整合第五章
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### 第 5 章 实数
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回顾一下，我们已经严格地构造了三个基本的数系：自然数系 $\mathbb N$、整数系 $\mathbb Z$ 和有理数系 $\mathbb Q$。这些数已经足够用来做大量的数学事项。但是这还是不够用的，例如在微积分学、三角学甚至几何学中。所以人们需要用实数系来取代有理数系。
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回顾一下，我们已经严格地构造了三个基本的数系：自然数系 $\mathbb N$、整数系 $\mathbb Z$ 和比例数系 $\mathbb Q$。这些数已经足够用来做大量的数学事项。但是这还是不够用的，例如在微积分学、三角学甚至几何学中。所以人们需要用实数系来取代比例数系。
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实数无法用有理数来表示，但是却明确地处于有理数之间的某个 “空隙” 中：例如 $\sqrt 2$，你任意说一个有理数 $q$，我都能说 $q$ 比 $\sqrt2$ 大还是小，我只需比较 $q^2$ 和 $2$ 的大小关系。实数没有明显的规律，我们不能仅通过引入 $\sqrt[p]{q}$ 之类的符号就能构造所有的实数（我们也不能通过 “方程的根” 来定义实数，因为超越数如 $\pi$ 等的存在）。种种限制下，柯西找到了从有理数定义实数的一个好方法：“取无限有理数序列的极限”。这就好像我们用二分法或者牛顿迭代法确定 $\sqrt 2$，无限地进行下去，我们就能用有理数无限地逼近它，虽然不会达到它。
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实数无法用比例数来表示，但是却明确地处于比例数之间的某个 “空隙” 中：例如 $\sqrt 2$，你任意说一个比例数 $q$，我都能说 $q$ 比 $\sqrt2$ 大还是小，我只需比较 $q^2$ 和 $2$ 的大小关系。实数没有明显的规律，我们不能仅通过引入 $\sqrt[p]{q}$ 之类的符号就能构造所有的实数（我们也不能通过 “方程的根” 来定义实数，因为超越数如 $\pi$ 等的存在）。种种限制下，柯西找到了从比例数定义实数的一个好方法：“取无限比例数序列的极限”。这就好像我们用二分法或者牛顿迭代法确定 $\sqrt 2$，无限地进行下去，我们就能用比例数无限地逼近它，虽然不会达到它。
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这种 “取有理数序列的极限” 的运算，就像形式减法一样，不仅能在有理数上进行，在实数域上进行也是封闭的，所以下面的一些定义都会加上 ”形式“。而对于 “取无限实数序列的极限”，我们将在第 6 章再继续详谈。
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这种 “取比例数序列的极限” 的运算，就像形式减法一样，不仅能在比例数上进行，在实数域上进行也是封闭的，所以下面的一些定义都会加上 ”形式“。而对于 “取无限实数序列的极限”，我们将在第 6 章再继续详谈。
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我们接下来将详细阐述这种方法。我们先理解 “极限” 是什么：序列可能并不会达到目标（比如比例数序列最后怎么样也不可能达到 $\sqrt 2$），但如果序列的趋势是不断接近那个目标的，那么我们就说序列的极限就是那个目标。或者说，如果存在序列的这种不断接近目标的趋势，我们就把那个目标看成序列的极限。
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我们接下来将详细阐述这种方法。我们先理解 “极限” 是什么：序列可能并不会达到目标（比如有理数序列最后怎么样也不可能达到 $\sqrt 2$），但如果序列的趋势是不断接近那个目标的，那么我们就说序列的极限就是那个目标。或者说，如果存在序列的这种不断接近目标的趋势，我们就把那个目标看成序列的极限。
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我们再来理解怎么对 “趋势” 进行描述：一般来说，我们会设置一个阈值（范围）$B$，然后看序列是否存在一个后缀，使得这个后缀和目标的差距在 $B$ 之内。然后我们说，如果对于任意小但是不为零的 $B$（这里 $B$ 等于零只是代表该后缀和目标完全相同），都能找到这么一个后缀，那么该序列的趋势就是不断接近于目标的。
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由于定义实数需要较长的篇幅，我们将给出第 5 章和第 6 章的总体的概览：
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在本章（第 5 章）中，我们将先定义形式柯西序列（因为历史遗留问题，真正的章节中没有加上 “形式” 二字），即 “趋于稳定” 的比例数序列，并定义形式柯西序列的形式极限就是实数（注意不能定义说 “收敛到某实数 $L$” 的比例数序列的极限就是实数，这将导致循环定义）。然后显然收敛到同一个实数的形式柯西序列不可能只有一个，所以我们还需定义序列的形式等价。同时，为了建起比例数和实数间的桥梁，我们还需把比例数通过预期的方式相容于实数中。
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在本章（第 5 章）中，我们将先定义形式柯西序列（因为历史遗留问题，真正的章节中没有加上 “形式” 二字），即 “趋于稳定” 的有理数序列，并定义形式柯西序列的形式极限就是实数（注意不能定义说 “收敛到某实数 $L$” 的有理数序列的极限就是实数，这将导致循环定义）。然后显然收敛到同一个实数的形式柯西序列不可能只有一个，所以我们还需定义序列的形式等价。同时，为了建起有理数和实数间的桥梁，我们还需把有理数通过预期的方式相容于实数中。
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接着，我们将按照预期的结果，在形式柯西序列上定义实数的加法、乘法、负运算、减法、倒数、除法、正负性和序等。过程中，我们也需证明比例数的这些运算也能相容于实数中。
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接着，我们将按照预期的结果，在形式柯西序列上定义实数的加法、乘法、负运算、减法、倒数、除法、正负性和序等。过程中，我们也需证明有理数的这些运算也能相容于实数中。
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第 5 章的最后，我们将投入实数最基本的应用中——构造出实数的比例数次幂（如 $\sqrt 2$），这将用到实数的界和确界的概念以及确界原理。确界原理这体现了无限逼近这一思想方法的优点。
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第 5 章的最后，我们将投入实数最基本的应用中——构造出实数的有理数次幂（如 $\sqrt 2$），这将用到实数的界和确界的概念以及确界原理。确界原理这体现了无限逼近这一思想方法的优点。
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在第 6 章中，我们将会把取极限应用于实数序列上。这时我们才定义真正的柯西序列、序列等价和极限，而非形式的。我们会证明把极限应用于实数序列上也是正确且封闭的，即任意实数版的柯西序列也收敛，且收敛到实数上。接着，我们会完善极限这一定义在实数上的新运算，补充一些极限算律。
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最后，我们将构造出实数的实数次幂，以最终结束实数的构造和基本应用的补全。
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#### 5.1 柯西序列
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## 5.1 柯西序列
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实数的构造将依赖于柯西序列的概念。而在定义柯西序列之前，我们先来做一些铺垫。
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- **定义 5.1.1（序列）**：设 $m$ 是整数。一个比例数的无限序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是一个从 $\mathbb Z_m^{\infty}$ 到 $\mathbb Q$ 的映射，其中 $n$ 映射到 $a_n$。
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- **定义 5.1.1（序列）**：设 $m$ 是整数。一个有理数的无限序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是一个从 $\mathbb Z_m^{\infty}$ 到 $\mathbb Q$ 的映射，其中 $n$ 映射到 $a_n$。
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而有限序列的概念我们也类似地在 3.5.3 中定义过了。
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本章中，除特殊标明，我们所说的 “序列” 一般指的都是 “比例数序列”。
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本章中，除特殊标明，我们所说的 “序列” 一般指的都是 “有理数序列”。
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- **定义 5.1.2（$\varepsilon\overline\ $ 稳定性）**：设比例数 $\varepsilon>0$，称一个序列 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon\overline\ $ 稳定的，当且仅当对于任意 $j,k\geq N$，$d(a_j,a_k)\leq \varepsilon$。
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- **定义 5.1.3（终极 $\varepsilon\overline\ $ 稳定性）**：设比例数 $\varepsilon>0$，称一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是终极 $\varepsilon\overline\ $ 稳定的，当且仅当存在 $N\geq m$，使得序列 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon\overline\ $ 稳定的。
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- **定义 5.1.2（$\varepsilon$ 稳定性）**：设有理数 $\varepsilon>0$，称一个序列 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ 稳定的，当且仅当对于任意 $j,k\geqslant N$，$d(a_j,a_k)\leqslant \varepsilon$。
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- **定义 5.1.3（终极 $\varepsilon$ 稳定性）**：设有理数 $\varepsilon>0$，称一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是终极 $\varepsilon$ 稳定的，当且仅当存在 $N\geqslant m$，使得序列 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ 稳定的。
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接下来，让我们定义柯西序列。
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- **定义 5.1.4（柯西序列）**：称一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是柯西序列，当且仅当对于任意比例数 $\varepsilon>0$，该序列都是终极 $\varepsilon\overline\ $ 稳定的。
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- **定义 5.1.4（柯西序列）**：称一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是柯西序列，当且仅当对于任意有理数 $\varepsilon>0$，该序列都是终极 $\varepsilon$ 稳定的。
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更直接地，序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是柯西序列，当且仅当对于任意比例数 $\varepsilon>0$，存在 $N\geq m$ 使得对于任意 $j,k\geq N$ 有 $d(a_j,a_k)\leq \varepsilon$。
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更直接地，序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是柯西序列，当且仅当对于任意有理数 $\varepsilon>0$，存在 $N\geqslant m$ 使得对于任意 $j,k\geqslant N$ 有 $d(a_j,a_k)\leqslant \varepsilon$。
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可以注意到，柯西序列可以直接定义，但定义 5.1.2 和 5.1.3 的目的是为了帮助你更好地理解柯西序列的内涵。
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我们给出一个例子：
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- **命题 5.1.5**：由 $a_n:=\frac{1}{n}$ 定义的序列 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ 是柯西序列。
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- **命题 5.1.5**：由 $a_n:=1/n$ 定义的序列 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ 是柯西序列。
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**证明**：设 $\varepsilon>0$ 是任意正比例数，那么我们要找到 $N\geq 1$，使得对于任意 $j,k\geq N$，$|\frac{1}{j}-\frac{1}{k}|\leq \varepsilon$。
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**证明**：设 $\varepsilon>0$ 是任意正有理数，那么我们要找到 $N\geqslant 1$，使得对于任意 $j,k\geqslant N$，$|1/j-1/k|\leqslant \varepsilon$。
