更新第4章

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-### 第 4 章 整数和比例数
+在之前对自然数的讨论中，我们已经得到了自然数系中的许多基本运算性质，但是这些性质只局限于加法和乘法运算。本章我们将引入这两个运算的逆运算，即减法和除法，并借此构建整数系 $\mathbb Z$ 和有理数系 $\mathbb Q$。
 
-#### 4.1 整数
+## 4.1 整数
 
-- **定义 4.1.1（整数）**：对于任意自然数 $a$ 和 $b$，都存在一个整数 $a\overline\quad b$（注意中间不是减号，这只是一个形象的记号）。
+- **定义 4.1.1.1（整数）**：对于任意自然数 $a$ 和 $b$，都存在一个整数 $a\ominus b$（注意中间不是减号，这只是一个形式记号）。
 
-  定义两个整数 $a\overline\quad b$ 和 $c\overline\quad d$ 相等，当且仅当 $a+d=b+c$。
+  定义两个整数 $a\ominus b$ 和 $c\ominus d$ 相等，当且仅当 $a+d=b+c$。
   
   全体整数的集合记作 $\mathbb Z$。
 
-事实上，整数的定义并不需要公理，我们可以用集合论的语言来构造整数：我们先对自然数的序偶建立一个等价关系 $\sim$，使得 $(a,b)\sim(c,d)\iff a+d=b+c$，然后令整数 $a \overline\quad  b:=\{(c,d)\in\mathbb N\times \mathbb N:(a,b)\sim(c,d)\}$，表示一个关于 $\sim$ 的等价类。那么此时两个整数相等即为二者是同一个等价类。然后我们再利用替换公理构造出集合 $\mathbb Z:=\{a\overline\quad b:(a,b)\in \mathbb N\times \mathbb N\}$。但这种解释之后对于我们如何处理整数毫无用处，所以我们将不再提及此事。
+整数的定义并不需要公理，因为我们可以用集合论的语言来构造整数：我们先对自然数的序偶建立一个等价关系 $\sim$，使得 $(a,b)\sim(c,d)\iff a+d=b+c$，然后令整数 $a \ominus  b:=\{(c,d)\in\mathbb N\times \mathbb N:(a,b)\sim(c,d)\}$，表示一个关于 $\sim$ 的等价类。那么此时两个整数相等即为二者是同一个等价类。然后我们再利用替换公理构造出集合 $\mathbb Z:=\{a\ominus b:(a,b)\in \mathbb N\times \mathbb N\}$。形象的说，所谓整数，就是可以写成两个自然数的形式差的数。
 
-可以证明，整数相等满足自反性、对称性和传递性。
+- **命题 4.1.1.1（整数的相等关系是等价关系）**：整数相等满足自反性、对称性和传递性。
 
-- **定义 4.1.2（整数的加法和乘法）**：定义两个整数的和为 $(a\overline\quad b)+(c\overline\quad d):=(a+c)\overline\quad (b+d)$。
+- **定义 4.1.2.1（整数的加法）**：定义两个整数的和为 $(a\ominus b)+(c\ominus d):=(a+c)\ominus (b+d)$。
 
-  定义两个整数的积为 $(a\overline\quad b)\times (c\overline\quad d):=(ac+bd)\overline\quad(ad+bc)$。
+- **定义 4.1.2.2（整数的乘法）** ：定义两个整数的积为 $(a\ominus b)\times (c\ominus d):=(ac+bd)\ominus(ad+bc)$。
 
 可以证明，整数关于加法和乘法遵从代入公理。
 
-容易发现，整数 $n\overline\quad0$ 的代数系统与自然数 $n$ 的代数系统之间是同构的，于是可以把 $n$ 和 $n\overline\quad 0$ 等同起来：$n\equiv n\overline\quad 0$（即把 $n$ 和 $n\overline\quad0$ 看成同一物）。此恒等关系保证了自然数的运算和整数的运算是相容的，于是，我们把自然数嵌入到了整数系当中。
+容易发现，整数 $n\ominus0$ 的代数系统与自然数 $n$ 的代数系统之间是同构的，于是可以把 $n$ 和 $n\ominus 0$ 等同起来：$n\equiv n\ominus 0$（即把 $n$ 和 $n\ominus0$ 看成同一物）。此恒等关系保证了自然数的运算和整数的运算是相容的，于是，我们把自然数嵌入到了整数系当中。
 
-- **定义 4.1.3（整数的负运算）**：定义整数 $a\overline\quad b$ 的负数为整数 $b\overline\quad a$，记作 $-(a\overline\quad b)$。那么自然数 $n$ 的负数为 $-n:=0\overline\quad n$。
+- **定义 4.1.3（整数的负运算）**：定义整数 $a\ominus b$ 的负数为整数 $b\ominus a$，记作 $-(a\ominus b)$。那么自然数 $n$ 的负数为 $-n:=0\ominus n$。
 
   容易证明，整数关于负运算遵从代入公理。
 
 - **引理 4.1.4（整数的三歧性）**：设 $x$ 是一个整数，那么下述三个命题恰有一个成立：
 
-  - $x$ 等于 $0\overline\quad 0$，即自然数 $0$。
-  - $x$ 等于 $n\overline\quad0$（其中 $n$ 是一个正自然数），即正自然数 $n$。
-  - $x$ 等于 $0\overline\quad n$（其中 $n$ 是一个正自然数），即正自然数的负数 $-n$。
+  - $x$ 等于 $0\ominus 0$，即自然数 $0$；
+  - $x$ 等于 $n\ominus 0$（其中 $n$ 是一个正自然数），即正自然数 $n$；
+  - $x$ 等于 $0\ominus n$（其中 $n$ 是一个正自然数），即正自然数的负数 $-n$。
 
