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现在我们来用真正的、关于实数序列的极限来代替形式极限，这将是我们构造实数系的最后一步。
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## 6.1 收敛及极限的算律
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我们将重述第四章和第五章中提到的概念，但这些概念将由对有理数定义转为对实数定义。
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- **定义 6.1.1（距离）**：定义两个实数 $x$ 和 $y$ 的距离为 $|x-y|$，记作 $d(x,y)$。
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- **定义 6.1.2（$\varepsilon$ 接近性）** ：设 $x,y,\varepsilon$ 为实数且 $\varepsilon>0$，我们称，$y$ 是 $\varepsilon$ 接近于 $x$ 的，当且仅当 $d(x,y)\leqslant \varepsilon$。
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容易发现，上述定义和之前有理数的定义是相容的。
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注意，$x$ 是 $\varepsilon$ 接近于 $y$ 的，当且仅当 $|x-y|\leqslant \varepsilon$，而非是它们所对应的有理数柯西序列是 $\varepsilon$ 接近的，也非它们所对应的有理数柯西序列是终极 $\varepsilon$ 接近的。
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上一章中我们默认 “序列” 指的都是 “有理数序列”，而在这一章中，除特殊标明外，我们默认 “序列” 指的都是 “实数序列”。
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- **定义 6.1.3（柯西序列）**：设实数 $\varepsilon>0$。
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称一个序列 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ 稳定的，当且仅当对于任意 $j,k\geqslant N$，$d(a_j,a_k)\leqslant \varepsilon$。
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称一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是终极 $\varepsilon$ 稳定的，当且仅当存在 $N\geqslant m$，使得序列 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ 稳定的。
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称一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是柯西序列，当且仅当对于任意实数 $\varepsilon>0$，该序列都是终极 $\varepsilon$ 稳定的。
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更直接地，序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是柯西序列，当且仅当对于任意实数 $\varepsilon>0$，存在 $N\geqslant m$ 使得对于任意 $j,k\geqslant N$ 有 $|a_j-a_k|\leqslant \varepsilon$。
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- **定义 6.1.4（等价的序列）**：设实数 $\varepsilon>0$。
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称序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ 接近于序列 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 的，当且仅当对于任意 $n\geqslant m$，$d(a_n,b_n)\leqslant\varepsilon$。
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称序列 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}$ 是终极 $\varepsilon$ 接近于序列 $(b_n)_{n=m_b}^{\infty}$ 的，当且仅当存在 $N\geqslant m$（记 $m=\max(m_a,m_b)$），使得 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ 接近于 $(b_n)_{n=N}^{\infty}$ 的。
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称两个序列 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m_b}^{\infty}$ 是等价的（记作 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}\sim (b_n)_{n=m_b}^{\infty}$），当且仅当对于任意实数 $\varepsilon >0$，它们都是终极 $\varepsilon$ 接近的。
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更直接地，序列 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m_b}^{\infty}$ 是等价的，当且仅当对于任意实数 $\varepsilon>0$，存在 $N\geqslant m$ 使得对于任意 $n\geqslant N$ 有 $d(a_n,b_n)\leqslant \varepsilon$。
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看上去实数版的等价序列和柯西序列会较有理数版的要求更严格，但利用命题 5.4.12 可以证明，有理数的柯西序列是相容于这个定义的。
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接下来我们将正式定义收敛和极限。
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- **定义 6.1.5（序列的收敛）**：设实数 $\varepsilon>0$ 和实数 $L$。
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称一个序列 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ 接近于 $L$ 的，当且仅当对于任意 $n\geqslant N$，$a_n$ 都是 $\varepsilon$ 接近于 $L$ 的。
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称一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是终极 $\varepsilon$ 接近于 $L$ 的，当且仅当存在 $N\geqslant m$，使得 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ 接近于 $L$ 的。
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称一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到 $L$，当且仅当对于任意实数 $\varepsilon>0$，该序列都是终极 $\varepsilon$ 接近于 $L$ 的。
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更直接的，序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到 $L$，当且仅当对于任意实数 $\varepsilon>0$，存在 $N\geqslant m$ 使得对于任意 $n\geqslant N$ 有 $|a_n-L|\leqslant \varepsilon$。
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- **命题 6.1.6（极限的唯一性）**：设 $L$ 和 $L'$ 都为实数且 $L\neq L'$，那么一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 不可能同时收敛到 $L$ 和 $L'$。
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**证明**：反证法。不妨设 $L<L'$，那么存在实数 $\delta_1,\delta_2$ 使得 $L<L+\delta_1<L'-\delta_2<L'$。根据假设，存在 $N_1\geqslant m$ 使得 $(a_n)_{n=N_1}^{\infty}$ 是 $\delta_1$ 接近于 $L$ 的，存在 $N_2\geqslant m$ 使得 $(a_n)_{n=N_2}^{\infty}$ 是 $\delta_2$ 接近于 $L'$ 的。那么对于任意 $n\geqslant \max(N_1,N_2)$，$|a_n-L|\leqslant\delta_1$ 且 $|a_n-L'|\leqslant\delta_2$，这是不可能的。