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注意到 $0<\frac{1}{j},\frac{1}{k}\leq \frac{1}{N}$，那么 $|\frac{1}{j}-\frac{1}{k}|<\frac{1}{N}$，故只需要 $\frac{1}{N}\leq \varepsilon$ 即 $N\geq \frac{1}{\varepsilon}$ 即可，根据命题 4.5.1 我们一定能找到这样的 $N$。
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注意到 $0<1/j,1/k\leqslant 1/N$，那么 $|1/j-1/k|<1/N$，故只需要 $1/N\leqslant \varepsilon$ 即 $N\geqslant1/\varepsilon$ 即可，根据命题 4.5.1 我们一定能找到这样的 $N$。
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我们现在建立另一个基本概念：有界序列。序列有界是非常好的性质，往后的许多证明都将用到。
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- **定义 5.1.6（有界序列）**：设比例数 $M\geq 0$。一个有限序列 $(a_n)_{n=m}^N$ 是以 $M$ 为界的，当且仅当对于任意 $m\leq n\leq N$ 有 $|a_n|\leq M$。一个无限序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是以 $M$ 为界的，当且仅当对于任意 $n\geq m$ 有 $|a_n|\leq M$。
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- **定义 5.1.6（有界序列）**：设有理数 $M\geqslant 0$。一个有限序列 $(a_n)_{n=m}^N$ 是以 $M$ 为界的，当且仅当对于任意 $m\leqslant n\leqslant N$ 有 $|a_n|\leqslant M$。一个无限序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是以 $M$ 为界的，当且仅当对于任意 $n\geqslant m$ 有 $|a_n|\leqslant M$。
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称一个序列是有界的，当且仅当存在比例数 $M\geq 0$ 使得该序列是以 $M$ 为界的。
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称一个序列是有界的，当且仅当存在有理数 $M\geqslant 0$ 使得该序列是以 $M$ 为界的。
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- **引理 5.1.7（有限序列是有界的）**：任何有限（比例数）序列 $(a_n)_{n=m}^N$ 都是有界的。
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- **引理 5.1.7（有限序列是有界的）**：任何有限（有理数）序列 $(a_n)_{n=m}^N$ 都是有界的。
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**证明**：固定 $m$ 而对 $N$ 归纳。
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- **引理 5.1.8（柯西序列是有界的）**：任意柯西序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 都是有界的。
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**证明**：任取比例数 $\varepsilon>0$，那么存在一个自然数 $N\geq m$，使得序列 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon\overline{\ }$ 稳定的。
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**证明**：任取有理数 $\varepsilon>0$，那么存在一个自然数 $N\geqslant m$，使得序列 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ 稳定的。
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考虑有限序列 $(a_n)_{n=m}^N$，根据引理 5.1.7 可知它是有界的，不妨设它是以 $M$ 为界的。
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对于任意 $n\geq N$，由于 $|a_N|\leq M$，$|a_n-a_N|\leq \varepsilon$，那么 $|a_n|\leq M+\varepsilon$。
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对于任意 $n\geqslant N$，由于 $|a_N|\leqslant M$，$|a_n-a_N|\leqslant \varepsilon$，那么 $|a_n|\leqslant M+\varepsilon$。
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于是可以证明，原序列是以 $M+\varepsilon$ 为界的，那么原序列是有界的。
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注意有界序列不一定是柯西序列，例如 $a_n:=(-1)^n$。
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#### 5.2 等价的柯西序列
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## 5.2 等价的柯西序列
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我们的想法是要把实数定义为柯西序列的 “极限”，那么我们就必须先定义何时两个柯西序列给出同样的 “极限”。
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- **定义 5.2.1（$\varepsilon\overline{\ }$ 接近序列）**：设比例数 $\varepsilon>0$，设 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 是两个序列，称序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是 $\varepsilon\overline{\ }$ 接近于序列 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 的，当且仅当对于任意 $n\geq m$，$d(a_n,b_n)\leq\varepsilon$。
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- **定义 5.2.1（$\varepsilon$ 接近序列）**：设有理数 $\varepsilon>0$，设 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 是两个序列，称序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是 $\varepsilon\overline{\ }$ 接近于序列 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 的，当且仅当对于任意 $n\geqslant m$，$d(a_n,b_n)\leqslant\varepsilon$。
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- **定义 5.2.2（终极 $\varepsilon\overline{\ }$ 接近序列）**：设比例数 $\varepsilon>0$，设 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m_b}^{\infty}$ 是两个序列，并记 $m=\max(m_a,m_b)$。称序列 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}$ 是终极 $\varepsilon\overline{\ }$ 接近于序列 $(b_n)_{n=m_b}^{\infty}$ 的，当且仅当存在 $N\geq m$，使得 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon\overline{\ }$ 接近于 $(b_n)_{n=N}^{\infty}$ 的。
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- **定义 5.2.2（终极 $\varepsilon$ 接近序列）**：设有理数 $\varepsilon>0$，设 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m_b}^{\infty}$ 是两个序列，并记 $m=\max(m_a,m_b)$。称序列 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}$ 是终极 $\varepsilon\overline{\ }$ 接近于序列 $(b_n)_{n=m_b}^{\infty}$ 的，当且仅当存在 $N\geqslant m$，使得 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ 接近于 $(b_n)_{n=N}^{\infty}$ 的。
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根据定义，若 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m_b}^{\infty}$ 是终极 $\varepsilon\overline{\ }$ 接近的，那么对于任意 $N'\geq m$，都存在 $N\geq N'$ 使得 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon\overline{\ }$ 接近的。
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根据定义，若 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m_b}^{\infty}$ 是终极 $\varepsilon$ 接近的，那么对于任意 $N'\geqslant m$，都存在 $N\geqslant N'$ 使得 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ 接近的。
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- **定义 5.2.3（等价的序列）**：称两个序列 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m_b}^{\infty}$ 是等价的（记作 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}\sim (b_n)_{n=m_b}^{\infty}$），当且仅当对于任意比例数 $\varepsilon >0$，它们都是终极 $\varepsilon\overline{\ }$ 接近的。
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- **定义 5.2.3（等价的序列）**：称两个序列 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m_b}^{\infty}$ 是等价的（记作 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}\sim (b_n)_{n=m_b}^{\infty}$），当且仅当对于任意有理数 $\varepsilon >0$，它们都是终极 $\varepsilon$ 接近的。
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更直接地，序列 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m_b}^{\infty}$ 是等价的（记 $m=\max(m_a,m_b)$），当且仅当对于任意比例数 $\varepsilon>0$，存在 $N\geq m$ 使得对于任意 $n\geq N$ 有 $d(a_n,b_n)\leq \varepsilon$。
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更直接地，序列 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m_b}^{\infty}$ 是等价的（记 $m=\max(m_a,m_b)$），当且仅当对于任意有理数 $\varepsilon>0$，存在 $N\geqslant m$ 使得对于任意 $n\geqslant N$ 有 $d(a_n,b_n)\leqslant \varepsilon$。
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同样地，定义 5.2.1 和 5.2.2 也是为帮助你更好地理解序列等价的内涵所用。
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**证明**：前两者易证，只证传递性。设序列 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty},(b_n)_{n=m_b}^{\infty},(c_n)_{n=m_c}^{\infty}$，其中 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}\sim (b_n)_{n=m_b}^{\infty}$ 且 $(b_n)_{n=m_b}^{\infty}\sim(c_n)_{n=m_c}^{\infty}$。设 $m=\max\{m_a,m_b,m_c\}$。
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设 $\varepsilon>0$ 是任意正比例数，那么找到一个 $N\geq m$ 使得 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 和 $(c_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon\overline{\ }$ 接近的即可。
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设 $\varepsilon>0$ 是任意正有理数，那么找到一个 $N\geqslant m$ 使得 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 和 $(c_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon\overline{\ }$ 接近的即可。