-  证明：先证上述三个命题中至少有一个成立：根据定义，存在两个自然数 $a,b$ 使得 $x=a\overline\quad b$。若 $a=b$，那么 $a\overline\quad b=0\overline\quad 0$；若 $a>b$，那么存在正自然数 $n$ 使得 $a=b+n$，那么 $a\overline\quad b=n\overline\quad 0$；若 $a<b$，那么存在正自然数 $n$ 使得 $b=a+n$，那么 $a\overline\quad b=0\overline\quad n$。
+  **证明**：先证上述三个命题中至少有一个成立：根据定义，存在两个自然数 $a,b$ 使得 $x=a\ominus b$。若 $a=b$，那么 $a\ominus b=0\ominus 0$；若 $a>b$，那么存在正自然数 $n$ 使得 $a=b+n$，那么 $a\ominus b=n\ominus 0$；若 $a<b$，那么存在正自然数 $n$ 使得 $b=a+n$，那么 $a\ominus b=0\ominus n$。
 
-  再证上述三个命题中不可能有两个同时成立：利用等于的传递性，即证 $0 \overline\quad 0$、$n\overline\quad 0$ 和 $0\overline\quad m$（其中 $n,m$ 为任意正自然数）两两不等，反证易证。
+  再证上述三个命题中不可能有两个同时成立：利用等于的传递性，即证 $0 \ominus 0$、$n\ominus 0$ 和 $0\ominus m$（其中 $n,m$ 为任意正自然数）两两不等，反证易证。
 
 对于正自然数 $n$，我们称 $-n$ 为负整数。于是每个整数恰好是零、正的、负的中的一种。
 
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 我们现在总结一下整数的代数性质。
 
-- **命题 4.1.6（整数的代数算律）**：设 $x,y,z$ 是整数，那么
-  $$
-  \begin{aligned}
-  x+y&=y+x\\
-  (x+y)+z&=x+(y+z)\\
-  x+0&=x\\
-  x+(-x)&=0\\
-  xy&=yx\\
-  (xy)z&=x(yz)\\
-  x1&=x\\
-  x(y+z)&=xy+xz
-  \end{aligned}
-  $$
-  
-  **证明**：把整数都表示成 $a\overline\quad b$ 的形式，注意 $a$ 和 $b$ 此时是自然数，那么再运用自然数的性质即可。
+- **命题 4.1.6（整数构成交换环）**：设 $x,y,z$ 是整数，那么
 
-上述恒等式的集合有一个名称，它们确定整数集 $\mathbb Z$ 构成一个交换环（如果去掉恒等式 $xy=yx$（当然需要补上 $1x=x$ 及右分配律），那么它们仅确定 $\mathbb Z$ 构成一个环）。
+  1. **加法交换律**：$x+y=y+x$；
+  2. **加法结合律**：$(x+y)+z=x+(y+z)$；
+  3. **加法单位元**：$x+0=x$；
+  4. **加法逆元**：$x+(-x)=0$；
+  5. **乘法交换律**：$xy=yx$；
+  6. **乘法结合律**：$(xy)z=x(yz)$；
+  7. **乘法单位元**：$x1=x$；
+  8. **分配律**：$x(y+z)=xy+xz$。
+
+  **证明**：把整数都表示成 $a\ominus b$ 的形式，注意 $a$ 和 $b$ 此时是自然数，那么再运用自然数的性质即可。
+
+满足上述恒等式的集合有一个名称，它们确定整数集 $\mathbb Z$ 构成一个**交换环**（如果去掉恒等式 $xy=yx$ 并补上 $1x=x$ 及右分配律，那么仅能够确定 $\mathbb Z$ 构成一个环。如果你对相关知识感兴趣，可以参考一本抽象代数书籍）。
 
 至此，我们成功定义了整数并得到了一些关于整数的基本性质。
 
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 - **定义 4.1.7（减法）**：定义两个整数 $x$ 和 $y$ 的减法操作：$x-y:=x+(-y)$。 
 
-那么可以容易地验证，若 $x$ 和 $y$ 是自然数，那么 $x-y=x\overline\quad y$，于是我们现在用减法符号代替 $\overline\quad$ 了。
+那么可以容易地验证，若 $x$ 和 $y$ 是自然数，那么 $x-y=x\ominus y$，于是我们现在用减法符号代替 $\ominus$ 了。
 
 既然减法是通过加法和负运算定义的，那么整数关于减法自然就遵从代入公理，它的一个直接推论是对于整数 $a,b,c$，$a=b\iff a-c=b-c$。
 
 除了命题 4.1.5 所述的之外，我们现在再将一些自然数的定义和性质推广到整数上：
 
-- **命题 4.1.8**：设 $a$ 和 $b$ 是整数，那么 $ab=0\iff (a=0\lor b=0)$。
+- **命题 4.1.8（乘法的非退化性）**：设 $a$ 和 $b$ 是整数，那么 $ab=0\iff (a=0\lor b=0)$。
 
