给出良序原理的一个更简单的证明

通过有限集合最小元的存在性，给出良序原理的一个更简单的证明。

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src/第8章 无限集合.md

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 可数集意味着存在一种方式可以给集合中的所有元素编号，这使得我们可以将集合中的所有元素用无限序列的形式表示出来，并施加归纳法。
 
-- **命题 8.1.2（良序原理）**：设非空集合 $X\subseteq \mathbb N$。那么恰存在一个元素 $n\in X$，使得对于任意 $m\in X$ 有 $n\leqslant m$。且 $n=\inf(X)$。
+- **命题 8.1.2（良序原理）**：设非空集合 $S\subseteq \mathbb N$。那么恰存在一个元素 $n\in S$，使得对于任意 $m\in S$ 有 $n\leqslant m$，称 $n$ 为集合 $S$ 的最小元，记为 $\min(S)$。
 
-    称 $n$ 为集合 $X$ 的最小元，记为 $\min(X)$。
+    **证明**：（同一法）首先证明存在性，由于 $S$ 不为空集，存在一个自然数 $m\in S$。考虑集合 $S':=\left\{x\in S:x\leqslant m\right\}$ 显然为非空有限集，根据 3.6.9，$S'$ 存在最小元，记作 $a$，根据定义有 $a\leqslant m$。对于任意 $x\in S$，若 $x\in S'$，则必有 $a\leqslant x$，若 $a\not\in S'$，则必有 $x\geqslant m\geqslant a$。故 $a$ 为集合 $S$ 的最小元。
 
-    **证明**：唯一性：若 $n,n'$ 都是集合 $X$ 的最小元，那么 $n\leqslant n'$ 和 $n'\leqslant n$ 同时成立，得到 $n=n'$。
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-    存在性：设 $n=\inf(X)$，只需证明 $n\in X$ 即可。反证，若 $n\not\in X$：
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-    首先 $X$ 非空且有下界 $0$，故 $n$ 非 $-\infty,+\infty$ 且为非负实数。根据命题 5.4.10，存在唯一的整数 $A$ 满足 $A\leqslant n<A+1$。
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-    对于任意 $x\in X$，有 $x\geqslant n$，又 $n\not\in X$，于是 $x>n$，那么 $x\geqslant A+1$。于是 $A+1$ 也是 $X$ 的下界，矛盾。
+	然后证明唯一性。（反证法）若 $n,n'$ 都是集合 $S$ 的最小元，那么 $n\leqslant n'$ 和 $n'\leqslant n$ 同时成立，得到 $n=n'$。
 
 - **命题 8.1.3**：设无限集 $X\subseteq \mathbb N$，那么存在唯一一个双射 $f:\mathbb N\to X$，满足对于任意 $n\in\mathbb N$，$f(n)< f(n+1)$。