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根据假设，存在 $N_1\geq m$ 使得 $(a_n)_{n=N_1}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=N_1}^{\infty}$ 是 $\frac{\varepsilon}{2}\overline{\ }$ 接近的，存在 $N_2\geq m$ 使得 $(b_n)_{n=N_2}^{\infty}$ 和 $(c_n)_{n=N_2}^{\infty}$ 也是 $\frac{\varepsilon}{2}\overline{\ }$ 接近的。那么取 $N=\max(N_1,N_2)$ 即可。
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根据假设，存在 $N_1\geqslant m$ 使得 $(a_n)_{n=N_1}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=N_1}^{\infty}$ 是 $\frac{\varepsilon}{2}\overline{\ }$ 接近的，存在 $N_2\geqslant m$ 使得 $(b_n)_{n=N_2}^{\infty}$ 和 $(c_n)_{n=N_2}^{\infty}$ 也是 $\frac{\varepsilon}{2}\overline{\ }$ 接近的。那么取 $N=\max(N_1,N_2)$ 即可。
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- **引理 5.2.5**：设序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$，那么对于任意 $m'\geq m$，$(a_n)_{n=m}^{\infty}\sim(a_n)_{n=m'}^{\infty}$。**证明**：略。
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- **引理 5.2.5**：设序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$，那么对于任意 $m'\geqslant m$，$(a_n)_{n=m}^{\infty}\sim(a_n)_{n=m'}^{\infty}$。
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我们给出一个例子：
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- **命题 5.2.6**：由 $a_n:=1+10^{-n}$ 和 $b_n:=1-10^{-n}$ 定义的序列 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=1}^{\infty}$ 是等价的。
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**证明**：设 $\varepsilon >0$ 是任意正比例数，那么我们要找到 $N\geq 1$，使得对于任意 $n\geq N$，$|a_n-b_n|\leq \varepsilon$。
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**证明**：设 $\varepsilon >0$ 是任意正有理数，那么我们要找到 $N\geqslant 1$，使得对于任意 $n\geqslant N$，$|a_n-b_n|\leqslant \varepsilon$。
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注意到 $|a_n-b_n|=2\times 10^{-n}\leq 2\times 10^{-N}$，故只需要 $2\times 10^{-N}\leq\varepsilon$。我们还不曾定义对数，但我们可以找一个更宽松的合法解：可以用归纳证明对于任意正数 $N$ 有 $10^N\geq N$ 即 $10^{-N}\leq \frac{1}{N}$，于是我们只需 $2\times \frac{1}{N}\leq \varepsilon$ 即 $N\geq \frac{2}{\varepsilon}$ 即可，根据命题 4.5.1 我们一定能找到这样的 $N$。
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注意到 $|a_n-b_n|=2\times 10^{-n}\leqslant 2\times 10^{-N}$，故只需要 $2\times 10^{-N}\leqslant\varepsilon$。我们还不曾定义对数，但我们可以找一个更宽松的合法解：可以用归纳证明对于任意正数 $N$ 有 $10^N\geqslant N$ 即 $10^{-N}\leqslant 1/N$，于是我们只需 $2/N\leqslant \varepsilon$ 即 $N\geqslant \frac{2}{\varepsilon}$ 即可，根据命题 4.5.1 我们一定能找到这样的 $N$。
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#### 5.3 实数的构造
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## 5.3 实数的构造
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现在我们引入形式极限，然后用柯西序列的形式极限定义实数。
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全体实数的集合记作 $\mathbb{R}$。
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实数集的定义也不需要公理：先利用幂集公理得到所有比例数序列 $\bigcup_{m\in\mathbb Z}\mathbb{Q}^{\mathbb Z_m^{\infty}}$，再通过分类公理得到所有柯西序列构成的集合，再像定义整数集那样，定义所有柯西序列等价类（一个实数是一个柯西序列等价类）构成的集合，即为实数集。
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实数集的定义也不需要公理：先利用幂集公理得到所有有理数序列 $\bigcup_{m\in\mathbb Z}\mathbb{Q}^{\{n\in\mathbb Z:n\geqslant m\}}$，再通过分类公理得到所有柯西序列构成的集合，再像定义整数集那样，定义所有柯西序列定价类（一个实数是一个柯西序列等价类）构成的集合，即为实数集。
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根据序列等价的基本性质，我们知道实数相等也满足自反性、对称性和传递性。
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- **命题 5.3.3（实数关于加法遵从代入公理）**：设实数 $x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n$，$x'=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a'_n$，$y=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n$，且 $x=x'$，那么 $x+y=x'+y$。
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**证明**：设 $\varepsilon>0$ 是任意正比例数。根据假设，存在 $N\geq m$ 使得对于任意 $n\geq N$ 有 $d(a_n,a'_n)\leq\varepsilon$，那么也有 $d(a_n+b_n,a'_n+b_n)\leq\varepsilon$，证毕。
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**证明**：设 $\varepsilon>0$ 是任意正有理数。根据假设，存在 $N\geqslant m$ 使得对于任意 $n\geqslant N$ 有 $d(a_n,a'_n)\leqslant\varepsilon$，那么也有 $d(a_n+b_n,a'_n+b_n)\leqslant\varepsilon$，证毕。
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- **定义 5.3.4（实数的乘法）**：设实数 $x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n$，$y=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n$，定义它们的乘积为 $xy:=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}(a_nb_n)$。
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**证明**：根据引理 5.1.8，$(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 都是有界的，不妨设分别以比例数 $M_a>0,M_b>0$ 为界。那么对于任意的 $n\geq 1$，$|a_n|\leq M_a,|b_n|\leq M_b$。
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**证明**：根据引理 5.1.8，$(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 都是有界的，不妨设分别以有理数 $M_a>0,M_b>0$ 为界。那么对于任意的 $n\geqslant 1$，$|a_n|\leqslant M_a,|b_n|\leqslant M_b$。
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设 $\varepsilon>0$ 为任意正实数，我们要找到 $N\geq m$ 使得对于任意 $i,j\geq N$，$d(a_ib_i,a_jb_j)\leq \varepsilon$。
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设 $\varepsilon>0$ 为任意正实数，我们要找到 $N\geqslant m$ 使得对于任意 $i,j\geqslant N$，$d(a_ib_i,a_jb_j)\leqslant \varepsilon$。
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根据命题 4.5.2，存在比例数 $\delta_a$ 满足 $0<\delta_a<\frac{\varepsilon}{M_b}$，可得此时 $\varepsilon-\delta_aM_b>0$。
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根据命题 4.5.2，存在有理数 $\delta_a$ 满足 $0<\delta_a<\frac{\varepsilon}{M_b}$，可得此时 $\varepsilon-\delta_aM_b>0$。
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根据命题 4.5.2，存在比例数 $\delta_b$ 满足 $0<\delta_b<\frac{\varepsilon-\delta_a M_b}{M_a+\delta_a}$，可得此时 $\delta_aM_b+\delta_bM_a+\delta_a\delta_b<\varepsilon$。
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根据命题 4.5.2，存在有理数 $\delta_b$ 满足 $0<\delta_b<\frac{\varepsilon-\delta_a M_b}{M_a+\delta_a}$，可得此时 $\delta_aM_b+\delta_bM_a+\delta_a\delta_b<\varepsilon$。
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根据假设， 存在 $N_a\geq m$ 使得对于任意 $i,j\geq N_a$，$d(a_i,a_j)\leq \delta_a$；存在 $N_b\geq m$ 使得对于任意 $i,j\geq N_b$，$d(b_i,b_j)\leq \delta_b$。
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根据假设， 存在 $N_a\geqslant m$ 使得对于任意 $i,j\geqslant N_a$，$d(a_i,a_j)\leqslant \delta_a$；存在 $N_b\geqslant m$ 使得对于任意 $i,j\geqslant N_b$，$d(b_i,b_j)\leqslant \delta_b$。
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取 $N=\max(N_a,N_b)$，那么对于任意 $i,j\geq N$，根据命题 4.3.5.9，$d(a_ib_i,a_jb_j)\leq \delta_a|b_i|+\delta_b|a_i|+\delta_a\delta_b\leq \delta_aM_b+\delta_bM_a+\delta_a\delta_b<\varepsilon$。故此 $N$ 合法。
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取 $N=\max(N_a,N_b)$，那么对于任意 $i,j\geqslant N$，根据命题 4.3.5.9，$d(a_ib_i,a_jb_j)\leqslant \delta_a|b_i|+\delta_b|a_i|+\delta_a\delta_b\leqslant \delta_aM_b+\delta_bM_a+\delta_a\delta_b<\varepsilon$。故此 $N$ 合法。
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- **命题 5.3.5（实数关于乘法遵从代入公理）**：设实数 $x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n$，$x'=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a'_n$，$y=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n$，且 $x=x'$，那么 $xy=x'y$。
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**证明**：根据引理 5.1.8，$(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 是有界的，不妨设以 $M>0$ 为界。
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设 $\varepsilon>0$ 为任意正实数。根据假设，存在 $N\geq m$ 使得对于任意 $n\geq N$，$d(a_n,a'_n)\leq \frac{\varepsilon}{M}$，那么 $d(a_nb_n,a'_nb_n)=d(a_n,a'_n)|b_n|\leq \varepsilon$，证毕。
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设 $\varepsilon>0$ 为任意正实数。根据假设，存在 $N\geqslant m$ 使得对于任意 $n\geqslant N$，$d(a_n,a'_n)\leqslant \varepsilon/M$，那么 $d(a_nb_n,a'_nb_n)=d(a_n,a'_n)|b_n|\leqslant \varepsilon$，证毕。