   **证明**：只证 $ab=0\implies (a=0\lor b=0)$。首先有引理 $-n=(-1)\times n$。然后反证，分 $a,b$ 的正负性讨论，然后用回当 $a$ 和 $b$ 是正自然数时 $ab\neq 0$。
 
-- **推论 4.1.9**：设 $a,b,c$ 是整数，若满足 $ac=bc$ 且 $c\neq 0$，则 $a=b$。
+- **推论 4.1.9（乘法消去律）**：设 $a,b,c$ 是整数，若满足 $ac=bc$ 且 $c\neq 0$，则 $a=b$。
 
   **证明**：设 $a=b+d$，得到 $d=0$。
 
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 - **定义 4.1.10（整数的序）**：设 $x$ 和 $y$ 是整数。称 $x>y$ 当且仅当 $x-y$ 是正整数。称 $x<y$ 当且仅当 $x-y$ 是负整数。称 $x\geq y$ 当且仅当 $x>y$ 或 $x=y$。称 $x\leq y$ 当且仅当 $x<y$ 或 $x= y$。
 
-- **命题 4.1.11（比例数的序的基本性质）**：设 $x,y,z$ 为整数。
+- **命题 4.1.11（有理数的序的基本性质）**：设 $x,y,z$ 为整数，那么
 
-  - **反对称性**：$x<y\iff y>x$。
-  - **传递性**：$(x<y\land y<z)\implies x<z$。
-  - **三歧性**：$x<y,x=y,x>y$ 中恰有一个是真的。
-  - **加法保序**：$x<y\implies x+z<y+z$。
-  - **正乘法保序**：$(x<y\land z>0)\implies xz<yz$。
+  - **反对称性**：$x<y\iff y>x$；
+  - **传递性**：$(x<y\land y<z)\implies x<z$；
+  - **三歧性**：$x<y,x=y,x>y$ 中恰有一个是真的；
+  - **加法保序**：$x<y\implies x+z<y+z$；
+  - **正乘法保序**：$(x<y\land z>0)\implies xz<yz$；
   - **负乘法反序**：$(x<y\land z<0)\implies xz>yz$。
 
-  证明：略。
+## 4.2 有理数
 
-为了方便，在本书之后，我们用 $\mathbb Z_l^r$ 表示 $\{i\in \mathbb Z:l\leq i\leq r\}$，用 $\mathbb Z_l^{{}\infty}$ 表示 $\{i\in \mathbb Z:l\leq i\}$，用 $\mathbb Z_{-\infty}^r$ 表示 $\{i\in \mathbb Z:i\leq r\}$。
+有理数的定义方式和整数的定义方式十分相似（形象的说，有理数是整数的形式商），所以一些类似的证明我们将会直接略去。
 
-#### 4.2 比例数
+- **定义 4.2.1（有理数）**：对于任意整数 $a$ 和 $b\neq 0$，都存在一个有理数 $a\oslash  b$。
 
-比例数的定义方式和整数的定义方式十分相似，所以一些类似的证明我们将会直接略去。
+  定义两个有理数 $a\oslash b$ 和 $c\oslash d$ 是相等的，当且仅当 $ad=bc$。可以证明该定义满足自反性、对称性和传递性。
 
-- **定义 4.2.1（比例数）**：对于任意整数 $a$ 和 $b\neq 0$，都存在一个比例数 $a// b$。
+  全体有理数的集合记作 $\mathbb Q$。
 
-  定义两个比例数 $a//b$ 和 $c//d$ 是相等的，当且仅当 $ad=bc$。可以证明该定义满足自反性、对称性和传递性。
+- **定义 4.2.2（有理数的运算）**：定义两个有理数的和为 $(a\oslash b)+(c\oslash d):=(ad+bc)\oslash (bd)$。
 
-  全体比例数的集合记作 $\mathbb Q$。
+  定义两个有理数的积为 $(a\oslash b)\times (c\oslash d):=(ac)\oslash (bd)$。
 
-- **定义 4.2.2（比例数的运算）**：定义两个比例数的和为 $(a//b)+(c//d):=(ad+bc)//(bd)$。
-
-  定义两个比例数的积为 $(a//b)\times (c//d):=(ac)//(bd)$。
-
-  定义一个比例数的负运算为 $-(a//b):=(-a)//b$。
+  定义一个有理数的负运算为 $-(a\oslash b):=(-a)\oslash b$。
   
   可以证明，上述运算定义合法，且有理数关于上述运算遵从代入公理。
 
-容易发现，比例数 $a//1$ 的代数系统与整数 $a$ 的代数系统之间是同构的，于是可以把 $a$ 和 $a//1$ 等同起来：$a\equiv a//1$。此恒等关系保证了整数的运算和比例数的运算是相容的，于是，我们把整数嵌入到了比例数系当中。
+容易发现，有理数 $a\oslash 1$ 的代数系统与整数 $a$ 的代数系统之间是同构的，于是可以把 $a$ 和 $a\oslash 1$ 等同起来：$a\equiv a\oslash 1$。此恒等关系保证了整数的运算和有理数的运算是相容的，于是，我们把整数嵌入到了有理数系当中。
 
-- **引理 4.2.3**：一个比例数 $a//b$ 等于 $0$ 当且仅当 $a=0$。
+- **引理 4.2.3（除法的非退化性）**：一个有理数 $a\oslash b$ 等于 $0$ 当且仅当 $a=0$。
 
   **证明**：根据定义可得。
 
-- **定义 4.2.4（比例数的倒数运算）**：定义非零比例数 $x=a//b$ 的倒数为比例数 $b//a$，记作 $x^{-1}$。
+- **定义 4.2.4（有理数的倒数运算）**：定义非零有理数 $x=a\oslash b$ 的倒数为有理数 $b\oslash a$，记作 $x^{-1}$。
 
