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9.1 \mathbb R 的子集合
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定义 9.1.1（区间）：设 $a,b\in \mathbb R^$。定义闭区间 $[a,b]:={x\in \mathbb R^:a\leq x\leq b}$；
半开区间 $[a,b):={x\in \mathbb R^:a\leq x< b},(a,b]:={x\in \mathbb R^:a< x\leq b}$；
开区间 $(a,b):={x\in \mathbb R^*:a<x<b}$。
称
a为这些区间的左端点，b为这些区间的右端点。称没有端点是无限（
+\infty或 $-\infty$）的区间为有界区间，称一个端点是无限的区间为半无限区间，称两个端点都是无限的区间为双无限区间。
于是 $\mathbb R=(-\infty,+\infty)$，$\mathbb R^*=[-\infty,+\infty]$。
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定义 9.1.2（附着点）：设
X\subseteq \mathbb R和实数 $x$。称x是X的附着点，当且仅当对于任意\varepsilon>0都存在y\in X使得 $|x-y|\leq \varepsilon$。 -
定义 9.1.3（闭包）：设 $X\subseteq \mathbb R$。定义
X的闭包 $\overleftrightarrow{X}:={x\in \mathbb R:x\text{ 是 }X\text{ 的附着点}}$。 -
引理 9.1.4（闭包的初等性质）：设 $X,Y\subseteq \mathbb R$。那么
- $X\subseteq \overleftrightarrow{X}$。
- $\overleftrightarrow{X\cup Y}=\overleftrightarrow{X}\cup\overleftrightarrow{Y}$。
- $\overleftrightarrow{X\cap Y}\subseteq \overleftrightarrow{X}\cap\overleftrightarrow{Y}$。
- $X\subseteq Y\implies \overleftrightarrow{X}\subseteq\overleftrightarrow{Y}$。
证明：略。
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引理 9.1.5（区间的闭包）：设实数
a,b满足 $a<b$。那么[a,b],[a,b),(a,b],(a,b)的闭包是 $[a,b]$；[a,+\infty),(a,+\infty)的闭包是 $[a,\infty)$；(-\infty,a],(-\infty,a)的闭包是 $(-\infty,a]$；(-\infty,+\infty)的闭包是 $(-\infty,+\infty)$。证明：略。
我们还可以看到，$\overleftrightarrow{\mathbb N}=\mathbb N,\overleftrightarrow{\mathbb Z}=\mathbb Z,\overleftrightarrow{\mathbb Q}=\mathbb R,\overleftrightarrow{\mathbb R}=\mathbb R,\overleftrightarrow{\varnothing}=\varnothing$。
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引理 9.1.6：设
X\subseteq \mathbb R和实数 $x$。那么x是X的附着点，当且仅当，存在一个收敛到x的序列(a_n)_{n=0}^{\infty}满足对于任意n\geq 0有 $a_n\in X$。证明：利用选择公理，在
[x-\frac1n,x+\frac1n]范围内任选一个X中的点作为 $a_n$。 -
定义 9.1.7（闭集）：设 $X\subseteq \mathbb R$。称
X是闭的，当且仅当 $\overleftrightarrow{X}=X$。 -
推论 9.1.8：设 $X\subseteq \mathbb R$。那么
X是闭的，当且仅当，对于任意(a_n)_{n=0}^{\infty}是由X的元素组成的收敛序列，有 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n\in X$。证明：根据引理 9.1.6 可知。
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定义 9.1.9（聚点、孤立点）：设
X\subseteq \mathbb R和实数 $x$。称x是X的聚点，当且仅当x是X\setminus\{x\}的附着点。称x是X的孤立点，当且仅当x\in X且x不是X\setminus\{x\}的附着点。 -
引理 9.1.10：
X的所有附着点恰由X的所有聚点和孤立点组成。
引理 9.1.10 表明，我们能按照 x 是否为 X\setminus\{x\} 的附着点，将 X 的所有附着点 x 分为两类。
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引理 9.1.11：设
I是任意区间，那么I中的每个元素都是I的聚点。 -
定义 9.1.12（有界集合）：设 $X\subseteq \mathbb R$。称
X是有界的，当且仅当存在实数 $M\geq 0$，使得 $X\subseteq[-M,M]$。称X是无界的，当且仅当X不是有界的。 -
定理 9.1.13（直线上的海涅-博雷尔定理）：设 $X\subseteq \mathbb R$。那么
X是有界闭集，当且仅当，对于任意(a_n)_{n=0}^{\infty}是由X的元素组成的序列，都存在一个子序列收敛到X中。证明：结合定理 6.6.6 和推论 9.1.8 可证。
9.2 实值函数的代数
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定义 9.2.1：设函数
