叙述戴德金分割的主要理论

Signed-off-by: 方而静 <szdytom@163.com>

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+在集合理论和有理数理论的基础上，我们可以开始构建实数理论。下面将要介绍的是实数系 $\mathbb{R}$ 的一种（通过有理数系 $\mathbb Q$ 出发的）构造方法，是由戴德金于 1872 年提出。这种方法以戴德金分割而著称。除此之外，实数系还可以使用柯西序列的形式极限或者十进制下的小数表示来构造。

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+	在 $\mathbb Q$ 的全部子集中，由是分割的那些子集所组成的集簇（集合的集合）称为实数集，记作 $\mathbb R$。
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+我们应当仔细观察分割的定义，以便于理解这个定义到底在说什么。直观上理解，一个分割是 $\mathbb Q$ 的一个前缀，并且这个前缀没有一个最大数。另一方面，如果有一个 $\mathbb Q$ 的子集 $A$ 满足 5A.2.1.1 和 5A.2.1.2，但是不满足 5A.2.1.3，则 $A$ 中一定存在一个最大数，去掉这个最大数后，$A$ 就变为一个分割了。

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+	1. **反对称性**：$x<y\iff \lnot(y<x)$；
+	2. **传递性**：$(x<y\land y<z)\implies x<z$；
+	3. **三歧性**：$x<y,x=y,y<x$ 中恰有一个是真的。
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+	另一方面，（逆否命题）假设 $r\in\alpha$，根据分割的定义，一定存在 $a\in\alpha$，满足 $r<a$，故 $r\neq\alpha$。根据 5A.2.2.1，对于任意有理数 $x<r$，均有 $x\in\alpha$，故 $r\subsetneq\alpha$，即 $r<\alpha$。
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+- **推论 5A.3.7（有理数的稠密性）**：设 $\alpha,\beta\in\mathbb R$ 且 $\alpha<\beta$，存在有理数 $c$ 使得 $\alpha<c<\beta$。
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+由此，我们就可以定义除法。
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+- **定义 5A.5.7（除法）**：设 $\alpha,\beta\in\mathbb R$，定义 $\alpha$ 除 $\beta$ 的商为 $\alpha^{-1}\beta$，记作 $\beta/\alpha$。
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