-  容易证明，比例数关于倒数运算遵从代入公理。
+  容易证明，有理数关于倒数运算遵从代入公理。
 
-我们现在总结一下比例数的代数性质。
+我们现在总结一下有理数的代数性质。
 
-- **命题 4.2.5（比例数的代数算律）**：设 $x,y,z$ 是有理数，那么
-  $$
-  \begin{aligned}
-  x+y&=y+x\\
-  (x+y)+z&=x+(y+z)\\
-  x+0&=x\\
-  x+(-x)&=0\\
-  xy&=yx\\
-  (xy)z&=x(yz)\\
-  x1&=x\\
-  x(y+z)&=xy+xz
-  \end{aligned}
-  $$
+- **命题 4.2.5（有理数的代数算律）**：设 $x,y,z$ 是有理数，那么
+
+  1. **加法交换律**：$x+y=y+x$；
+  2. **加法结合律**：$(x+y)+z=x+(y+z)$；
+  3. **加法单位元**：$x+0=x$；
+  4. **加法逆元**：$x+(-x)=0$；
+  5. **乘法交换律**：$xy=yx$；
+  6. **乘法结合律**：$(xy)z=x(yz)$；
+  7. **乘法单位元**：$x1=x$；
+  8. **分配律**：$x(y+z)=xy+xz$；
+  9. **乘法逆元**：如果 $x$ 非零，我们有  $xx^{-1}=1$。
   
-  如果 $x$ 非零，我们还有
-  
-  $$
-  x x^{-1}=1
-  $$
-  
-  **证明**：把比例数都表示成 $a//b$ 的形式，再运用整数的性质代入验证即可。
+  **证明**：把有理数都表示成 $a\oslash b$ 的形式，再运用整数的性质代入验证即可。
 
-上述恒等式的集合有一个名称，它们确定比例数集 $\mathbb Q$ 构成一个域。
+上述恒等式的集合有一个名称，它们确定有理数集 $\mathbb Q$ 构成一个**域**（同样为抽象代数名词）。
 
 现在让我们来定义除法：
 
-- **定义 4.2.6（除法）**：定义两个比例数 $x$ 和 $y\neq 0$ 的减法操作：$x/y:=x\times y^{-1}$。 $x/y$ 也记作 $\frac{x}{y}$。
+- **定义 4.2.6（除法）**：定义两个有理数 $x$ 和 $y\neq 0$ 的减法操作：$x/y:=x\times y^{-1}$。 $x/y$ 也记作 $\frac{x}{y}$。
 
-那么可以容易地验证，若 $x$ 和 $y$ 是整数，那么 $x/y=x//y$，于是我们现在用 $x/y$ 代替 $x//y$ 了。
+那么可以容易地验证，若 $x$ 和 $y$ 是整数，那么 $x/y=x\oslash y$，于是我们现在用 $x/y$ 代替 $x\oslash y$ 了。
 
-比例数关于除法遵从代入公理，它的一个直接推论是对于比例数 $a,b,c$，其中 $c$ 非零，$a=b\iff a/c=b/c$。
+有理数关于除法遵从代入公理，它的一个直接推论是对于有理数 $a,b,c$，其中 $c$ 非零，$a=b\iff a/c=b/c$。
 
-- **定义 4.2.7**：一个比例数 $x$ 叫作是正的，当且仅当存在两个正整数 $a$ 和 $b$ 满足 $x=\frac{a}{b}$。一个比例数 $x$ 叫作是负的，当且仅当存在两个正整数 $a$ 和 $b$ 满足 $x=\frac{-a}{b}$。
+- **定义 4.2.7（正有理数和负有理数）**：一个有理数 $x$ 叫作是正的，当且仅当存在两个正整数 $a$ 和 $b$ 满足 $x=\frac{a}{b}$。一个有理数 $x$ 叫作是负的，当且仅当存在两个正整数 $a$ 和 $b$ 满足 $x=\frac{-a}{b}$。
 
-- **引理 4.2.8（比例数的三歧性）**：设 $x$ 是比例数，那么三个命题 “$x$ 等于 $0$”、“$x$ 是正的比例数” 和 “$x$ 是负的比例数” 中恰有一个成立。
+- **引理 4.2.8（有理数的三歧性）**：设 $x$ 是有理数，那么三个命题 “$x$ 等于 $0$”、“$x$ 是正的有理数” 和 “$x$ 是负的有理数” 中恰有一个成立。
 
   **证明**：设 $x=a/b$，其中 $b$ 是非零整数。若 $b$ 是负整数，那么 $x=(-a)/(-b)$，于是我们不妨规定 $b$ 是正的。此时根据 $a$ 讨论即可知三个命题中至少有一个成立。
 
   对于正整数 $a,b,c,d$，若 $a/b=(-c)/d$，那么可推得正整数等于负整数，矛盾。同理可推得三个命题中至多一个成立。
 
-- **引理 4.2.9**：设 $x,y$ 为比例数，那么 $xy$ 为正的当且仅当 $x,y$ 同为正的或 $x,y$ 同为负的，$xy$ 为负的，当且即当 $x,y$ 一正一负。**证明**：略。
+- **引理 4.2.9（积的符号）**：设 $x,y$ 为有理数，那么 $xy$ 为正的当且仅当 $x,y$ 同为正的或 $x,y$ 同为负的，$xy$ 为负的，当且仅当 $x,y$ 一正一负。
 