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我们还需将比例数嵌入到实数集合中，方法是把比例数 $q$ 等同于实数 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}q$。容易验证，这个嵌入和我们之前定义的实数的相等、加法和乘法的概念是相容的（注意，这意味着，对于那些被我们等同于有理数的实数，它们已经满足命题 4.2.5 中所述的代数算律了）。
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我们还需将有理数嵌入到实数集合中，方法是把有理数 $q$ 等同于实数 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}q$。容易验证，这个嵌入和我们之前定义的实数的相等、加法和乘法的概念是相容的（注意，这意味着，对于那些被我们等同于有理数的实数，它们已经满足命题 4.2.5 中所述的代数算律了）。
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比例数嵌入实数之后，我们可以方便地补充更多的运算：
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有理数嵌入实数之后，我们可以方便地补充更多的运算：
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- **定义 5.3.6（实数的负运算）**：定义实数的负运算为 $-x:=(-1)\times x$。
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- **定义 5.3.7（实数的减法）**：定义实数的减法为 $x-y:=x+(-y)$。
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@ -176,13 +174,13 @@
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现在让我们来定义倒数。类似地，一个直接的想法是定义 $(\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n)^{-1}:=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n^{-1}$。当然，我们还要保证 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty} a_n\neq 0$。
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但这样定义还是会出现一些问题，如柯西序列 $(0,1,1,\cdots)$ 的形式极限为 $1\neq 0$，但我们没法把该序列的第一个数 $0$ 倒过来。
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但这样定义还是会出现一些问题，如柯西序列 $\langle 0,1,1,\cdots\rangle$ 的形式极限为 $1\neq 0$，但我们没法把该序列的第一个数 $0$ 倒过来。
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为避免这类问题，我们引入一个新的概念。
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- **定义 5.3.8（远离零的序列）**：称一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是远离零的，当且仅当存在比例数 $c>0$，使得对于一切 $n\geq m$，$|a_n|\geq c$。
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- **定义 5.3.8（远离零的序列）**：称一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是远离零的，当且仅当存在有理数 $c>0$，使得对于一切 $n\geqslant m$，$|a_n|\geqslant c$。
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注意，这和 “对于一切 $n\geq m$，$|a_n|>0$” 不等价，如序列 $a_n:=\frac{1}{n}$ 就不是远离零的序列。注意，两序列等价并不蕴含两序列关于 “远离零” 相同（如序列 $(0,1,1,\cdots)$ 和 $(1,1,\cdots)$）。
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注意，这和 “对于一切 $n\geqslant m$，$|a_n|>0$” 不等价，如序列 $a_n:=\frac{1}{n}$ 就不是远离零的序列。注意，两序列等价并不蕴含两序列关于 “远离零” 相同，如序列 $\langle0,1,1,\cdots\rangle$ 和 $\langle1,1,\cdots\rangle$。
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下面的引理说明，若实数 $x$ 不等于 $0$，那么它所对应的柯西序列等价类中，一定存在一个远离零的柯西序列。
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**证明**：根据定义，存在柯西序列 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 使得 $x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n$。
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$x$ 不等于 $0=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}0$，意味着存在比例数 $\varepsilon>0$，对于任意 $N\geq m$，都存在 $p\geq N$，使得 $|b_p|>\varepsilon$。
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$x$ 不等于 $0=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}0$，意味着存在有理数 $\varepsilon>0$，对于任意 $N\geqslant m$，都存在 $p\geqslant N$，使得 $|b_p|>\varepsilon$。
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任取比例数 $0<\delta<\varepsilon$，根据假设，存在 $N\geq m$，使得对于任意 $i,j\geq N$，$|b_i-b_j|\leq\delta$。再按照刚刚说的，存在 $p\geq N$，使得 $|b_p|>\varepsilon$。
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任取有理数 $0<\delta<\varepsilon$，根据假设，存在 $N\geqslant m$，使得对于任意 $i,j\geqslant N$，$|b_i-b_j|\leqslant\delta$。再按照刚刚说的，存在 $p\geqslant N$，使得 $|b_p|>\varepsilon$。
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由于 $|b_p|>\varepsilon$，又由于对于任意 $i\geq p$ 有 $|b_i-b_p|\leq \delta$，那么对于任意 $i\geq p$，$|b_i|>\varepsilon-\delta>0$。
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由于 $|b_p|>\varepsilon$，又由于对于任意 $i\geqslant p$ 有 $|b_i-b_p|\leqslant \delta$，那么对于任意 $i\geqslant p$，$|b_i|>\varepsilon-\delta>0$。
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那么序列 $(b_n)_{n=p}^{\infty}$ 是远离零的，证毕。
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现在可以定义倒数了：
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- **定义 5.3.10（实数的倒数）**：设 $x$ 是不为 $0$ 的实数，那么根据引理 5.3.9 可知存在一个远离零的柯西序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 使得 $x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n$，那么我们定义倒数为 $x^{-1}:=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n^{-1}$。
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- **定义 5.3.10（实数的乘法逆元）**：设 $x$ 是不为 $0$ 的实数，那么根据引理 5.3.9 可知存在一个远离零的柯西序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 使得 $x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n$，那么我们定义倒数为 $x^{-1}:=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n^{-1}$。
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**证明**：首先 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是远离零的，这蕴含了对于任意 $n\geq m$ 有 $a_n\neq 0$，那么存在序列 $(a_n^{-1})_{n=1}^{\infty}$，让我们来证明该序列为柯西序列。
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**证明**：首先 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是远离零的，这蕴含了对于任意 $n\geqslant m$ 有 $a_n\neq 0$，那么存在序列 $(a_n^{-1})_{n=1}^{\infty}$，让我们来证明该序列为柯西序列。
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根据假设，存在比例数 $c>0$，使得对于任意 $n\geq m$，$|a_n|\geq c$ 即 $\left|\frac{1}{a_n}\right|\leq \frac{1}{c}$。
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根据假设，存在有理数 $c>0$，使得对于任意 $n\geqslant m$，$|a_n|\geqslant c$ 即 $|1/a_n|\leqslant 1/c$。
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设 $\varepsilon>0$ 是任意正比例数，根据假设，存在 $N\geq m$，使得对于任意 $i,j\geq N$，$|a_i-a_j|\leq \varepsilon c^2$，那么 $\left|\frac{1}{a_i}-\frac{1}{a_j}\right|=\frac{|a_i-a_j|}{|a_i||a_j|}\leq \varepsilon$。证毕。
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设 $\varepsilon>0$ 是任意正有理数，根据假设，存在 $N\geqslant m$，使得对于任意 $i,j\geqslant N$，$|a_i-a_j|\leqslant \varepsilon c^2$，那么 $\left|\frac{1}{a_i}-\frac{1}{a_j}\right|=\frac{|a_i-a_j|}{|a_i||a_j|}\leqslant \varepsilon$。证毕。
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- **命题 5.3.11（实数关于倒数遵从代入公理）**：设实数 $x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n$，其中 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 都是远离零的柯西序列，那么 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n^{-1}=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n^{-1}$。
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- **命题 5.3.11（实数关于乘法逆元遵从代入公理）**：设实数 $x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n$，其中 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 都是远离零的柯西序列，那么 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n^{-1}=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n^{-1}$。
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**证明**：一种证明方法是类似 5.3.10 的证明（将 $\left|\frac{1}{a_n}-\frac{1}{b_n}\right|$ 转化为 $\frac{|a_n-b_n|}{|a_n||b_n|}$）。
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书上给的证明方法是：根据 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n$，然后两边同乘 $\left(\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n^{-1}\right)\left(\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n^{-1}\right)$，得到 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n^{-1}=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n^{-1}$。相当于利用了实数关于乘法的代入公理。
