完成#7为标记了“证明：略”的地方添加证明思路概述

src/第6章 序列的极限.md

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     更直接地，序列 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m_b}^{\infty}$ 是等价的，当且仅当对于任意实数 $\varepsilon>0$，存在 $N\geqslant m$ 使得对于任意 $n\geqslant N$ 有 $d(a_n,b_n)\leqslant \varepsilon$。
 
-看上去实数版的等价序列和柯西序列会较有理数版的要求更严格，但利用命题 5.4.12 可以证明，有理数的柯西序列是相容于这个定义的。
+看上去实数版的等价序列和柯西序列会较有理数版的要求更严格，但利用命题 5.4.12 可以证明，有理数的柯西序列与该定义等价，那么我们将不再叙述有关等价的一些基本性质。
 
 接下来我们将正式定义收敛和极限。
 
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 - **引理 6.1.8（等价序列的极限相等）**：设序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$，其中 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=L$，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=L$。
 
-    **证明**：略。
+    **证明**：根据序列等价和序列极限的定义，容易证明 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=L$ 当且仅当 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(L)_{n=m}^{\infty}$ 是等价的。再利用等价的传递性即可证明。
 
 定义 6.1.7 中，记号 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n$ 并未关注 $m$：因为根据引理 6.1.8 可知，若序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到某实数 $L$，那么对于任意 $m'\geqslant m$，序列 $(a_n)_{n=m'}^{\infty}$ 同样收敛到实数 $L$。
 
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 我们现在有了很多工具，我们接下来给出一些基本的极限。
 
-- **引理 6.5.1**：设 $c$ 为实数，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}c=c$。**证明**：略。
+- **引理 6.5.1**：设 $c$ 为实数，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}c=c$。
 
 - **引理 6.5.2**：设 $q>0$ 为有理数，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^q}=0$，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}n^q$ 不存在。
 

src/第8章 无限集合.md

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 - **引理 8.3.9**：设 $A,B,C$ 是集合，满足 $A$ 的基数严格小于 $B$ 的基数、$B$ 的基数严格小于 $C$ 的基数，那么 $A$ 的基数严格小于 $C$ 的基数。
 
-    **证明**：略。
+    **证明**：$A$ 的基数严格小于 $B$ 的基数，说明存在单射 $f:A\to B$，同理可知存在单射 $g:B\to C$，于是存在 $A\to C$ 的单射 $g\circ f$。而若 $A,C$ 具有相同的基数，则存在 $C\to A$ 的单射 $h$，那么 $f\circ h$ 为 $C\to B$ 的单射，从而 $B,C$ 具有相同基数，矛盾。故 $A$ 的基数严格小于 $C$ 的基数。
 
 #### 8.4 选择公理