-- **定义 4.2.10（比例数的序）**：设 $x$ 和 $y$ 是比例数。称 $x>y$ 当且仅当 $x-y$ 是正比例数。称 $x<y$ 当且仅当 $x-y$ 是负比例数。称 $x\geq y$ 当且仅当 $x>y$ 或 $x=y$。称 $x\leq y$ 当且仅当 $x<y$ 或 $x=y$。
+- **定义 4.2.10（有理数的序）**：设 $x$ 和 $y$ 是有理数。称 $x>y$ 当且仅当 $x-y$ 是正有理数。称 $x<y$ 当且仅当 $x-y$ 是负有理数。称 $x\geq y$ 当且仅当 $x>y$ 或 $x=y$。称 $x\leq y$ 当且仅当 $x<y$ 或 $x=y$。
 
-- **命题 4.2.11（比例数的序的基本性质）**：设 $x,y,z$ 为比例数。
+- **命题 4.2.11（有理数的序的基本性质）**：设 $x,y,z$ 为有理数，那么
 
-  - **反对称性**：$x<y\iff y>x$。
-  - **传递性**：$(x<y\land y<z)\implies x<z$。
-  - **三歧性**：$x<y,x=y,x>y$ 中恰有一个是真的。
-  - **加法保序**：$x<y\implies x+z<y+z$。
-  - **正乘法保序**：$(x<y\land z>0)\implies xz<yz$。
+  - **反对称性**：$x<y\iff y>x$；
+  - **传递性**：$(x<y\land y<z)\implies x<z$；
+  - **三歧性**：$x<y,x=y,x>y$ 中恰有一个是真的；
+  - **加法保序**：$x<y\implies x+z<y+z$；
+  - **正乘法保序**：$(x<y\land z>0)\implies xz<yz$；
   - **负乘法反序**：$(x<y\land z<0)\implies xz>yz$。
 
-  **证明**：略。
 
-#### 4.3 绝对值和接近性
+## 4.3 绝对值与接近性
 
-- **定义 4.3.1（绝对值）**：根据比例数的三歧性，定义比例数 $x$ 的绝对值 $|x|$ 为：若 $x$ 是正的，那么 $|x|:=x$；若 $x$ 是负的，那么 $|x|:=-x$；若 $x$ 是 $0$，那么 $|x|:=0$。
+- **定义 4.3.1（绝对值）**：根据有理数的三歧性，定义有理数 $x$ 的绝对值 $|x|$ 为：若 $x$ 是正的，那么 $|x|:=x$；若 $x$ 是负的，那么 $|x|:=-x$；若 $x$ 是 $0$，那么 $|x|:=0$。
 
-- **定义 4.3.2（距离）**：定义两个比例数 $x$ 和 $y$ 的距离为 $|x-y|$，记作 $d(x,y)$。
+- **定义 4.3.2（距离）**：定义两个有理数 $x$ 和 $y$ 的距离为 $|x-y|$，记作 $d(x,y)$。
 
-- **命题 4.3.3（绝对值及距离的基本性质）**：设 $x,y,z$ 为比例数。
+- **命题 4.3.3（绝对值及距离的基本性质）**：设 $x,y,z$ 为有理数。
 
-  - $|x|\geq 0$，当且仅当 $x=0$ 时取等。特别地，$d(x,y)\geq 0$，当且仅当 $x=y$ 时取等。
-  - $|x|\leq y\iff -y\leq x\leq y$。
-  - $|xy|=|x||y|$。特别地，$|-x|=|x|$，$d(x,y)=d(y,x)$。
-  - $|x+y|\leq |x|+|y|$，当且仅当 $xy\geq 0$ 时取等。特别地，$d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$，当且仅当 $x\leq z\leq y$ 或 $y\leq z\leq x$ 时取等。
+  1. **绝对值的非退化性**： $|x|\geq 0$，当且仅当 $x=0$ 时取等。特别地，$d(x,y)\geq 0$，当且仅当 $x=y$ 时取等；
+  2. **距离的对称性**：$d(x,y)=d(y,x)$；
+  3. **绝对值的限定范围**： $|x|\leq y\iff -y\leq x\leq y$；
+  4. **绝对值的可乘性**： $|xy|=|x||y|$。特别地，$|-x|=|x|$，$d(x,y)=d(y,x)$；
+  5. **三角不等式**： $|x+y|\leq |x|+|y|$，当且仅当 $xy\geq 0$ 时等号成立。特别地，$d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$，当且仅当 $x\leq z\leq y$ 或 $y\leq z\leq x$ 时等号成立。
 
-  **证明**：分类讨论。
+  **证明**：分类讨论即可。
 
-- **定义 4.3.4（$\varepsilon\overline\ $ 接近性）** ：设 $x,y,\varepsilon$ 为比例数且 $\varepsilon>0$，我们称，$y$ 是 $\varepsilon\overline\ $ 接近于 $x$ 的（为了方便，本节中暂且记作 $x\overset{\varepsilon}{\approx} y$），当且仅当 $d(x,y)\leq \varepsilon$。
+- **定义 4.3.4（$\varepsilon$ 接近性）** ：设 $x,y,\varepsilon$ 为有理数且 $\varepsilon>0$，我们称，$y$ 是 $\varepsilon$ 接近于 $x$ 的（记作 $x\overset{\varepsilon}{\approx} y$），当且仅当 $d(x,y)\leq \varepsilon$。
 