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- **定义 6.1.7（序列的极限）**：如果序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到某实数 $L$，那么我们称该序列是收敛的，且它的极限是 $L$，记作 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=L$。若序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 不收敛到任何实数 $L$，那么我们称该序列是发散的，并且认为 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n$ 无定义。
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- **引理 6.1.8（等价序列的极限相等）**：设序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$，其中 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=L$，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=L$。
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**证明**：略。
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定义 6.1.7 中，记号 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n$ 并未关注 $m$：因为根据引理 6.1.8 可知，若序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到某实数 $L$，那么对于任意 $m'\geqslant m$，序列 $(a_n)_{n=m'}^{\infty}$ 同样收敛到实数 $L$。
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可以发现，柯西序列和收敛序列的定义有相似之处：柯西序列可以理解成所有数相互不断靠近，而收敛序列可以理解为所有数都向某个数不断靠近。我们给出如下两个命题：
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- **命题 6.1.9（收敛序列是柯西序列）**：设 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是一个收敛的序列，那么它是柯西序列。
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**证明**：不妨设 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=L$。设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数，那么存在 $N\geqslant m$ 使得对于任意 $n\geqslant N$ 有 $|a_n-L|\leqslant\frac{\varepsilon}{2}$，那么对于任意 $i,j\geqslant N$ 也有 $|a_i-a_j|\leqslant\varepsilon$，证毕。
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- **命题 6.1.10（形式极限相容于极限/有理数的柯西序列是收敛的）**：设 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是有理数的柯西序列，那么 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n$，即 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_n$。
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**证明**：设 $\varepsilon>0$ 为任意正实数，欲证存在 $N\geqslant m$，使得对于任意 $n\geqslant N$，$|a_n-\operatorname{LIM}_{k\to \infty}a_k|\leqslant \varepsilon$，即 $\operatorname{LIM}_{k\to \infty}|a_k-a_n|\leqslant \varepsilon$。根据定义，存在 $N'\geqslant m$，使得对于任意 $i,j\geqslant N'$，$|a_i-a_j|\leqslant \varepsilon$。取 $N=N'$ 后容易验证成立。
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实际上，柯西序列和收敛序列是等价的。不过我们将在后面再证明此事。
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根据命题 6.1.10，我们已经将之前所定义的有理数的柯西序列和有理数柯西序列的形式极限，相容于实数的柯西序列和实数收敛序列的极限了。
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我们同样重新再定义真正的有界序列：
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- **定义 6.1.11（有界序列）**：设实数 $M\geqslant 0$。称一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是以 $M$ 为界的，当且仅当对于任意 $n\geqslant m$ 有 $|a_n|\leqslant M$。称一个序列是有界的，当且仅当存在实数 $M\geqslant 0$ 使得该序列是以 $M$ 为界的。
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同样利用命题 5.4.12，可以证明该定义和有理数版的定义是等价的。类似地，我们仍然可以证明柯西序列是有界的， 这蕴含了收敛序列是有界的。
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本节最后，我们来完善极限的基本运算法则。
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- **定理 6.1.12（极限算律）**：设收敛序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$。设 $x=\lim\limits_{n\to\infty}a_n$，$y=\lim\limits_{n\to\infty}b_n$。
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1. $\lim\limits_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\lim\limits_{n\to\infty}a_n+\lim\limits_{n\to\infty}b_n$。
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2. $\lim\limits_{n\to\infty}(a_nb_n)=(\lim\limits_{n\to\infty}a_n)(\lim\limits_{n\to\infty}b_n)$。
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3. 设 $c$ 为任意实数，$\lim\limits_{n\to\infty}(ca_n)=c\lim\limits_{n\to\infty}a_n$。
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4. $\lim\limits_{n\to\infty}(a_n-b_n)=\lim\limits_{n\to\infty}a_n-\lim\limits_{n\to\infty}b_n$。
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5. 若 $y\neq 0$ 且对于任意 $n\geqslant m$ 有 $b_n\neq 0$，则 $\lim\limits_{n\to\infty}b_n^{-1}=(\lim\limits_{n\to\infty}b_n)^{-1}$。
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6. 若 $y\neq 0$ 且对于任意 $n\geqslant m$ 有 $b_n\neq 0$，则 $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}a_n}{\lim\limits_{n\to\infty}b_n}$。
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7. $\lim\limits_{n\to\infty}\max(a_n,b_n)=\max(\lim\limits_{n\to\infty}a_n,\lim\limits_{n\to\infty}b_n)$。
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8. $\lim\limits_{n\to\infty}\min(a_n,b_n)=\min(\lim\limits_{n\to\infty}a_n,\lim\limits_{n\to\infty}b_n)$。
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**证明**：1~6之前都有过类似的证明方法，此处略去。这里证一下7：
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不妨设 $x\geqslant y$。设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数，那么存在 $N_1\geqslant m$ 使得对于任意 $n\geqslant N_1$ 有 $|a_n-x|\leqslant \varepsilon$，存在 $N_2\geqslant m$ 使得对于任意 $n\geqslant N_2$ 有 $|b_n-y|\leqslant \varepsilon$。考虑对于任意 $n\geqslant \max(N_1,N_2)$，若 $a_n\geqslant b_n$，则 $|\max(a_n,b_n)-x|=|a_n-x|\leqslant\varepsilon$；若 $b_n>a_n$，那么 $b_n>a_n\geqslant x-\varepsilon$，且 $b_n\leqslant y+\varepsilon\leqslant x+\varepsilon$，故同样有 $|b_n-x|\leqslant\varepsilon$。取 $N=\max(N_1,N_2)$ 即可。证毕。