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另一种证明方法是：根据 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n$，然后两边同乘 $\left(\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n^{-1}\right)\left(\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n^{-1}\right)$，得到 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n^{-1}=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n^{-1}$。相当于利用了实数关于乘法的代入公理。
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- **定义 5.3.12（实数的除法）**：定义两个实数 $x$ 和 $y\neq 0$ 的除法为：$x/y:=xy^{-1}$。
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可以证明，有理数的倒数和除法运算和实数的是相容的。
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可以证明，有理数的乘法逆元和除法运算和实数的是相容的。
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- **命题 5.3.13（实数的代数算律）**：命题 4.2.5 中提及的关于比例数的代数算律对于实数也成立。
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- **命题 5.3.13（实数的代数算律）**：命题 4.2.5 中提及的关于有理数的代数算律对于实数也成立。
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**证明**：将实数表示成 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n$ 的形式，然后不难证明。
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我们现在关于实数已经有了全部四种基本的运算，它们满足全部常见的代数算律，下面我们转向实数的序的概念。
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#### 5.4 给实数编序
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## 5.4 实数的次序
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我们现在也想给实数定义正负。利用单个柯西序列中的元素来判断实数的正负性显然是不现实的（例如序列 $(1,-\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{1}{4},\cdots)$）。我们需要利用上一节中提到的远离零的定义。
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我们现在也想给实数定义正负。利用单个柯西序列中的元素来判断实数的正负性显然是不现实的（例如序列 $\langle1,-\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{1}{4},\cdots\rangle$）。我们需要利用上一节中提到的远离零的定义。
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- **定义 5.4.1**：设序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$。称其是正远离零的，当且仅当存在比例数 $c>0$，使得对于一切 $n\geq m$，$a_n\geq c$。称其是负远离零的，当且仅当存在比例数 $c<0$，使得对于一切 $n\geq m$，$a_n\leq c$。
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- **定义 5.4.1**：设序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$。称其是**正远离零的**，当且仅当存在有理数 $c>0$，使得对于一切 $n\geqslant m$，$a_n\geqslant c$。称其是**负远离零的**，当且仅当存在有理数 $c<0$，使得对于一切 $n\geqslant m$，$a_n\leqslant c$。
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- **定义 5.4.2**：称一个实数 $x$ 是正的，当且仅当存在正远离零的柯西序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 使得 $x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n$。称一个实数 $x$ 是负的，当且仅当存在负远离零的柯西序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 使得 $x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n$。
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- **命题 5.4.3（实数的三歧性）**：设 $x$ 是实数，那么三个命题 “$x=0$”、“$x$ 是正的” 和 “$x$ 是负的” 中恰有一个成立。
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**证明**：存在性：若 $x\neq 0$，那么根据引理 5.3.9 可知存在一个远离零的柯西序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 使得 $x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n$。那么存在比例数 $c>0$，使得对于任意 $n\geq m$ 有 $|a_n|\geq c$。
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**证明**：存在性：若 $x\neq 0$，那么根据引理 5.3.9 可知存在一个远离零的柯西序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 使得 $x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n$。那么存在有理数 $c>0$，使得对于任意 $n\geqslant m$ 有 $|a_n|\geqslant c$。
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根据定义，存在 $N\geq m$，使得对于任意 $i,j\geq N$，$|a_i-a_j|<2c$，那么就不存在 $i,j\geq N$，使得 $a_i>0$ 和 $a_j<0$ 同时成立。所以要么 “对于任意 $n\geq N$，$a_n>0$，那么 $a_n\geq c$”，要么 “对于任意 $n\geq N$，$a_n<0$，那么 $a_n\leq -c$”。那么 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 要么是正远离零的，要么是负远离零的，证毕。
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根据定义，存在 $N\geqslant m$，使得对于任意 $i,j\geqslant N$，$|a_i-a_j|<2c$，那么就不存在 $i,j\geqslant N$，使得 $a_i>0$ 和 $a_j<0$ 同时成立。所以要么 “对于任意 $n\geqslant N$，$a_n>0$，那么 $a_n\geqslant c$”，要么 “对于任意 $n\geqslant N$，$a_n<0$，那么 $a_n\leqslant -c$”。那么 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 要么是正远离零的，要么是负远离零的，证毕。
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唯一性：反证。若存在 “$x$ 是正的” 和 “$x$ 是负的” 同时成立，说明存在正远离零的柯西序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和负远离零的柯西序列 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 使得 $x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n$。那么 $(a_n)_{n=m}^{\infty}\sim(b_n)_{n=m}^{\infty}$。
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根据定义，存在比例数 $c_a>0$ 使得对于任意 $n\geq m$，$a_n\geq c_a$；存在比例数 $c_b>0$ 使得对于任意 $n\geq m$，$b_n\leq -c_b$。根据定义，又存在 $N\geq m$ 使得对于任意 $i,j\geq N$，$|a_i-b_i|<c_a+c_b$，而 $|a_i-b_i|$ 显然大于等于 $c_a+c_b$，矛盾。
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根据定义，存在有理数 $c_a>0$ 使得对于任意 $n\geqslant m$，$a_n\geqslant c_a$；存在有理数 $c_b>0$ 使得对于任意 $n\geqslant m$，$b_n\leqslant -c_b$。根据定义，又存在 $N\geqslant m$ 使得对于任意 $i,j\geqslant N$，$|a_i-b_i|<c_a+c_b$，而 $|a_i-b_i|$ 显然大于等于 $c_a+c_b$，矛盾。
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容易证明，比例数的正负性的概念和实数的是相容的。
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容易证明，有理数的正负性的概念和实数的是相容的。
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有了正负性的定义和性质，我们又能重复一些比例数中出现过的定理和定义。
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有了正负性的定义和性质，我们又能重复一些有理数中出现过的定理和定义。
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- **引理 5.4.4**：设 $x,y$ 为实数，那么 $xy$ 为正的当且仅当 $x,y$ 同为正的或 $x,y$ 同为负的，$xy$ 为负的，当且即当 $x,y$ 一正一负。
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- **定义 5.4.5（实数的序）**：设 $x$ 和 $y$ 是实数。称 $x>y$ 当且仅当 $x-y$ 是正实数。称 $x<y$ 当且仅当 $x-y$ 是负实数。称 $x\geqslant y$ 当且仅当 $x>y$ 或 $x=y$。称 $x\leqslant y$ 当且仅当 $x<y$ 或 $x=y$。
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- **命题 5.4.6（实数的序的基本性质）**：命题 4.2.11 中提及的关于有理数的序的基本性质对于实数也成立。
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- **引理 5.4.4**：设 $x,y$ 为实数，那么 $xy$ 为正的当且仅当 $x,y$ 同为正的或 $x,y$ 同为负的，$xy$ 为负的，当且即当 $x,y$ 一正一负。**证明**：略。
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- **定义 5.4.5（实数的序）**：设 $x$ 和 $y$ 是实数。称 $x>y$ 当且仅当 $x-y$ 是正实数。称 $x<y$ 当且仅当 $x-y$ 是负实数。称 $x\geq y$ 当且仅当 $x>y$ 或 $x=y$。称 $x\leq y$ 当且仅当 $x<y$ 或 $x=y$。
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- **命题 5.4.6（实数的序的基本性质）**：命题 4.2.11 中提及的关于比例数的序的基本性质对于实数也成立。**证明**：略。
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- **定义 5.4.7（实数的绝对值）**：根据实数的三歧性，定义实数 $x$ 的绝对值 $|x|$ 为：若 $x$ 是正的，那么 $|x|:=x$；若 $x$ 是负的，那么 $|x|:=-x$；若 $x$ 是 $0$，那么 $|x|:=0$。
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- **定义 5.4.8（实数的距离）**：定义两个实数 $x$ 和 $y$ 的距离为 $d(x,y):=|x-y|$。
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- **命题 5.4.9（绝对值及距离的基本性质）**：命题 4.3.3 中提及的关于绝对值及距离的基本性质对于实数也成立。**证明**：略。
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容易证明，比例数的序和绝对值的概念和实数的是相容的。
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- **定义 5.4.8（实数的距离）**：定义两个实数 $x$ 和 $y$ 的距离为 $d(x,y):=|x-y|$。
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- **命题 5.4.9（绝对值及距离的基本性质）**：命题 4.3.3 中提及的关于绝对值及距离的基本性质对于实数也成立。
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容易证明，有理数的序和绝对值的概念和实数的是相容的。
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在实数的序的基础上，我们补充一些有关实数的稠密性的性质。
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- **命题 5.4.10（实数在相邻整数之间）**：设 $x$ 是实数，那么存在唯一的整数 $n$ 使得 $n\leq x<n+1$，记 $n$ 为 $x$ 的整部 $n=[x]$。
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- **命题 5.4.10（用有理数来界定实数）**：设 $x$ 是一个正的实数，那么存在一个正有理数 $q$ 使得 $q<x$，同时存在一个正整数 $N$ 使得 $x<N$。
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**证明**：唯一性反证，现证存在性。设柯西序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 使得 $x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n$。