-$\varepsilon\overline\ $ 接近性的定义是在给极限的定义做铺垫。我们将给出关于 $\varepsilon\overline\ $ 接近性的一些基本性质。
+$\varepsilon$ 接近性的定义是在给极限的定义做铺垫。我们将给出关于 $\varepsilon$ 接近性的一些基本性质。
 
-- **命题 4.3.5**：设 $x,y,z,w,\varepsilon,\delta$ 为比例数，且 $\varepsilon,\delta>0$。
-
-  1. $x=y\iff \forall_{\varepsilon>0},x\overset{\varepsilon}{\approx}y$。证明：正推显然，逆推反证。
-
-  2. $x\overset{\varepsilon}{\approx}y\iff y\overset{\varepsilon}{\approx} x$。证明：根据定义可知。
+- **命题 4.3.5（$\varepsilon$ 接近性的性质）**：设 $x,y,z,w,\varepsilon,\delta$ 为有理数，且 $\varepsilon,\delta>0$。
 
+  1. $x=y\iff \forall_{\varepsilon>0},x\overset{\varepsilon}{\approx}y$。
+  2. $x\overset{\varepsilon}{\approx}y\iff y\overset{\varepsilon}{\approx} x$。
   3. $(x\overset{\varepsilon}{\approx}y\land y\overset{\delta}{\approx}z)\implies x\overset{\varepsilon+\delta}{\approx}z$。证明：$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)\leq \varepsilon+\delta$。
+  4. $x\overset{\varepsilon}{\approx} y\implies x+z\overset{\varepsilon}{\approx} y+z$。
+  5. $(x\overset{\varepsilon}{\approx}y\land z\overset{\delta}{\approx}w)\implies x+z\overset{\varepsilon+\delta}{\approx}y+w$。
+  
+      **证明**：$|(y+w)-(x+z)|=|(y-x)+(w-z)|\leq |y-x|+|w-z|\leq \varepsilon+\delta$。
 
-  4. $x\overset{\varepsilon}{\approx} y\implies x+z\overset{\varepsilon}{\approx} y+z$。证明：根据定义可知。
+  6. 设 $\varepsilon'$ 是有理数且 $\varepsilon'>\varepsilon$，则 $x \overset{\varepsilon}{\approx}y\implies x\overset{\varepsilon'}{\approx}y$。
+  7. 若 $x \overset{\varepsilon}{\approx} y$，且 $x\leq z\leq y\lor y\leq z\leq x$，则 $x\overset{\varepsilon}{\approx} z$。
 
-  5. $(x\overset{\varepsilon}{\approx}y\land z\overset{\delta}{\approx}w)\implies x+z\overset{\varepsilon+\delta}{\approx}y+w$。证明：$|(y+w)-(x+z)|=|(y-x)+(w-z)|\leq |y-x|+|w-z|\leq \varepsilon+\delta$。
+      **证明**：$d(x,z)+d(z,y)=d(x,y)\implies d(x,z)\leq d(x,y)\leq \varepsilon$。
 
-  6. 设 $\varepsilon'$ 是比例数且 $\varepsilon'>\varepsilon$，则 $x \overset{\varepsilon}{\approx}y\implies x\overset{\varepsilon'}{\approx}y$。证明：根据定义可知。
+  8. $(x\overset{\varepsilon}{\approx} y\land z\neq 0)\implies xz\overset{\varepsilon|z|}{\approx}yz$。
 
-  7. 若 $x \overset{\varepsilon}{\approx} y$，且 $x\leq z\leq y\lor y\leq z\leq x$，则 $x\overset{\varepsilon}{\approx} z$。证明：$d(x,z)+d(z,y)=d(x,y)\implies d(x,z)\leq d(x,y)\leq \varepsilon$。
-
-  8. $(x\overset{\varepsilon}{\approx} y\land z\neq 0)\implies xz\overset{\varepsilon|z|}{\approx}yz$。证明：$|xz-yz|=|(x-y)z|=|x-y||z|\leq\varepsilon|z|$。
+      **证明**：$|xz-yz|=|(x-y)z|=|x-y||z|\leq\varepsilon|z|$。
 
   9. $(x\overset{\varepsilon}{\approx} y\land z\overset{\delta}{\approx}w)\implies xz\overset{\varepsilon|z|+\delta|x|+\varepsilon\delta}{\approx}yw$。
 
-     证明：设 $y=x+a$，$w=z+b$，则 $|a|\leq \varepsilon$ 且 $|b|\leq \delta$。
+       **证明**：设 $y=x+a$，$w=z+b$，则 $|a|\leq \varepsilon$ 且 $|b|\leq \delta$。
 
-     那么 $|xz-yw|=|xz-(x+a)(z+b)|=|az+bx+ab|\leq |az|+|bx|+|ab|\leq \varepsilon|z|+\delta|x|+\varepsilon\delta$。
+       那么 $|xz-yw|=|xz-(x+a)(z+b)|=|az+bx+ab|\leq |az|+|bx|+|ab|\leq \varepsilon|z|+\delta|x|+\varepsilon\delta$。
 
-可以发现，命题 4.3.5 的前三条和自反性、对称性、传递性这些相等的公理很像，说明 $\varepsilon\overline\ $ 接近的概念和相等的概念是相似的，这也是我采用符号 $\overset{\varepsilon}{\approx}$ 的原因。
+可以发现，命题 4.3.5 的前三条和自反性、对称性、传递性这些相等的公理很像，说明 $\varepsilon$ 接近的概念和相等的概念是相似的，这也是我采用符号 $\overset{\varepsilon}{\approx}$ 的原因。
 
