在第10章新增了单调函数和导数以及反函数和导数的一部分

src/第10章 函数的微分.md

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 - **定义 10.1.4**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是函数。称 $f$ 是可微的，当且仅当对于任意 $x_0\in X$ 且是 $X$ 的极限点，都有 $f$ 在 $x_0$ 处可微。
 
-- **推论 10.1.5**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是函数。若 $f$ 是可微的，则 $f$ 是连续的。**证明**：略。
+- **推论 10.1.5**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是函数。若 $f$ 是可微的，则 $f$ 是连续的。
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+    **证明**：联合命题 10.1.4 和 “$f$ 在任何孤立点 $x_0$ 处都连续” 这一事实。
 
 - **定理 10.1.6（微分算法）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$x_0\in X$ 且是 $X$ 的极限点，$f:X\to\mathbb R$ 和 $g:X\to \mathbb R$ 是函数。
 
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     **证明**：根据极值定理，$f$ 在某点 $x_\max$ 处达到最大值，那么它也是局部最大值。若 $x_\max=a$ 或 $x_\max=b$，则可以证明对于任意 $x\in [a,b]$ 都有 $f'(x)=0$；若 $x_\max\in(a,b)$，根据命题 10.2.2，$f'(x_\max)=0$。
 
-- **推论 10.2.4（平均值定理）**：设实数 $a,b$ 且 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是连续函数，且 $f|_{(a,b)}$ 可微，那么存在 $x\in(a,b)$ 使得 $f'(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
+- **推论 10.2.4（拉格朗日中值定理）**：设实数 $a,b$ 且 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是连续函数，且 $f|_{(a,b)}$ 可微，那么存在 $x\in(a,b)$ 使得 $f'(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
 
     **证明**：设 $k:=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 和由 $g(x):=f(x)-kx$ 定义函数 $g:[a,b]\to \mathbb R$。那么 $g$ 也是连续函数，且 $g|_{(a,b)}$ 也可微，且 $g(a)=g(b)$。根据罗尔定理，存在 $x\in(a,b)$ 使得 $g'(x)=0$，那么 $f'(x)=g'(x)+k=k$。证毕。
 
+//习题
 
+//$f:[a,b]\to \mathbb R$ 是连续函数，$f|_{(a,b)}$ 可微，是否意味着 $f$ 可微？
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+#### 10.3 单调函数和导数
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+- **命题 10.3.1**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$x_0\in X$ 且是 $X$ 的极限点，$f:X\to\mathbb R$ 是单增函数。若 $f$ 在 $x_0$ 处可微，那么 $f'(x_0)\geq 0$。
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+    **证明**：由于 $f$ 是单增函数，可以证明，对于任意 $x\in X$ 且 $x\neq x_0$，都有 $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq 0$，那么根命题 9.3.2，有 $f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0;x\in X\setminus\{x_0\}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq 0$。
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+- **命题 10.3.2**：设实数 $a,b$ 且 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是连续函数，且 $f|_{(a,b)}$ 可微。若对于任意 $x\in (a,b)$ 有 $f'(x)>0$，则 $f$ 是严格单调增的。
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+    **证明**：若存在 $x,y\in [a,b]$ 且 $x<y$ 使得 $f(x)\geq f(y)$，那么根据平均值定理，存在 $z\in (x,y)$ 使得 $f'(z)=\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\leq 0$，矛盾。
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+#### 10.4 反函数和导数
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+- **引理 10.4.1**：设 $X,Y\subseteq \mathbb R$，$f:X\to Y$ 是双射，$x_0\in X$ 且是 $X$ 的极限点，$y_0:=f(x_0)$ 且是 $Y$ 的极限点。若 $f$ 在 $x_0$ 处可微且 $f^{-1}$ 在 $y_0$ 处可微，那么 $(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}$。
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+    **证明**：根据链式法则，有 $(f^{-1}\circ f)'(x_0)=(f^{-1})'(y_0)\cdot f'(x_0)$，又 $(f^{-1}\circ f)'(x_0)=1$ 可得。
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+- **定理 10.4.2（反函数定理）**：设 $X,Y\subseteq \mathbb R $，$f:X\to Y$ 是双射， 

src/第6章 序列的极限.md

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         证明：$x^{\alpha+\beta}=\lim\limits_{n\to\infty}x^{a_n+b_n}=\lim\limits_{n\to\infty}x^{a_n}x^{b_n}=(\lim\limits_{n\to\infty}x^{a_n})(\lim\limits_{n\to\infty}x^{b_n})=x^{\alpha}x^{\beta}$。
 
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     3. $x^{-\alpha}=\frac{1}{x^\alpha}$。
     
         证明：$x^{-\alpha}=\lim\limits_{n\to\infty}x^{-a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{x^{a_n}}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}1}{\lim\limits_{n\to\infty}x^{a_n}}=\frac{1}{x^{\alpha}}$。
     
     4. 若 $x>1$，那么 $x^\alpha<x^\beta\iff \alpha<\beta$。若 $x<1$，那么 $x^\alpha<x^\beta\iff \alpha>\beta$。
 
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         证明：假设 $x>1$，对于 $x<1$ 的情况类似。
     
         $\alpha<\beta\implies x^{\alpha}<x^{\beta}$：存在比例数 $z_1,z_2$，使得 $\alpha<z_1<z_2<\beta$。容易证明，存在比例数序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 使得 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\alpha$ 且对于任意 $n\geqslant m$ 有 $a_n\leqslant z_1$，存在比例数序列 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 使得 $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=\beta$ 且对于任意 $n\geqslant m$ 有 $z_2\leqslant b_n$。