f:X\to \mathbb R和 $Y\subseteq X$。定义f限制在Y上的函数（记作 $f|_Y$）为定义域在 $Y$，值域在\mathbb R的函数，满足对于任意y\in Y有 $f|_Y(y):=f(y)$。 -
定义 9.2.2（函数的算术运算）：设函数
f:X\to\mathbb R和 $g:X\to \mathbb R$。定义它们的和为函数 $f+g:X\to\mathbb R$，满足 $(f+g)(x):=f(x)+g(x)$。
定义它们的差为函数 $f-g:X\to\mathbb R$，满足 $(f-g)(x):=f(x)-g(x)$。
设
c是实数，定义函数 $cf:X\to\mathbb R$，满足 $(cf)(x):=cf(x)$。定义它们的积为函数 $fg:X\to\mathbb R$（或 $f\cdot g:X\to\mathbb R$），满足 $(fg)(x):=f(x)g(x)$。
定义它们的商为函数 $\frac fg:{x\in X:g(x)\neq 0}\to\mathbb R$，满足 $\left(\frac fg\right)(x):=\frac{f(x)}{g(x)}$。
定义函数 $\max(f,g):X\to\mathbb R$，满足 $\max(f,g)(x):=\max(f(x),g(x))$。
定义函数 $\min(f,g):X\to\mathbb R$，满足 $\min(f,g)(x):=\min(f(x),g(x))$。
需注意函数乘法和函数复合的区分。
9.3 函数的极限值
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定义 9.3.1：设 $X\subseteq \mathbb R$，函数
f:X\to \mathbb R和实数 $L$，X的聚点 $x_0$。称
f在x_0处收敛到 $L$，记作 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=L$，当且仅当对于任意 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使得对于任意x\in E且 $0<|x-x_0|<\delta$，有 $|f(x)-L|\leq\varepsilon$。若
f在x_0处不收敛到任何数 $L$，那么称f在x_0处发散，并让\lim\limits_{x\to x_0}f(x)无定义。
注意条件中仅要求 0<|x-x_0|<\delta 而非 $0\leq |x-x_0|<\delta$，这意味着在讨论 f 在 x_0 处的极限时，我们并不关注 f 在 x_0 处是否有定义以及其值是什么，仅关心 f 在 x_0 附近的趋势。
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命题 9.3.2：设 $X\subseteq \mathbb R$，
x_0是X的聚点，f:X\to \mathbb R是函数，L是实数。那么
f在x_0处收敛到 $L$，当且仅当，对于任意(a_n)_{n=0}^{\infty}是由X\setminus\{x_0\}的元素组成的收敛到x_0的序列，(f(a_n))_{n=0}^{\infty}都收敛到 $L$。证明：若
f在x_0处收敛到 $L$。设(a_n)_{n=0}^{\infty}是任意由X\setminus\{x_0\}的元素组成的收敛到x_0的序列。设\varepsilon>0是任意正实数。存在 $\delta>0$，使得对于任意x\in X且0<|x-x_0|<\delta有 $|f(x)-L|\leq\varepsilon$。存在 $N\geq 0$，使得对于任意n\geq N都有 $0<|a_n-x_0|<\delta$，那么 $|f(a_n)-L|\leq\varepsilon$。若对于任意
(a_n)_{n=0}^{\infty}是由X\setminus\{x_0\}的元素组成的收敛到x_0的序列，(f(a_n))_{n=0}^{\infty}都收敛到 $L$。反证，若f在x_0处不收敛到 $L$。那么存在 $\varepsilon>0$，使得对于任意 $\delta>0$，存在x\in X且 $0<|x-x_0|<\delta$，满足 $|f(x)-L|> \varepsilon$。那么根据选择公理，存在 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$，使得对于任意 $n\geq 1$，都有 $a_n\in X$、0<|a_n-x_0|<\frac1n和 $|f(a_n)-L|>\varepsilon$。于是(a_n)_{n=0}^{\infty}收敛到x_0但(f(a_n))_{n=0}^{\infty}并不收敛到 $L$，矛盾。 -
推论 9.3.3（函数的极限是唯一的）：设 $X\subseteq \mathbb R$，
x_0是X的聚点，f:X\to \mathbb R是函数。那么f在x_0处至多收敛到一个实数 $L$。证明：根据命题 9.3.2 和序列极限的唯一性可知。
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命题 9.3.4（函数的极限算律）：设 $X\subseteq \mathbb R$，
x_0是X的聚点，f:X\to \mathbb R和g:X\to\mathbb R都是函数。设f在x_0处收敛到实数 $L$，g在x_0处收敛到实数 $M$。那么：\begin{aligned} \lim\limits_{x\to x_0}(f+g)(x)&=L+M\\ \lim\limits_{x\to x_0}(f-g)(x)&=L-M\\ \lim\limits_{x\to x_0}\max(f,g)(x)&=\max(L,M)\\ \lim\limits_{x\to x_0}\min(f,g)(x)&=\min(L,M)\\ \lim\limits_{x\to x_0}(fg)(x)&=LM\\ \lim\limits_{x\to x_0}(cf)(x)&=cL(c\in\mathbb R) \end{aligned}最后，若 $M\neq 0$，那么：
