 $L$。
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根据定理 9.1.13,存在一个 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 的子序列 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$,使得 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 收敛到 $X$ 中的某实数 $L$。
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根据连续的定义,$(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 应收敛到 $f(L)$ 是有界的。但根据 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 的定义可知 $(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 是无界的。矛盾。
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根据连续的定义,$(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 应收敛到 $f(L)$ 是有界的。但根据 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 的定义可知 $(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 是无界的。矛盾。
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再证 $f(X)$ 是闭集。
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对于任意 $f(X)$ 上的收敛序列 $(y_n)_{n=0}^{\infty}$,根据选择公理,存在 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 使得对于任意 $n\geq 0$ 满足 $x_n\in X$ 且 $f(x_n)=y_n$。
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根据定理 9.1.13,存在一个 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 的子序列 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$,使得 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 收敛到 $X$ 中的某实数 $L$。
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根据连续的定义,$(y_{n_i})_{i=0}^{\infty}=(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 应收敛到 $f(L)$,而 $(y_n)_{n=0}^{\infty}$ 本来就是收敛的,故而 $(y_{n})_{n=0}^{\infty}$ 也收敛到 $f(L)\in f(X)$。
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连续函数把有界闭集映为有界闭集。
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连续函数不一定把有界集映为有界集,例如由 $f(x):=\frac{1}{x}$ 定义的函数 $f:(0,1]\to\mathbb R$ 无上界。
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连续函数不一定把闭集映为闭集,例如由 $f(x):=\frac{1}{x}$ 定义的函数 $f:[1,+\infty)\to\mathbb R$ 的值域不是闭集。
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- **定义 9.6.3(函数的极值)**:设 $X\subseteq \mathbb R$ 和 $x_0\in X$,函数 $f:X\to \mathbb R$。
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- **定义 9.6.3(函数的极值)**:设 $X\subseteq \mathbb R$ 和 $x_0\in X$,函数 $f:X\to \mathbb R$。
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称 $f$ 在 $x_0$ 处达到它的最大值,当且仅当对于任意 $x\in X$ 有 $f(x)\leq f(x_0)$。
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称 $f$ 在 $x_0$ 处达到它的最大值,当且仅当对于任意 $x\in X$ 有 $f(x)\leq f(x_0)$。
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称 $f$ 在 $x_0$ 处达到它的最小值,当且仅当对于任意 $x\in X$ 有 $f(x)\geq f(x_0)$。
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称 $f$ 在 $x_0$ 处达到它的最小值,当且仅当对于任意 $x\in X$ 有 $f(x)\geq f(x_0)$。
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注意有界函数不一定有极值。例如由 $f(x):=\frac{1}{x}$ 定义的函数 $f:(0,+\infty)\to\mathbb R$ 有下界 $0$,但是不存在最小值。
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- **命题 9.6.4(极值定理)**:设有界闭集 $X\subseteq \mathbb R$ 和连续函数 $f:X\to \mathbb R$,那么 $f$ 在某点 $x_{\max}\in X$ 处达到它的最大值,在某点 $x_{\min}$ 处达到它的最小值。
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- **命题 9.6.4(极值定理)**:设有界闭集 $X\subseteq \mathbb R$ 和连续函数 $f:X\to \mathbb R$,那么 $f$ 在某点 $x_{\max}\in X$ 处达到它的最大值,在某点 $x_{\min}$ 处达到它的最小值。
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**证明**:令 $L:=\sup(\{f(x):x\in X\})$,那么对于任意 $x\in X$ 有 $f(x)\leq L$。
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**证明**:根据引理 9.6.2,再利用确界证明有界闭集必有极值即可。
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根据 $\sup$ 的定义和选择公理,存在一个序列 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ 使得对于任意 $n\geq 1$ 满足 $x_n\in X$ 且 $f(x_n)\geq L-\frac1n$。
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根据定理 9.1.13,存在一个 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 的子序列 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$,使得 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 收敛到 $X$ 中的某实数 $x_{\max}$。
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又 $(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 收敛到 $L$,再根据连续的定义,可知 $f(x_{\max})=L$。
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同理可证 $x_{\min}$。
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有界闭集上的连续函数有界且存在极值点。
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## 9.7 介值定理
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## 9.7 介值定理
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@ -305,7 +304,7 @@ $$
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- **推论 9.7.2(连续函数的象)**:设 $a,b$ 是实数满足 $a<b$,$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是连续函数。根据极值定理,$f$ 存在最小值 $y_{\min}$ 和最大值 $y_{\max}$。那么 $f([a,b])=[y_{\min},y_{\max}]$。
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- **推论 9.7.2(连续函数的象)**:设 $a,b$ 是实数满足 $a<b$,$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是连续函数。根据极值定理,$f$ 存在最小值 $y_{\min}$ 和最大值 $y_{\max}$。那么 $f([a,b])=[y_{\min},y_{\max}]$。
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连续函数把闭区间映为闭区间。
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连续函数把有界闭区间映为有界闭区间。
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## 9.8 单调函数
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## 9.8 单调函数
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