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## 6.2 广义实数系
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之前我们已经使用过记号 $-\infty$ 和 $+\infty$。现在我们正式定义它们，并扩充实数集至广义实数集。
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- **定义 6.2.1（广义实数系）**：定义广义实数系 $\mathbb R^*:=\mathbb R\cup\{-\infty,+\infty\}$。其中 $-\infty$ 和 $+\infty$ 彼此不同且与 $\mathbb R$ 中的每个元素都不同。
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一个广义实数 $x\in \mathbb R^*$ 被称作有限的当且仅当它是实数，被称作无限的当且仅当它是 $-\infty$ 或 $+\infty$。
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- **定义 6.2.2（广义实数的负运算）**：设 $x$ 是广义实数。若 $x$ 是实数，$-x$ 已经有了定义；若 $x=+\infty$，$-x:=-\infty$；若 $x=-\infty$，$-x:=+\infty$。
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容易验证，该定义仍然满足 $-(-x)=x$。
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- **定义 6.2.3（广义实数的序）**：设 $x,y$ 是广义实数。若 $x,y$ 都是实数，那么 $x\leqslant y$ 已经有了定义；否则，$x\leqslant y$（$y\geqslant x$）当且仅当 $x=-\infty$ 或 $y=+\infty$。
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同样称 $x<y$ 当且仅当 $x\leqslant y$ 且 $x\neq y$。
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- **命题 6.2.4（广义实数的序的基本性质）**：设 $x,y,z$ 是广义实数。
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- **自反性**：$x\leqslant x$。
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- **三歧性**：$x<y,x=y,x>y$ 中恰好一个成立。
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- **传递性**：$x\leqslant y\land y\leqslant z\implies x\leqslant z$。
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- **负运算反序**：$x\leqslant y\implies -x\geqslant -y$。
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**证明**：分类讨论。
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我们将不在广义实数集上引入其它运算，因为即使引入了它们也不满足一般的运算法则。
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- **定义 6.2.5（广义实数集的上确界）**：设 $E\subseteq\mathbb R^*$，定义 $E$ 的上确界 $\sup(E)$ 为：
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- 若 $E\subseteq\mathbb R$，则 $\sup(E)$ 已经有了定义。
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- 若 $+\infty\in E$，则 $\sup(E):=+\infty$。
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- 若 $+\infty\not\in E,-\infty\in E$，则 $\sup(E):=\sup(E\setminus\{-\infty\})$。可知 $E\setminus\{-\infty\}\in \mathbb R$。
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我们也定义 $E$ 的下确界为 $\inf(E):=-\sup(-E)$，其中 $-E:=\{-x:x\in E\}$。
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为了方便，之后我们给出关于上确界（上界）的某些定义或命题的时候，若对于下确界（下界）也存在对称的定义或命题时，我们将不再提及。
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- **定理 6.2.6**：设 $E\in \mathbb R^*$。
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- 对于任意 $x\in E$，$x\leqslant \sup(E)$。
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- 设 $M$ 是 $E$ 的上界（即，对于任意 $x\in E$，$x\leqslant M$），那么 $\sup(E)\leqslant M$。
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**证明**：分类讨论。
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对于 $\mathbb R^*$ 的任何子集都存在上确界的一个合理的解释是：$\mathbb R^*$ 本身就是有界集（对于任意 $x\in \mathbb R^*$，$x\leqslant +\infty$）。
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## 6.3 序列的上确界和下确界
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- **定义 6.3.1（序列的 $\sup$）**：设 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是一个序列，定义 $\sup(a_n)_{n=m}^{\infty}:=\sup(\{a_n:n\in\mathbb Z_{m..}\})$。
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容易发现，一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是有界的当且仅当该序列的 $\sup$ 和 $\inf$ 都是实数。
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- **命题 6.3.2（最小上界性质）**：设序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和广义实数 $x:=\sup(a_n)_{n=m}^{\infty}$。那么
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1. 对于任意 $n\geqslant m$，$a_n\leqslant x$。
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2. 若 $M$ 是 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 的一个上界（即对于任意 $n\geqslant m$，$a_n\leqslant M$），那么 $x\leqslant M$。
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3. 若广义实数 $y<x$，那么存在 $n\geqslant m$ 使得 $y<a_n\leqslant x$。
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对于单调（单增：对于任意 $n\geqslant m$ 有 $a_n\leqslant a_{n+1}$，或单减：对于任意 $n\geqslant m$ 有 $a_n\geqslant a_{n+1}$）有界序列，我们有如下很有用的性质：
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- **命题 6.3.3（单调有界序列收敛到确界）**：设单增序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是具有有限上界 $M$ 的，那么 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛，且 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\sup(a_n)_{n=m}^{\infty}\leqslant M$。
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**证明**：记 $x=\sup(a_n)_{n=m}^{\infty}$。设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数，根据定义，存在 $N\geqslant m$ 使得 $x-\varepsilon< a_N$，那么对于任意 $n\geqslant N$，可以归纳得到 $x-\varepsilon<a_n\leqslant x$，即 $|a_n-x|<\varepsilon$。故 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=x$。