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**证明**：设柯西序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 使得 $x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n$。
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存在 $N\geq m$ 使得对于任意 $i,j\geq N$ 有 $|a_i-a_j|\leq\frac12$。那么对于任意 $n\geq N$，$a_N-\frac12\leq a_n\leq a_N+\frac12$。
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由于 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是正远离零的，那么存在有理数 $c$ 使得对于任意 $n\geqslant m$，$a_n\geqslant c>0$。那么易证 $x>\frac{c}{2}$。
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取 $A=[a_N-\frac12]$，则 $0\leq (a_N-\frac12)-A<1$。记 $c=1-((a_N-\frac{1}{2})-A)$ 为正比例数。
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由于 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是有界的，那么存在有理数 $M$ 使得对于任意 $n\geqslant m$，$a_n\leqslant M$。又根据命题 4.5.1，存在正整数 $N$ 使得 $M<N$，那么对于任意 $n\geqslant m$，$a_n\leqslant M<N$。
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那么对于任意 $n\geq N$，$A\leq a_n\leq A+2-c$。于是 $A\leq x\leq A+2-c<A+2$（因为排版的历史遗留问题，这里要用到推论 5.4.14，但并不会导致循环论证）。
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根据 $A+1$ 和 $x$ 的大小关系分类讨论，即可构造出 $A\leq x<A+1$ 或 $A+1\leq x<A+2$。存在性证毕。
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- **推论 5.4.11（阿基米德性质）**：设 $x$ 和 $\varepsilon$ 是任意正实数，那么存在正整数 $M$，使得 $M\varepsilon>x$。**证明**：略。
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- **推论 5.4.11（阿基米德性质）**：设 $x$ 和 $\varepsilon$ 是任意正实数，那么存在正整数 $M$，使得 $M\varepsilon>x$。
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推论 5.4.11 描述的是，无论 $x$ 多么大，无论正数 $\varepsilon$ 多么小，只要把 $\varepsilon$ 自身不断累加，所得之和总会在有限次大于 $x$。
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- **命题 5.4.12**：设 $x$ 和 $y$ 是实数且 $x<y$，那么存在比例数 $z$ 满足 $x<z<y$。
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- **命题 5.4.12**：设 $x$ 和 $y$ 是实数且 $x<y$，那么存在有理数 $z$ 满足 $x<z<y$。
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**证明**：设柯西序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 使得 $x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n$，设柯西序列 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 使得 $x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n$。
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由于 $x\neq y$，那么存在比例数 $\varepsilon>0$，使得对于任意 $N\geq m$，都存在 $p\geq N$ 使得 $|a_p-b_p|>\varepsilon$。根据命题 4.5.2，存在比例数 $\delta_a,\delta_b,z'$ 使得 $0<\delta_a<z'<\varepsilon-\delta_b<\varepsilon$。
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由于 $x\neq y$，那么存在有理数 $\varepsilon>0$，使得对于任意 $N\geqslant m$，都存在 $p\geqslant N$ 使得 $|a_p-b_p|>\varepsilon$。根据命题 4.5.2，存在有理数 $\delta_a,\delta_b,z'$ 使得 $0<\delta_a<z'<\varepsilon-\delta_b<\varepsilon$。
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存在 $N_a\geq m$ 使得对于任意 $i,j\geq N_a$，$|a_i-a_j|\leq \delta_a$。存在 $N_b\geq m$ 使得对于任意 $i,j\geq N_b$，$|b_i-b_j|\leq \delta_b$。
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存在 $N_a\geqslant m$ 使得对于任意 $i,j\geqslant N_a$，$|a_i-a_j|\leqslant \delta_a$。存在 $N_b\geqslant m$ 使得对于任意 $i,j\geqslant N_b$，$|b_i-b_j|\leqslant \delta_b$。
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存在 $p\geq \max(N_a,N_b)$ 使得 $|a_p-b_p|>\varepsilon$。那么对于任意 $i\geq p$，$|a_i-a_p|\leq \delta_a$ 且 $|b_i-b_p|\leq \delta_b$。
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存在 $p\geqslant \max(N_a,N_b)$ 使得 $|a_p-b_p|>\varepsilon$。那么对于任意 $i\geqslant p$，$|a_i-a_p|\leqslant \delta_a$ 且 $|b_i-b_p|\leqslant \delta_b$。
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又由于 $x<y$，综合可知 $a_p+\varepsilon<b_p$，且对于任意 $i\geq p$，有 $a_i\leq a_p+\delta_a<a_p+z'<b_p-\delta_b\leq b_i$。
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又由于 $x<y$，综合可知 $a_p+\varepsilon<b_p$，且对于任意 $i\geqslant p$，有 $a_i\leqslant a_p+\delta_a<a_p+z'<b_p-\delta_b\leqslant b_i$。
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取 $z=a_p+z'$，即可证明 $x<z<y$。
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现在我们将柯西序列中元素的序和实数的序联系起来，给出一些性质，以便之后使用。
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- **命题 5.4.13（非负实数集是闭的）**：设 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是一个非负比例数的柯西序列，那么 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n$ 也是非负的。
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- **命题 5.4.13（非负实数集是闭的）**：设 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是一个非负有理数的柯西序列，那么 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n$ 也是非负的。
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**证明**：反证易得。
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但需要注意，正比例数序列的形式极限不必是正的，它可以是零。我们将在第 12 章中看到对此事实的一个更好的解释：因为正实数集是开的，而非负实数集是闭的。
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但需要注意，正有理数序列的形式极限不必是正的，它可以是零。我们将在第 12 章中看到对此事实的一个更好的解释：因为正实数集是开的，而非负实数集是闭的。
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- **推论 5.4.14**：设柯西序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 满足对于任意 $n\geq m$ 有 $a_n\geq b_n$，那么 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n\geq \operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n$。
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- **推论 5.4.14**：设柯西序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 满足对于任意 $n\geqslant m$ 有 $a_n\geqslant b_n$，那么 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n\geqslant \operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n$。
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**证明**：结合定义及命题 5.4.13 可知。
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注意，因为正比例数序列的形式极限不必是正的，所以上述推论中的 $\geq $ 换成 $>$ 不一定成立。
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注意，因为正有理数序列的形式极限不必是正的，所以上述推论中的 $\geqslant$ 换成 $>$ 不一定成立。
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而判定两个实数 $x,y$ 满足 $x<y$ 的正确方式应是：找到比例数 $c>0$ 以及柯西序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 使得 $x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n$ 且 $y=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n$，并满足对于任意 $n\geq m$，$b_n-a_n\geq c$。
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而判定两个实数 $x,y$ 满足 $x<y$ 的正确方式应是：找到有理数 $c>0$ 以及柯西序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 使得 $x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n$ 且 $y=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n$，并满足对于任意 $n\geqslant m$，$b_n-a_n\geqslant c$。
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- **命题 5.4.15**：设实数 $x$ 和柯西序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 满足对于任意 $n\geq m$ 有 $a_n\leq x$，那么 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n\leq x$。
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- **命题 5.4.15**：设实数 $x$ 和柯西序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 满足对于任意 $n\geqslant m$ 有 $a_n\leqslant x$，那么 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n\leqslant x$。
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**证明**：考虑证明逆否命题：若 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n>x$，则存在 $n\geq m$ 使得 $a_n>x$。
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**证明**：考虑证明逆否命题：若 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n>x$，则存在 $n\geqslant m$ 使得 $a_n>x$。
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根据命题 5.4.12，存在有理数 $z$ 使得 $x<z<\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n$。若对于任意的 $n\geq m$ 都有 $a_n\leq z$，那么根据推论 5.4.14 可知 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}\leq z$，故存在 $n\geq 1$ 使得 $a_n>z>x$，证毕。