-#### 4.4 比例数的整数幂
+## 4.4 有理数的整数幂
 
 现在我们来定义整数次幂的指数运算。
 
-- **定义 4.4.1（自然数次幂的指数运算）**：设 $x$ 是比例数，首先定义 $x^0:=1$。现归纳地假定已定义好 $x^n$，那么定义 $x^{n+1}:=x^n\times x$。
+- **定义 4.4.1（自然数次幂的指数运算）**：设 $x$ 是有理数，首先定义 $x^0:=1$。现归纳地假定已定义好 $x^n$，那么定义 $x^{n+1}:=x^n\times x$。
 
-- **命题 4.4.2**：设 $x,y$ 是比例数，$n,m$ 是自然数。
+- **命题 4.4.2（自然数指数运算律）**：设 $x,y$ 是有理数，$n,m$ 是自然数。
 
-    1. $x^nx^m=x^{n+m}$，$(x^n)^m=x^{nm}$，$(xy)^n=x^ny^n$。
-    2. 若 $n>0$，$x^n=0\iff x=0$。
-    3. $(x>y\geq 0\land n>0)\implies x^n>y^n\geq 0$。
-    4. $|x^n|=|x|^n$。
+  1. $x^nx^m=x^{n+m}$，$(x^n)^m=x^{nm}$，$(xy)^n=x^ny^n$。
+  2. 若 $n>0$，$x^n=0\iff x=0$。
+  3. $(x>y\geq 0\land n>0)\implies x^n>y^n\geq 0$。
+  4. $|x^n|=|x|^n$。
 
-    **证明**：归纳。
+  **证明**：归纳。
 
-- **定义 4.4.3（负数次幂的指数运算）**：设 $x$ 是一个非零的比例数，那么对于任何负整数 $-n$，定义 $x^{-n}:=\frac{1}{x^n}$。
+- **定义 4.4.3（负数次幂的指数运算）**：设 $x$ 是一个非零的有理数，那么对于任何负整数 $-n$，定义 $x^{-n}:=\frac{1}{x^n}$。
 
-- **引理 4.4.4**：设 $x$ 是一个非零的比例数，$n$ 是整数，那么 $x^{n+1}=x^{n}\times x$。
+- **引理 4.4.4（指数拆分）**：设 $x$ 是一个非零的有理数，$n$ 是整数，那么 $x^{n+1}=x^{n}\times x$。
 
-    **证明**：若 $n$ 是自然数，则根据定义 4.3.6 可知命题成立。若 $n$ 是负整数，设 $n=-m$（则 $m$ 为正数），那么 $x^n\times x=\frac{1}{x^m}\times x=\frac{1}{x^m/x}$，根据定义 4.3.6 可知 $x^m/x=x^{m-1}$，故 $x^n\times x=\frac{1}{x^{m-1}}$，再分 $m-1$ 是零还是负数讨论即可。
+  **证明**：若 $n$ 是自然数，则根据定义 4.3.6 可知命题成立。若 $n$ 是负整数，设 $n=-m$（则 $m$ 为正数），那么 $x^n\times x=\frac{1}{x^m}\times x=\frac{1}{x^m/x}$，根据定义 4.3.6 可知 $x^m/x=x^{m-1}$，故 $x^n\times x=\frac{1}{x^{m-1}}$，再分 $m-1$ 是零还是负数讨论即可。
 
-- **引理 4.4.5**：设 $x$ 是一个非零的比例数，$n,m$ 是自然数，那么 $x^{n-m}=\frac{x^n}{x^m}$。
+- **引理 4.4.5（指数消去率）**：设 $x$ 是一个非零的有理数，$n,m$ 是自然数，那么 $x^{n-m}=\frac{x^n}{x^m}$。
 
-    **证明**：对 $n$ 归纳，利用引理 4.4.4。
+  **证明**：对 $n$ 归纳，利用引理 4.3.9。
 
-- **命题 4.4.6**：设 $x,y$ 是非零的比例数，$n,m$ 是整数。
+- **命题 4.4.6（整数指数运算律）**：设 $x,y$ 是非零的有理数，$n,m$ 是整数。
 
-    1. $x^nx^m=x^{n+m}$，$(x^n)^m=x^{nm}$，$(xy)^n=x^ny^n$。
-    2. $(x>y\geq 0\land n>0)\implies (x^n>y^n\geq 0)$，$(x>y\geq 0\land n<0)\implies (y^n>x^n\geq 0)$。
-    3. 若 $x,y>0$ 且 $n\neq 0$，那么 $x^n=y^n\implies x=y$。
-    4. $|x^n|=|x|^n$。
+  1. $x^nx^m=x^{n+m}$，$(x^n)^m=x^{nm}$，$(xy)^n=x^ny^n$。
+  2. $(x>y\geq 0\land n>0)\implies (x^n>y^n\geq 0)$，$(x>y\geq 0\land n<0)\implies (y^n>x^n\geq 0)$。
+  3. 若 $x,y>0$ 且 $n\neq 0$，那么 $x^n=y^n\implies x=y$。
+  4. $|x^n|=|x|^n$。
 