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## 6.4 上极限、下极限和极限点
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有时候，某个序列并不收敛，但一直存在它的元素在某个数附近浮动（如序列 $(1.1,-1.01,1.001,-1.0001,\cdots)$ 不收敛，但对于 $-1$ 和 $1$，都一直有数在它们附近浮动）。为了表示这种情况，我们引入极限点的概念。
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- **定义 6.4.1（极限点）**：设序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和实数 $x,\varepsilon$，其中 $\varepsilon>0$。
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称 $x$ 是 $\varepsilon$ 附着于 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 的，当且仅当存在 $n\geqslant m$ 使得 $d(a_n,x)\leqslant\varepsilon$。
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称 $x$ 是持续 $\varepsilon$ 附着于 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$，当且仅当对于任意 $N\geqslant m$，$x$ 都是 $\varepsilon$ 附着于 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 的。
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称 $x$ 是 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 的极限点或附着点，当且仅当对于任意 $\varepsilon >0$，$x$ 都是持续 $\varepsilon$ 附着于 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 的。
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更直接地，$x$ 是 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 的极限点或附着点，当且仅当对于任意 $\varepsilon>0$ 和 $N\geqslant m$，都存在 $n\geqslant N$ 使得 $|a_n-x|\leqslant \varepsilon$。
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极限点可以理解为：当序列 “趋于稳定” 之后，该序列在二维平面上所形成的点近似地形成了若干条横线，这些横线对应的纵坐标就是极限点。
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这里极限点的概念暂且止于实数，虽然严格定义 $+\infty$ 和 $-\infty$ 为极限点的概念也是可能的。
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- **命题 6.4.2（极限是极限点）**：设序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到实数 $c$。那么 $c$ 是 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 唯一的极限点。
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**证明**：存在性易证。唯一性反证。
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现在我们来考察一种特殊的极限点。
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- **定义 6.4.3（上极限）**：设 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是一个序列。我们定义一个新序列 $(a_N^+)_{N=m}^{\infty}$，其中 $a_N^+:=\sup(a_n)_{n=N}^{\infty}$。然后我们定义序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 的上极限为 $\limsup\limits_{n\to\infty} a_n:=\inf(a_N^+)_{N=m}^{\infty}$。
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类似地也有关于下极限的记号 $a_N^-$ 和 $\liminf$。
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注意，符号 $\limsup\limits_{n\to\infty} a_n$ 并未关注 $m$：由于 $(a_N^+)_{N=m}^{\infty}$ 是单减的，所以归纳证明对于任意 $m'\geqslant m$，$\inf(a_N^+)_{N=m}^{\infty}=\inf(a_N^+)_{N=m'}^{\infty}$（可以证明，对于 $S\subseteq \mathbb R^*$ 和广义实数 $x$，若存在 $y\in S$ 使得 $y\leqslant x$，那么 $\inf(S\cup\{x\})=\inf(S)$）。
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为什么说上极限是一种特殊的极限点？若上极限有限，它一定是极限点中最大的那个：因为后缀最大值最终会不断趋近于上极限，那么考虑取到最大值的那些位置，这些位置就会不断趋近于上极限，所以上极限是极限点。而且上极限一定会大于等于最大的那个极限点，于是上极限就是最大的那个极限点。
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我们将严格地说明此事，以及一些其他的性质：
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- **命题 6.4.4**：设 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是一个序列，设 $L^+$ 是此序列的上极限，$L^-$ 是此序列的下极限。
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1. 对于任意 $x>L^+$，存在 $N\geqslant m$ 使得对于任意 $n\geqslant N$ 有 $a_n<x$。
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证明：存在 $N\geqslant m$ 使得 $x>a_N^+\geqslant L^+$，那么对于任意 $n\geqslant N$，$a_n\leqslant a_N^+<x$。
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2. 对于任意 $x<L^+$ 和 $N\geqslant m$，存在 $n\geqslant N$ 使得 $a_n>x$。
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证明：$x<L^+\leqslant a_N^+=\sup(a_n)_{n=N}^{\infty}$，那么存在 $n\geqslant N$ 使得 $x<a_n\leqslant \sup(a_n)_{n=N}^{\infty}$。
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3. $L^-\leqslant L^+$。
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证明：首先，可以证明，对于任意 $N^+,N^-\geqslant m$，$a_{N^-}^-\leqslant a_{N^+}^+$。
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反证。若 $L^->L^+$，任取广义实数 $z$ 使得 $L^->z>L^+$。根据命题 6.3.2，存在 $N^+\geqslant m$ 使得 $z>a_{N^+}^+\geqslant L^+$，存在 $N^-\geqslant m$ 使得 $L^-\geqslant a_{N^-}^->z$，那么 $a_{N^-}^->a_{N^+}^+$，矛盾。
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4. $L^+\leqslant \sup(a_n)_{n=m}^{\infty}$。特别地，若序列有界，那么 $L^-$ 和 $L^+$ 都有限。
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证明：根据定义可知。
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5. 若 $c$ 是 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 的极限点，那么 $c\leqslant L^+$。综合地，$L^-\leqslant c\leqslant L^+$。
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证明：反证。若 $c>L^+$。根据命题 6.3.2，存在 $N\geqslant m$ 使得 $c>a_N^+\geqslant L^+$，那么对于任意 $n\geqslant N$，$a_n\leqslant a_{N}^+$。又根据极限点的定义，应存在 $n\geqslant N$ 使得 $|a_n-c|<c-a_{N}^+$，蕴含 $a_n>a_N^+$，矛盾。