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根据命题 5.4.12，存在有理数 $z$ 使得 $x<z<\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n$。若对于任意的 $n\geqslant m$ 都有 $a_n\leqslant z$，那么根据推论 5.4.14 可知 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}\leqslant z$，故存在 $n\geqslant 1$ 使得 $a_n>z>x$，证毕。
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对称地，将命题 5.4.15 中的 $\leq $ 换成 $\geq$，同样成立。
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对称地，将命题 5.4.15 中的 $\leqslant$ 换成 $\geqslant$，同样成立。
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#### 5.5 界和确界
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## 5.5 界和确界
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我们介绍两个关于实数的新概念——界和确界。
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- **定义 5.5.1（上界）**：设 $E\subseteq \mathbb R$，称实数 $M$ 是 $E$ 的一个上界，当且仅当对于任意 $x\in E$ 有 $x\leq M$。
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- **定义 5.5.1（上界）**：设 $E\subseteq \mathbb R$，称实数 $M$ 是 $E$ 的一个上界，当且仅当对于任意 $x\in E$ 有 $x\leqslant M$。
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我们可以注意到：有一些集合没有上界（如正实数集 $\mathbb R^+:=\{x\in \mathbb R:x>0\}$），任何数都是 $\varnothing $ 的上界。
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我们可以注意到：有一些集合没有上界（如正实数集 $\mathbb R^+:=\{x\in \mathbb R:x>0\}$），任何数都是 $\varnothing$ 的上界。
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- **定义 5.5.2（上确界）**：设 $E\subseteq \mathbb R$，称实数 $M$ 是 $E$ 的上确界，当且仅当 $M$ 是 $E$ 的上界，且 $E$ 的任何上界 $M'$ 都大于等于 $M$。
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- **命题 5.5.3（确界原理）**：设 $E\subseteq \mathbb R$ 是非空集合，若 $E$ 有上界，那么 $E$ 的上确界存在且唯一。
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**证明**：唯一性：反证。设 $E$ 有两个上确界 $M,M'$，那么根据定义有 $M'\geq M$ 且 $M\geq M'$，即 $M=M'$。
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**证明**：唯一性：反证。设 $E$ 有两个上确界 $M,M'$，那么根据定义有 $M'\geqslant M$ 且 $M\geqslant M'$，即 $M=M'$。
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存在性：$E$ 是非空集合，设 $x_0\in E$。$E$ 存在上界，设 $M$ 是 $E$ 的上界。那么 $x_0\leq M$。
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存在性：$E$ 是非空集合，设 $x_0\in E$。$E$ 存在上界，设 $M$ 是 $E$ 的上界。那么 $x_0\leqslant M$。
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设整数 $n\geq 1$，存在整数 $K$ 使得 $M\leq \frac{K}{n}$，存在整数 $L$ 使得 $\frac{L}{n}<x_0$，那么 $L<K$。
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设整数 $n\geqslant 1$，存在整数 $K$ 使得 $M\leqslant \frac{K}{n}$，存在整数 $L$ 使得 $\frac{L}{n}<x_0$，那么 $L<K$。
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存在唯一的整数 $m_n$ 满足 $L<m_n\leq K$ 使得 $\frac{m_n}{n}$ 是 $E$ 的上界而 $\frac{m_n-1}{n}$ 不是（固定 $L$ 而对 $K$ 归纳）。
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存在唯一的整数 $m_n$ 满足 $L<m_n\leqslant K$ 使得 $\frac{m_n}{n}$ 是 $E$ 的上界而 $\frac{m_n-1}{n}$ 不是（固定 $L$ 而对 $K$ 归纳）。
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注意到，设整数 $N\geq 1$，对于任意 $n,n'\ge N$，由于 $\frac{m_n}{n}$ 是 $E$ 的上界而 $\frac{m_{n'}-1}{n'}$ 不是，那么有 $\frac{m_{n'}-1}{n'}<\frac{m_n}{n}$，即 $\frac{m_{n'}}{n'}-\frac{m_n}{n}<\frac{1}{n'}\leq\frac{1}{N}$，同理 $\frac{m_{n'}}{n'}-\frac{m_n}{n}>-\frac{1}{n}\geq- \frac{1}{N}$，即 $|\frac{m_n}{n}-\frac{m_{n'}}{n'}|\leq\frac{1}{N}$。
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注意到，设整数 $N\geqslant 1$，对于任意 $n,n'\ge N$，由于 $\frac{m_n}{n}$ 是 $E$ 的上界而 $\frac{m_{n'}-1}{n'}$ 不是，那么有 $\frac{m_{n'}-1}{n'}<\frac{m_n}{n}$，即 $\frac{m_{n'}}{n'}-\frac{m_n}{n}<\frac{1}{n'}\leqslant\frac{1}{N}$，同理 $\frac{m_{n'}}{n'}-\frac{m_n}{n}>-\frac{1}{n}\geqslant- \frac{1}{N}$，即 $|\frac{m_n}{n}-\frac{m_{n'}}{n'}|\leqslant\frac{1}{N}$。
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那么可以证明 $(\frac{m_n}{n})_{n=1}^{\infty}$ 是一个柯西序列。令 $S=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}\frac{m_n}{n}$，我们欲证明 $S$ 就是 $E$ 的上确界。
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那么可以证明 $(\frac{m_n}{n})_{n=1}^{\infty}$ 是一个柯西序列。令 $S=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}(m_n/n)$，我们欲证明 $S$ 就是 $E$ 的上确界。
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先证明 $S$ 是 $E$ 的上界：对于任意 $x\in E$，我们知道对于任意 $n\geq 1$，$x\leq \frac{m_n}{n}$，那么根据命题 5.4.15 可知 $x\leq \operatorname{LIM}_{n\to \infty}\frac{m_n}{n}$。
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先证明 $S$ 是 $E$ 的上界：对于任意 $x\in E$，我们知道对于任意 $n\geqslant 1$，$x\leqslant \frac{m_n}{n}$，那么根据命题 5.4.15 可知 $x\leqslant \operatorname{LIM}_{n\to \infty}(m_n/n)$。
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再证明 $S$ 是 $E$ 的上确界：对于任意 $E$ 的上界 $y$，对于任意 $n\geq 1$，由于 $\frac{m_n-1}{n}$ 不是 $E$ 的上界，那么 $\frac{m_n-1}{n}<y$，那么根据命题 5.4.15 可知 $y\geq \operatorname{LIM}_{n\to \infty}\frac{m_n-1}{n}=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}\frac{m_n}{n}=S$。
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再证明 $S$ 是 $E$ 的上确界：对于任意 $E$ 的上界 $y$，对于任意 $n\geqslant 1$，由于 $\frac{m_n-1}{n}$ 不是 $E$ 的上界，那么 $\frac{m_n-1}{n}<y$，那么根据命题 5.4.15 可知 $y\geqslant \operatorname{LIM}_{n\to \infty}\frac{m_n-1}{n}=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}(m_n/n)=S$。
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- **定义 5.5.4（sup）**：设 $E\subseteq \mathbb R$。若 $E$ 非空且存在上界，那么定义 $\sup E$ 为 $E$ 的上确界；若 $E$ 非空且不存在上界，那么定义 $\sup E:=+\infty$；若 $E$ 为空，那么定义 $\sup E:=-\infty$。
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在这里，$+\infty$ 和 $-\infty$ 都是形式上的记号而非实数，没有关于它们的任何运算和性质。
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在这里，$+\infty$ 和 $-\infty$ 都是没有形式上的记号而非实数，没有关于它们的任何运算和性质。
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我们举一个例子来说明定义上确界的作用：
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- **命题 5.5.5**：存在正实数 $x$ 使得 $x^2=2$。
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**证明**：设集合 $E:=\{y\in\mathbb R:y\geq 0\land y^2<2\}$ 是 $\mathbb R$ 的子集。显然 $E$ 存在上界。那么就存在上确界 $x:=\sup E$。我们来证明 $x^2=2$，即证不可能有 $x^2<2$ 或 $x^2>2$。
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**证明**：设集合 $E:=\{y\in\mathbb R:y\geqslant 0\land y^2<2\}$ 是 $\mathbb R$ 的子集。显然 $E$ 存在上界。那么就存在上确界 $x:=\sup E$。我们来证明 $x^2=2$，即证不可能有 $x^2<2$ 或 $x^2>2$。
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首先，因为 $2$ 是 $E$ 的上界（若 $y>2$ 则 $y^2>4>2$），有 $x\leq 2$。
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首先，因为 $2$ 是 $E$ 的上界（若 $y>2$ 则 $y^2>4>2$），有 $x\leqslant 2$。
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假设 $x^2<2$。考虑证明存在实数 $\varepsilon>0$ 使得 $(x+\varepsilon)^2<2$（那么 $x+\varepsilon\in E$，从而 $x$ 不是 $E$ 的上界，矛盾），而 $(x+\varepsilon)^2=x^2+2x\varepsilon+\varepsilon^2\leq x^2+5\varepsilon$，那么只需令 $0<\varepsilon<\frac{2-x^2}{5}$ 即可。
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假设 $x^2<2$。考虑证明存在实数 $\varepsilon>0$ 使得 $(x+\varepsilon)^2<2$（那么 $x+\varepsilon\in E$，从而 $x$ 不是 $E$ 的上界，矛盾），而 $(x+\varepsilon)^2=x^2+2x\varepsilon+\varepsilon^2\leqslant x^2+5\varepsilon$，那么只需令 $0<\varepsilon<\frac{2-x^2}{5}$ 即可。
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假设 $x^2>2$，考虑证明存在实数 $\varepsilon>0$ 使得 $(x-\varepsilon)^2>2$（从而 $x-\varepsilon$ 是 $E$ 的更小上界，矛盾），而 $(x-\varepsilon)^2=x^2-2x\varepsilon+\varepsilon^2\geq x-3\varepsilon^2$，那么只需令 $0<\varepsilon<\frac{x^2-2}{3}$ 即可。
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假设 $x^2>2$，考虑证明存在实数 $\varepsilon>0$ 使得 $(x-\varepsilon)^2>2$（从而 $x-\varepsilon$ 是 $E$ 的更小上界，矛盾），而 $(x-\varepsilon)^2=x^2-2x\varepsilon+\varepsilon^2\geqslant x-3\varepsilon^2$，那么只需令 $0<\varepsilon<\frac{x^2-2}{3}$ 即可。