-    **证明**：先利用整数的定义和引理 4.4.5 将 $x^n$ 表示成 $x^{a-b}=\frac{x^a}{x^b}$ 的形式（其中 $a,b$ 均为自然数），再证明即可。
+  **证明**：先利用整数的定义和引理 4.3.10 将 $x^n$ 表示成 $x^{a-b}=\frac{x^a}{x^b}$ 的形式（其中 $a,b$ 均为自然数），再证明即可。
 
-#### 4.5 比例数中的空隙
+## 4.5 有理数中的空隙
 
-- **命题 4.5.1**：设 $x$ 是比例数。那么存在唯一的一个整数 $n$，使得 $n\leq x<n+1$，记 $n$ 为 $x$ 的整部 $n=[x]$。
+- **命题 4.5.1**：设 $x$ 是有理数。那么存在唯一的一个整数 $n$，使得 $n\leq x<n+1$，记 $n$ 为 $x$ 的整部 $n=[x]$。
 
   **证明**：存在性：先分 $x$ 是否非负讨论，再把 $x$ 表示成分数形式，然后再利用欧几里得算法（命题 2.3.8）容易构造一组解。唯一性：反证。
 
-- **命题 4.5.2**：设 $x$ 和 $y$ 是比例数且 $x<y$，那么存在比例数 $z$ 满足 $x<z<y$。
+- **命题 4.5.2**：设 $x$ 和 $y$ 是有理数且 $x<y$，那么存在有理数 $z$ 满足 $x<z<y$。
 
   **证明**：令 $z:=\frac{x+y}{2}$。
 
-根据 4.5.2，我们可以知道比例数是十分 “稠密” 的，但有理数之间还是存在无限多个 “空隙”，尽管这种稠密性保证了每个空隙是无限小的（即这些空隙不会是 “连续的一段”）。例如，我们可以证明比例数中不存在 $2$ 的平方根：
+根据 4.5.2，我们可以知道有理数是十分 “稠密” 的，但有理数之间还是存在无限多个 “空隙”，尽管这种稠密性保证了每个空隙是无限小的（即这些空隙不会是 “连续的一段”）。例如，我们可以证明有理数中不存在 $2$ 的平方根：
 
 - **引理 4.5.3**：不存在一个自然数序列 $a_0,a_1,\cdots$，使得对于任意自然数 $n$，$a_n>a_{n+1}$。
 
   **证明**：假设存在。可以归纳证明，对于任意自然数 $n$，$a_n\leq a_0-n$。那么考虑 $a_{a_0+1}\leq a_0-(a_0+1)<0$，矛盾。
 
-- **命题 4.5.4**：不存在比例数 $x$ 使得 $x^2=2$。
+- **命题 4.5.4**：不存在有理数 $x$ 使得 $x^2=2$。
 
   **证明**：显然 $x\neq 0$。又由于 $(-x)^2=x^2$，所以不妨设 $x$ 是正的，那么存在正整数 $p,q$ 使得 $x=\frac{p}{q}$。根据 $x^2=2$，可得 $p^2=2q^2$。
 
-  我们还没有定义奇数和偶数的概念，不过我们可以暂且使用：$p^2=2q^2$ 可知 $p^2$ 是偶数，即 $p$ 是偶数。不妨设 $p=2k$，其中 $k$ 应是一个小于 $p$ 的正数。那么存在 $(2k)^2=2q^2$ 即 $q^2=2k^2$。我们每次从 $(p,q)$ 递归到 $(q,k)$，而括号内的两数中至少一个变小。也就是说，我们能无限地让括号内的两数 $a,b$ 变小下去（准确地说是轮流除 $2$），并说它们一直是正数，根据引理 4.5.3，这显然是不可能的。
+  我们还没有定义奇数和偶数的概念，不过我们可以暂且使用：$p^2=2q^2$ 可知 $p^2$ 是偶数，即 $p$ 是偶数。不妨设 $p=2k$，其中 $k$ 应是一个小于 $p$ 的正数。那么存在 $(2k)^2=2q^2$ 即 $q^2=2k^2$。我们每次从 $(p,q)$ 递归到 $(q,k)$，而括号内的两数中至少一个变小。也就是说，我们能无限地让括号内的两数 $a,b$ 变小下去（准确地说是轮流除 $2$），并说它们一直是正数，根据引理 4.4.3，这显然是不可能的。
 
-另一方面，我们可以得到任意接近 $2$ 的平方根的比例数：
+另一方面，我们可以得到任意接近 $2$ 的平方根的有理数：
 
-- **命题 4.5.5**：对于每个比例数 $\varepsilon>0$，都存在一个非负的比例数 $x$，使得 $x^2<2<(x+\varepsilon)^2$。
+- **命题 4.5.5**：对于每个有理数 $\varepsilon>0$，都存在一个非负的有理数 $x$，使得 $x^2<2<(x+\varepsilon)^2$。
 
   **证明**：首先需注意不存在有理数的平方等于 $2$。我们考虑找到自然数 $n$ 使得 $(n\varepsilon)^2<2<((n+1)\varepsilon)^2$。假设不存在，那么可以归纳证明对于任意自然数 $n$，$(n\varepsilon)^2<2$。但考虑取 $n=[\frac{2}{\varepsilon}]+1$，那么 $n>\frac{2}{\varepsilon}\implies(n\varepsilon)^2>4>2$，矛盾。
 
-通过上述例子，我们来引入实数。
+我们对整数与有理数的讨论至此基本完结。基于上述理论， 我们接下来就可以（也有必要）引入实数。