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6. 若 $L^+$ 是有限的，那么 $L^+$ 是 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 的极限点。
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证明：对于任意的实数 $\varepsilon>0$，根据命题 6.3.2，存在 $N_1\geqslant m$ 使得 $L^++\varepsilon>a_{N_1}^+\geqslant L^+$，又由于对于任意 $N_2\geqslant N_1$，$a_{N_1}^+\geqslant a_{N_2}^+\geqslant L^+$，于是对于任意 $N\geqslant m$，总存在 $N_2\geqslant N$ 使得 $L^++\varepsilon>a_{N_2}^+\geqslant L^+$，那么总存在 $n\geqslant N_2$ 使得 $a_{N_2}^+\geqslant a_n>L^+-\varepsilon$，蕴含 $|a_n-L^+|<\varepsilon$，证毕。
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7. $L^+=L^-=c\iff \lim\limits_{n\to\infty}a_n=c$。
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证明：设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数。存在 $N^+\geqslant m$ 使得 $c+\varepsilon>a_{N^+}^+\geqslant c$，存在 $N^-\geqslant m$ 使得 $c\geqslant a_{N^-}^->c-\varepsilon$，那么对于任意 $n\geqslant \max(N^+,N^-)$，$c+\varepsilon>a_{N^+}^+\geqslant a_n\geqslant a_{N^-}^->c+\varepsilon$，蕴含 $|a_n-c|<\varepsilon$，证毕。
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结合 “收敛序列有界” 和命题 6.4.2，可知 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=c\iff L^+=L^-=c$。
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对于某个收敛于 $L$ 的序列来说，上极限实际上提供了一个序列，使得它的每一元素都大于等于 $L$，且它也收敛于 $L$。这是十分有用的，导出了一些很好的性质：
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- **引理 6.4.5（比较原理）**：设序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 满足对于任意 $n\geqslant m$ 有 $a_n\leqslant b_n$，那么我们有：
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$$
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\begin{aligned}
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\sup(a_n)_{n=m}^{\infty}&\leqslant \sup(b_n)_{n=m}^{\infty}\\
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\inf(a_n)_{n=m}^{\infty}&\leqslant \inf(b_n)_{n=m}^{\infty}\\
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\limsup\limits_{n\to\infty}(a_n)&\leqslant \limsup\limits_{n\to\infty}(b_n)\\
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\liminf\limits_{n\to\infty}(a_n)&\leqslant \liminf\limits_{n\to\infty}(b_n)\\
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\end{aligned}
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$$
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**证明**：第一条反证，后三条都能从第一条推出来。
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- **推论 6.4.6（夹逼定理）**：设序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$，$(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(c_n)_{n=m}^{\infty}$ 满足对于任意 $n\geqslant m$ 有 $a_n\leqslant b_n\leqslant c_n$。若 $\lim\limits_{n\to\infty} a_n=\lim\limits_{n\to\infty}c_n=L$，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=L$。
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**证明**：$\limsup\limits_{n\to\infty}(b_n)\leqslant \limsup\limits_{n\to\infty}(c_n)= L$，$\liminf\limits_{n\to\infty}(b_n)\geqslant \liminf\limits_{n\to\infty}(a_n)=L$，于是 $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=L$。
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- **推论 6.4.7（序列的零判别法）**：设序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0\iff\lim\limits_{n\to\infty}|a_n|=0$。
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**证明**：$-|a_n|\leqslant a_n\leqslant |a_n|$，再根据夹逼定理可证。
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- **推论 6.4.8**：若序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到实数 $L$，那么序列 $(|a_n|)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到实数 $|L|$。
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最后，我们以证明柯西序列等价于收敛序列来结束本节。
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- **定理 6.4.9（实数的完全性）**：一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是柯西序列当且仅当它是收敛的。
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**证明**：结合命题 6.1.9，只需证柯西序列是收敛的。根据命题 6.4.4.7，考虑证明 $L^-:=\liminf\limits_{n\to\infty}a_n$ 和 $L^+:=\limsup\limits_{n\to\infty}a_n$ 相等。注意柯西序列有界，根据命题 6.4.4.4 可知 $L^-$ 和 $L^+$ 都为实数。
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设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数，那么存在 $N\geqslant m$ 使得对于任意 $n\geqslant N$ 有 $|a_n-a_N|\leqslant\frac{\varepsilon}{2}$ 即 $a_N-\frac\varepsilon2\leqslant a_n\leqslant a_N+\frac\varepsilon2$，那么有 $a_N-\frac\varepsilon2\leqslant \inf(a_n)_{n=N}^{\infty}\leqslant\sup(a_n)_{n=N}^{\infty}\leqslant a_N+\frac\varepsilon2$，即 $|a_N^+-a_N^-|\leqslant\varepsilon$，那么对于任意 $n\geqslant N$ 有 $|a_n^+-a_n^-|\leqslant\varepsilon$，于是 $(a_n^+)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(a_n^-)_{n=m}^{\infty}$ 是等价的，那么根据引理 6.1.8 可知 $L^-=L^+$。
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（用度量空间的角度来说（见第 12 章），定理 6.4.9 断言了实数集是一个完全的度量空间，它不像有理数集那样含有 “洞”（有理数集中有大量的柯西序列收敛到非有理数），这个性质紧密联系于最小上界性质。完全性是实数优于有理数的主要特征之一，我们将在后面各章中看到此事）
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## 6.5 几个基本的极限