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类似地，我们也可以定义下界、下确界以及 $\inf E$。根据对称性，容易证明 $\sup E=-\inf(-E)$，其中 $-E:=\{-x:x\in E\}$。
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#### 5.6 实数的有理数次幂
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## 5.6 实数的有理数次幂
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类似比例数，我们可以类似地定义实数的整数次幂，以及得到相似的关于整数次幂的性质：
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类似有理数，我们可以类似地定义实数的整数次幂，以及得到相似的关于整数次幂的性质：
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- **定义 5.6.1（自然数次幂的指数运算）**：设 $x$ 是实数，首先定义 $x^0:=1$。现归纳地假定已定义好 $x^n$，那么定义 $x^{n+1}:=x^n\times x$。
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- **命题 5.6.3**：命题 4.4.2、引理 4.4.4、引理 4.4.5 和命题 4.4.6 中提及的关于整数次幂的性质对于实数也成立。
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**证明**：审视上述命题的证明，发现它们依赖于比例数的代数算律和序的规则，而以前我们已经证明过了这些对于实数同样成立，故这些命题对于实数也成立。
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**证明**：审视上述命题的证明，发现它们依赖于有理数的代数算律和序的规则，而以前我们已经证明过了这些对于实数同样成立，故这些命题对于实数也成立。
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可以看到，比例数的整数次幂的指数运算和实数的是相容的。
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可以看到，有理数的整数次幂的指数运算和实数的是相容的。
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现在我们来定义实数的非整数次幂，先从 $n$ 次根的概念开始。
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- **定义 5.6.4**：对于实数 $x>0$ 和整数 $n\geq 1$，定义 $x$ 的 $n$ 次根为实数 $x^{\frac{1}{n}}:=\sup\{y\in\mathbb R:y\geq 0\land y^n\leq x\}$。我们常把 $x^{\frac{1}{2}}$ 记作 $\sqrt x$。
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- **定义 5.6.4**：对于实数 $x>0$ 和整数 $n\geqslant 1$，定义 $x$ 的 $n$ 次根为实数 $x^{\frac{1}{n}}:=\sup\{y\in\mathbb R:y\geqslant 0\land y^n\leqslant x\}$。我们常把 $x^{\frac{1}{2}}$ 记作 $\sqrt x$。
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**证明**：只需证明 $E:=\{y\in\mathbb R:y\geq 0\land y^n\leq x\}$ 非空和存在上界即可。容易发现一定有 $0\in E$。
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**证明**：只需证明 $E:=\{y\in\mathbb R:y\geqslant 0\land y^n\leqslant x\}$ 非空和存在上界即可。容易发现一定有 $0\in E$。
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存在整数 $N>0$ 使得 $x\leq N$，通过对 $N$ 归纳可以证明存在正整数 $Y$ 使得 $Y^n\geq N\geq x$。那么 $Y$ 是 $E$ 的上界（若 $y>Y$，则 $y^n>Y^n\geq x\implies y\not\in E$）。
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存在整数 $N>0$ 使得 $x\leqslant N$，通过对 $N$ 归纳可以证明存在正整数 $Y$ 使得 $Y^n\geqslant N\geqslant x$。那么 $Y$ 是 $E$ 的上界（若 $y>Y$，则 $y^n>Y^n\geqslant x\implies y\not\in E$）。
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- **引理 5.6.5**：设实数 $x>0,y\geq 0$ 和整数 $n\geq 1$。若 $y^n<x$，那么存在实数 $\varepsilon>0$，使得 $(y+\varepsilon)^n<x$；若 $y^n>x$，那么存在实数 $\varepsilon>0$，使得 $(y-\varepsilon)^n>x$。
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- **引理 5.6.5**：设实数 $x>0,y\geqslant 0$ 和整数 $n\geqslant 1$。若 $y^n<x$，那么存在实数 $\varepsilon>0$，使得 $(y+\varepsilon)^n<x$；若 $y^n>x$，那么存在实数 $\varepsilon>0$，使得 $(y-\varepsilon)^n>x$。
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**证明**：两证明对称，证前面那个。根据 5.6.4 的证明，可知存在正整数 $Y$ 使得 $y\leq Y$，那么对 $n$ 归纳可以证明存在正整数 $k$ 使得 $(y+\varepsilon)^n\leq y^n+k\varepsilon$。那么取 $\varepsilon$ 使得 $0<\varepsilon<\frac{x-y^n}{k}$ 即可。
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**证明**：两证明对称，证前面那个。根据 5.6.4 的证明，可知存在正整数 $Y$ 使得 $y\leqslant Y$，那么对 $n$ 归纳可以证明存在正整数 $k$ 使得 $(y+\varepsilon)^n\leqslant y^n+k\varepsilon$。那么取 $\varepsilon$ 使得 $0<\varepsilon<\frac{x-y^n}{k}$ 即可。
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- **引理 5.6.6**：设实数 $x,y>0$ 和整数 $n,m\geq 1$。
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- **引理 5.6.6**：设实数 $x,y>0$ 和整数 $n,m\geqslant 1$。
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1. $(x^{\frac{1}{n}})^n=x$。证明：设 $y=x^{\frac{1}{n}}$，类似命题 5.5.5 的证明，利用引理 5.6.5，可以证明不可能有 $y^n<x$ 或 $y^n>x$。
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@ -399,7 +398,7 @@
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4. $x>y\iff x^{\frac1n}>y^{\frac1n}$。证明：根据命题 5.6.3 易证。
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5. 若 $x>1$，那么 $x^{\frac1n}$ 是关于 $n$ 的减函数；若 $x<1$，那么 $x^{\frac1n}$ 是关于 $n$ 的增函数；若 $x=1$，那么对于任意 $n\geq 1$，$x^{\frac1n}=1$。
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5. 若 $x>1$，那么 $x^{\frac1n}$ 是关于 $n$ 的减函数；若 $x<1$，那么 $x^{\frac1n}$ 是关于 $n$ 的增函数；若 $x=1$，那么对于任意 $n\geqslant 1$，$x^{\frac1n}=1$。
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证明：只证第一条，即证 $x^{\frac1n}>x^{\frac1{n+1}}$。可以证明 $x^{\frac1{n+1}}>1$，那么可以对幂次归纳证明 $(x^{\frac1{n+1}})^n<(x^{\frac{1}{n+1}})^{n+1}=x$，于是 $x^{\frac{1}{n+1}}<x^{\frac1n}$。
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7. $(x^{\frac1n})^{\frac1m}=x^{\frac1{nm}}$。证明：它们的 $nm$ 次方相等。推论：$(x^{\frac{1}{nm}})^m=x^{\frac{1}{n}}$。
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可以证明，$x^{\frac11}$ 和 $x^1$ 是相容的。接下来我们定义实数的比例数次幂。
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可以证明，$x^{\frac11}$ 和 $x^1$ 是相容的。接下来我们定义实数的有理数次幂。
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- **定义 5.6.7（比例数次幂的指数运算）**：设实数 $x>0$ 和比例数 $q=\frac{a}{b}$，其中 $a$ 是整数且 $b$ 是正整数，定义 $x^q:=(x^{\frac1b})^a$。
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- **定义 5.6.7（有理数次幂的指数运算）**：设实数 $x>0$ 和有理数 $q=\frac{a}{b}$，其中 $a$ 是整数且 $b$ 是正整数，定义 $x^q:=(x^{\frac1b})^a$。
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- **命题 5.6.8（实数关于比例数次求幂遵从代入公理）**：设 $x>0$ 是实数，$a,a'$ 是整数，$b,b'$ 是正整数，且满足 $\frac{a}{b}=\frac{a'}{b'}$，那么 $(x^{\frac1b})^a=(x^{\frac1{b'}})^{a'}$。
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- **命题 5.6.8（实数关于有理数次求幂遵从代入公理）**：设 $x>0$ 是实数，$a,a'$ 是整数，$b,b'$ 是正整数，且满足 $\frac{a}{b}=\frac{a'}{b'}$，那么 $(x^{\frac1b})^a=(x^{\frac1{b'}})^{a'}$。
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**证明**：$ab'=a'b$。当 $a>0$ 时，$a'>0$，有 $x^{\frac1{ab'}}=x^{\frac{1}{a'b}}$，将等式两边同时取 $aa'$ 次幂，即证。当 $a=0$ 和 $a<0$ 时类似。
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容易发现，比例数次幂和整数次幂及定义 5.6.4 是相容的。我们给出比例数次幂的一些基本性质：
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容易发现，有理数次幂和整数次幂及定义 5.6.4 是相容的。我们给出有理数次幂的一些基本性质：
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- **引理 5.6.9**：设实数 $x,y>0$ 和比例数 $q,r$。
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- **引理 5.6.9**：设实数 $x,y>0$ 和有理数 $q,r$。
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1. $x^q>0$。证明：结合引理 5.6.6.3 和命题 5.6.3。
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2. $x^{q+r}=x^qx^r$ 且 $(x^q)^r=x^{qr}$。证明：将 $q,r$ 表示成分数的形式，然后等式两侧同时取幂，利用引理 5.6.6 消掉 $x$ 的幂次中的分母，然后变成整数次幂的形式。
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3. $x^{-q}=\frac{1}{x^q}$。证明：方法同上。
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3. $x^{-q}=\frac{1}{x^q}$。证明：方法同上。
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4. 若 $q>0$，$x>y\iff x^q>y^q$。证明：结合引理 5.6.6.4 和命题 5.6.3。
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5. 若 $x>1$，那么 $x^q<x^r\iff q<r$。若 $x<1$，那么 $x^q<x^r\iff q>r$。证明：将 $q,r$ 通分使得分母相同然后再证明（注意我们还未定义互质和通分等，但这里的通分指的是，设 $q=\frac{a}{b},r=\frac{c}{d}$，那么 $q=\frac{ad}{bd},r=\frac{bc}{bd}$）。
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5. 若 $x>1$，那么 $x^q<x^r\iff q<r$。若 $x<1$，那么 $x^q<x^r\iff q>r$。证明：将 $q,r$ 通分使得分母相同然后再证明（注意我们还未定义互质和通分等，但这里的通分指的是，设 $q=\frac{a}{b},r=\frac{c}{d}$，那么 $q=\frac{ad}{bd},r=\frac{bc}{bd}$）。
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而对于实数的实数次幂，我们将推迟到正式定义了极限的概念之后。
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而对于实数的实数次幂，我们将推迟到正式定义了极限的概念之后。
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