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我们现在有了很多工具，我们接下来给出一些基本的极限。
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- **引理 6.5.1**：设 $c$ 为实数，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}c=c$。**证明**：略。
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- **引理 6.5.2**：设 $q>0$ 为有理数，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^q}=0$，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}n^q$ 不存在。
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- **引理 6.5.3**：设 $x$ 是实数，那么：
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$$
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\lim\limits_{n\to\infty}x^n=
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\begin{cases}
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0&\text{如果 }|x|<1\\
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1&\text{如果 }x=1\\
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\text{未定义}&\text{如果 }x=-1\\
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\text{未定义}&\text{如果 }|x|>1
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\end{cases}
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$$
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**证明**：先来证明当 $|x|<1$ 的情况。根据推论 6.4.7，只证明 $0<x<1$ 的情况即可。可以证明，$(x^n)_{n=1}^{\infty}$ 是有下界 $0$ 且单减的，那么根据命题 6.3.3，$(x^n)_{n=1}^{\infty}$ 存在极限 $L:=\inf(x^n)_{n=1}^{\infty}$。
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一种方法是直接证明 $L=0$，那么需要说明对于任意实数 $\varepsilon >0$，存在 $n\geqslant 1$ 使得 $x^n<\varepsilon$，这需要对数，我们暂且做不到。
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另一种方法是，根据极限算律，我们知道 $\lim\limits_{n\to\infty}(x^{n+1})=x\lim\limits_{n\to\infty}x^n$，可以证明 $(x^{n+1})_{n=1}^{\infty}\sim (x^n)_{n=1}^{\infty}$（可以证明，若 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是柯西序列，那么对于任意 $k\geqslant 0$ 有 $(a_n)_{n=m}^{\infty}\sim(a_{n+k})_{n=m}^{\infty}$），于是 $L=xL$，由于 $x\neq 1$，得 $L=0$。
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对于 $x=1$ 和 $x=-1$，证明显然。
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对于 $|x|>1$，根据推论 6.4.8，只证明 $x>1$ 的情况即可。假设 $\lim\limits_{n\to\infty}x^n$ 存在且等于 $L$，注意到 $x^n$ 是单增的，那么根据命题 6.3.3，$\sup(x^n)_{n=1}^{\infty}=L$ 是有限的。那么存在 $N\geqslant 1$ 使得 $\frac{L}{x}<x^N\leqslant L$，那么 $x^{N+1}>L$，矛盾。
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- **引理 6.5.4**：设 $x>0$ 为实数，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}x^{\frac{1}{n}}=1$。
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**证明**：若 $0<x<1$，那么 $x^{\frac{1}{n}}$ 单增且有上界 $1$；若 $x>1$，那么 $x^{\frac1n}$ 单减且有下界 $1$。根据命题 6.3.3，存在极限 $L=\lim\limits_{n\to\infty}x^{\frac1n}$。容易证明 $L\neq 0$。
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类似的，也可以证明存在极限 $\lim\limits_{n\to\infty}x^{\frac{2}{n}}$。然后考虑证明 $\lim\limits_{n\to\infty}x^{\frac{2}{n}}=\lim\limits_{n\to\infty}x^{\frac1n}$，从而 $L^2=L$，那么 $L=1$。
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设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数。因为 $(x^{\frac2n})_{n=1}^{\infty}$ 存在极限，那么它是柯西序列，那么存在 $N\geqslant 1$，使得对于任意 $n\geqslant N$ 有 $|x^{\frac{2}{n}}-x^{\frac{2}{2n}}|\leqslant \varepsilon$ 即 $|x^{\frac{2}{n}}-x^{\frac{1}{n}}|\leqslant\varepsilon$。那么 $(x^{\frac{2}{n}})_{n=1}^{\infty}\sim(x^{\frac{1}{n}})_{n=1}^{\infty}$，根据引理 6.1.8 即证。
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## 6.6 子序列
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我们子序列起始项默认都以 $0$ 为起始。
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为了更方便地描述极限点，我们引入子序列的概念。
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- **定义 6.6.1（子序列）**：设序列 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=0}^{\infty}$。若存在一个函数 $f:\mathbb N\to \mathbb N$，它严格增（即对于任意 $n\geqslant 0$，$f(n)<f(n+1)$），且对于任意 $n\geqslant 0$，$b_n=a_{f(n)}$，那么称 $(b_n)_{n=0}^{\infty}$ 是 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 的一个关于 $f$ 子序列。
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子序列满足自反性和传递性。
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- **引理 6.6.2**：设序列 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$，$(b_n)_{n=0}^{\infty}$ 和 $(c_n)_{n=0}^{\infty}$。
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- **自反性**：$(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 是 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 的子序列。
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- **传递性**：若 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 是 $(b_n)_{n=0}^{\infty}$ 的子序列，$(b_n)_{n=0}^{\infty}$ 是 $(c_n)_{n=0}^{\infty}$ 的子序列，那么 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 是 $(c_n)_{n=0}^{\infty}$ 的子序列。
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注意，子序列虽然和子集的概念很像，但它并不满足反传递性（如 $(2,1,2,1,\cdots)$ 和 $(1,2,1,2,\cdots)$ 互为子序列，但它们不相等）。
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- **引理 6.6.3**：设序列 $(b_n)_{n=0}^{\infty}$ 是 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 关于 $f$ 的子序列。那么对于任意 $n\geqslant0$，存在 $n'\geqslant 0$ 使得 $f(n')\geqslant n$。
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**证明**：对 $n$ 归纳。
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- **命题 6.6.4**：设序列 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 和实数 $L$。那么 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 收敛到 $L$ 当且仅当 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 的每个子序列都收敛到 $L$。
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**证明**：设 $(b_n)_{n=0}^{\infty}$ 是 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 关于 $f$ 的子序列。设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数，那么存在 $N_a\geqslant 0$ 使得对于任意 $n\geqslant N_a$ 有 $|a_n-L|\leqslant \varepsilon$，存在 $N_b\geqslant N_a$ 使得 $f(N_b)\geqslant N_a$，那么对于任意 $n\geqslant N_b$，$|b_n-L|\leqslant\varepsilon$，证毕。
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- **命题 6.6.5**：设序列 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 和实数 $L$。那么 $L$ 是序列 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 的极限点当且仅当存在 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 的子序列收敛到 $L$。
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**证明**：设 $L$ 是 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 的极限点，递归构造 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 关于 $f$ 的子序列 $(b_n)_{n=1}^{\infty}$：根据定义，存在 $p> f(n-1)$（初始当 $n=1$ 时，这里改为 $p\geqslant 0$），使得 $|a_p-L|\leqslant \frac{1}{n}$，那么令 $f(n)=p$ 且 $b_n=a_{f(n)}=a_p$。根据命题 2.1.7，该定义成功。然后容易验证 $(b_n)_{n=1}^{\infty}$ 收敛到 $L$。
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设 $(b_n)_{n=0}^{\infty}$ 是 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 关于 $f$ 的子序列且收敛到 $L$。设 $\varepsilon>0$ 为任意正实数和 $N\geqslant 0$ 为任意整数。根据定义，存在 $N_b\geqslant 0$ 使得对于任意 $n\geqslant N_b$ 有 $|b_n-L|\leqslant\varepsilon$。根据引理 6.6.3，存在 $N_a\geqslant 0$ 使得 $f(N_a)\geqslant N$，那么取任意 $n\geqslant \max(N_a,N_b)$，满足 $f(n)\geqslant N$ 且 $|b_n-L|\leqslant \varepsilon$ 即 $|a_{f(n)}-L|\leqslant\varepsilon$。证毕。
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一个很著名的定理是：
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- **定理 6.6.6**：设 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 是有界序列，那么 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 至少有一个子序列收敛。
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**证明**：由于 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 有界，那么 $\limsup\limits_{n\to\infty}a_n$ 有限，那么它就是 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 的极限点。
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## 6.7 实数的指数运算
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现在，我们定义实数的实数次幂的指数运算，以完善指数运算。
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- **定义 6.7.1（实数次幂的指数运算）**：设实数 $x>0$ 和实数 $\alpha=\lim\limits_{n\to\infty}a_n$，其中 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是有理数序列，定义 $x^{\alpha}:=\lim\limits_{n\to\infty}x^{a_n}$。
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**证明**：先假设 $x>1$。我们需证明 $(x^{a_n})_{n=m}^{\infty}$ 收敛，即它是柯西序列。
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需要估计 $|x^{a_i}-x^{a_j}|$ 的上界，并用 $|a_i-a_j|$ 来表示。不妨设 $a_i\geqslant a_j$，那么 $|x^{a_i}-x^{a_j}|=x^{a_j}(x^{a_i-a_j}-1)$。又由于 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是有界的，不妨设界为 $M$，那么 $x^{a_j}(x^{a_i-a_j}-1)\leqslant x^M(x^{a_i-a_j}-1)$。
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我们将对任意 $\varepsilon>0$ 要求 $x^M(x^{a_i-a_j}-1)\leqslant \varepsilon$，即 $x^{a_i-a_j}\leqslant \frac{\varepsilon}{x^M}+1$。再化下去应该是 $a_i-a_j\leqslant \log_x(\frac{\varepsilon}{x^M}+1)$，但我们还未定义对数函数（而且会导致循环定义）。但在引理 6.5.4 中我们证明了，$(x^{\frac{1}{n}})_{n=1}^{\infty}$ 是收敛于 $1$ 的，那么存在 $k\geqslant 1$ 使得 $|x^{\frac{1}{k}}-1|\leqslant\frac{\varepsilon}{x^M}$ 即 $x^{\frac1k}\leqslant\frac\varepsilon{x^M}+1$。于是，我们只需 $|a_i-a_j|\leqslant\frac1k$ 即可，这是可以做到的。
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对于 $0<x<1$ 和 $x=1$，情况类似。
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- **命题 6.7.2（实数关于实数次求幂遵从代入公理）**：设实数 $x>0$ 和实数 $\alpha=\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a'_n$，其中 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(a'_n)_{n=m'}^{\infty}$ 都是有理数序列，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}x^{a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}x^{a'_n}$。
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**证明**：我们需要证明 $(x^{a_n})_{n=m}^{\infty}$ 和 $(x^{a_{n}})_{n=m'}^{\infty}$ 等价。这需要我们估计 $|x^{a_n}-x^{a_{n'}}|$ 的上界，并用 $|a_n-a_{n'}|$ 来表示。那么接下里的类似定义 6.7.1 的证明。
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容易证明，实数关于有理数次求幂是相容于上述定义的。
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我们现在想要证明，引理 5.6.9 提及的实数关于有理数次幂的性质对于实数也成立。但是这并不简单，我们需要不少引理。
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- **引理 6.7.3**：设 $E\subseteq\mathbb R^+$ 和有理数 $q$。若 $q\geqslant 0$，那么 $\sup (E^q)=\sup(E)^q$；若 $q<0$，那么 $\sup(E^q)=\inf(E)^q$。
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**证明**：由定义可得。
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- **引理 6.7.4**：设比例数 $q$ 和收敛序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$，满足对于任意 $n\geqslant m$ 有 $a_n>0$，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n^q=(\lim\limits_{n\to\infty}a_n)^q$。
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**证明**：不妨设 $q\geqslant 0$（$q<0$ 同理）。记 $L=\lim\limits_{n\to\infty}a_n$，$b_n=a_n^q$。根据引理 6.7.3，对于任意 $N\geqslant m$，由于 $a_N^+=\sup(a_n)_{n=N}^{\infty}$，那么 $b_N^+=\sup(a_n^q)_{n=N}^{\infty}=(a_N^+)^q$。又由于 $L_a^+=\inf(a_N^+)_{N=m}^{\infty}$，于是 $L_b^+=\inf((a_N^+)^q)_{N=m}^{\infty}=(L_a^+)^q$。
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同理可证 $L_b^-=(L_a^-)^q$。根据命题 6.4.4.7，有 $L_a^-=L_a^+=L$，那么 $L_b^-=L_b^+=L^q$，那么 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到 $L^q$。
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- **命题 6.7.5**：设实数 $x,y>0$ 和实数 $\alpha=\lim\limits_{n\to\infty}a_n,\beta=\lim\limits_{n\to\infty}b_n$，其中 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 都是比例数序列 。
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1. $x^\alpha>0$。
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证明：设 $x>1$。找到 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 的界 $M$，那么 $\forall_{n\geqslant 1},x^{a_n}\geqslant x^{-M}$，于是 $(x^{a_n})_{n=m}^{\infty}$ 正远离零。对于 $0<x<1$ 和 $x=1$，情况类似。
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2. $x^{\alpha+\beta}=x^\alpha x^\beta$。
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证明：$x^{\alpha+\beta}=\lim\limits_{n\to\infty}x^{a_n+b_n}=\lim\limits_{n\to\infty}x^{a_n}x^{b_n}=(\lim\limits_{n\to\infty}x^{a_n})(\lim\limits_{n\to\infty}x^{b_n})=x^{\alpha}x^{\beta}$。
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3. $x^{-\alpha}=\frac{1}{x^\alpha}$。
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证明：$x^{-\alpha}=\lim\limits_{n\to\infty}x^{-a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{x^{a_n}}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}1}{\lim\limits_{n\to\infty}x^{a_n}}=\frac{1}{x^{\alpha}}$。
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4. 若 $x>1$，那么 $x^\alpha<x^\beta\iff \alpha<\beta$。若 $x<1$，那么 $x^\alpha<x^\beta\iff \alpha>\beta$。
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证明：假设 $x>1$，对于 $x<1$ 的情况类似。
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$\alpha<\beta\implies x^{\alpha}<x^{\beta}$：存在比例数 $z_1,z_2$，使得 $\alpha<z_1<z_2<\beta$。容易证明，存在比例数序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 使得 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\alpha$ 且对于任意 $n\geqslant m$ 有 $a_n\leqslant z_1$，存在比例数序列 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 使得 $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=\beta$ 且对于任意 $n\geqslant m$ 有 $z_2\leqslant b_n$。
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那么对于任意 $n\geqslant m$，$a_n\leqslant z_1<z_2\leqslant b_n$，那么 $x^{a_n}\leqslant x^{z_1}<x^{z_2}\leqslant x^{b_n}$，根据引理 6.4.5 可知 $x^{\alpha}\leqslant x^{z_1}<x^{z_2}\leqslant x^{\beta}$。
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$x^{\alpha}<x^{\beta}\implies \alpha<\beta$：若 $\alpha>\beta$，则 $x^{\alpha}>x^{\beta}$ 矛盾。若 $\alpha=\beta$，则 $x^{\alpha}=x^{\beta}$（代入公理）矛盾。又根据三歧性可知，一定有 $\alpha<\beta$。
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5. （极限算律补充）设 $(c_n)_{n=m}^{\infty}$ 是收敛的实数序列，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}x^{c_n}=x^{(\lim\limits_{n\to\infty}c_n)}$。
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证明：设比例数序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 满足它和 $(\alpha_n)_{n=m}^{\infty}$ 等价，那么只需证明 $(x^{\alpha_n})_{n=m}^{\infty}$ 和 $(x^{a_n})_{n=m}^{\infty}$ 等价即可。接下来的证明过程和命题 6.7.2 的很相似，需要用到命题 6.7.5.2 和命题 6.7.5.4。
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6. $(x^\alpha)^\beta=x^{\alpha\beta}$。
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证明：$(x^{\alpha})^\beta=\lim\limits_{m\to\infty}(\lim\limits_{n\to\infty}x^{a_n})^{b_m}=\lim\limits_{m\to\infty}\lim\limits_{n\to\infty}x^{a_nb_m}=\lim\limits_{m\to\infty}x^{\alpha b_m}=x^{\alpha\beta}$。第二个等号是引理 6.7.4。
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7. 若 $\alpha>0$，$x>y\iff x^\alpha>y^\alpha$。
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证明：由于 $\alpha>0$，不妨设 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是正远离零的，那么对于任意 $n\geqslant m$，$a_n>0$。
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$x^\alpha>y^\alpha\implies x>y$：$x^{\alpha}>y^{\alpha}$ 说明存在 $n\geqslant m$ 使得 $x^{a_n}>y^{a_n}$，那么 $x>y$。
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$x>y\implies x^{\alpha}>y^{\alpha}$：若 $x^\alpha<y^\alpha$，那么 $x<y$ 矛盾。若 $x^\alpha=y^\alpha$，那么 $(x^\alpha)^{\frac1\alpha}=(y^\alpha)^\frac1\alpha$ 即 $x=y$ 矛盾。又根据三歧性可知，一定有 $x^\alpha>y^\alpha$。
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