\lim\limits_{x\to x_0}\left(\frac fg\right)(x)=\frac LM证明：通过命题 9.3.2 转化为序列上的问题。其中最后一条式子中，要先证明
x_0确是\{x\in X:g(x)\neq 0\}的聚点，这要通过g在x_0处收敛到一个非零数来证明。 -
命题 9.3.5（极限是局部的）：设 $X\subseteq \mathbb R$，$x_0\in\mathbb R$，
f:X\to \mathbb R是函数，L是实数。设 $\delta>0$，那么
x_0是X的聚点当且仅当x_0是X\cap(x_0-\delta,x_0+\delta)的聚点，且 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=L\iff \lim\limits_{x\to x_0}f|_{X\cap(x_0-\delta,x_0+\delta)}(x)=L$。 -
命题 9.3.6：设 $X\subseteq \mathbb R$，$Y\subseteq X$，
x_0是Y的聚点（从而是X的聚点），f:X\to \mathbb R是函数，L是实数。那么 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=L\implies \lim\limits_{x\to x_0}f|_Y(x)=L$。
接下来的连续和导数的定义都以函数极限作为基础，所以命题 9.3.5 和 命题 9.3.6 将会被经常使用在后续的证明中。
9.4 连续函数
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定义 9.4.1（连续）：设
X\subseteq\mathbb R和函数 $f:X\to \mathbb R$，设 $x_0\in X$。称
f是在x_0处连续的，当且仅当对于任意 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使得对于任意x\in X且 $|x-x_0|<\delta$，有 $|f(x)-f(x_0)|\leq\varepsilon$。否则称
f是在x_0处间断的。称
f是连续的，当且仅当对于任意 $x_0\in X$，f都是在x_0处连续的。
函数在一点连续可以理解为：在该点附近，能通过 x 范围的缩小任意控制 y 范围的缩小。
函数在一点不连续可以理解为：在该点附近，不论 x 范围怎么缩小都无法缩小到一个 y 的范围。
接下来举几个例子来帮助理解连续的定义：
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设由
f(x):=\begin{cases}1&x>0\\0&x=0\\-1&x<0\end{cases}定义的函数 $f:\mathbb R\to \mathbb R$。那么：f在0处是间断的。f|_{(-\infty,-1]\cup\{0\}\cup[1,+\infty)}在0处是连续的。f|_{\{0\}}在0处是连续的。f在(0,+\infty)中任意处都是连续的。
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设由
f(x):=\begin{cases}x &x\in\mathbb Q\\-x&x\not\in\mathbb Q\end{cases}定义的函数 $f:[0,\infty)\to\mathbb R$。那么f在0处是连续的，但在任意x_0>0处都是间断的。 -
设由
f(x):=\frac{1}{x}定义的函数 $f:\mathbb R\setminus{0}\to \mathbb R$。那么f是连续函数。
继续考察有关连续的性质：
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命题 9.4.2：设 $X\subseteq \mathbb R$，
f:X\to\mathbb R是函数，$x_0\in X$。那么f在x_0处连续，等价于对于任意(a_n)_{n=0}^{\infty}是由X的元素组成的收敛到x_0的序列，都有 $\lim\limits_{n\to\infty}f(a_n)=f(x_0)$。同时，若
x_0还是X的聚点，那么f在x_0处连续，还等价于 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$。 -
命题 9.4.3（算术运算保持连续性）：设 $X\subseteq \mathbb R$，
f:X\to\mathbb R和g:X\to\mathbb R是函数，$x_0\in X$。若
f,g在x_0处连续，则f+g,f-g,\max(f,g),\min(f,g),fg都在x_0处连续。若另有 $g(x_0)\neq 0$，则
\frac fg也在x_0处连续。 -
命题 9.4.4（指数函数是连续的）：设实数 $a>0$，那么由
f(x):=a^x定义的函数f:\mathbb R\to\mathbb R是连续的。证明：使用类似定义 6.7.1 中的证明方法。
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命题 9.4.5（幂函数是连续的）：设实数 $p$，那么由
f(x):=x^p定义的函数f:(0,\mathbb R)\to \mathbb R是连续的。证明：使用类似定义 5.6.5 中的证明方法。
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命题 9.4.6（绝对值函数是连续的）：由
f(x):=|x|定义的函数f:\mathbb R\to\mathbb R是连续的。证明：$|x|=\max(x,-x)$。
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命题 9.4.7（复合保持连续性）：设 $X,Y\subseteq \mathbb R$，
f:X\to Y和g:Y\to \mathbb R是函数，$x_0\in X$。若f在x_0处连续，g在f(x_0)处连续，那么g\circ f在x_0处连续。证明：设
\varepsilon>0为任意正实数。那么存在\delta>0使得对于任意y\in Y且|y-f(x_0)|\leq \delta满足 $|g(y)-g(f(x_0))|\leq\varepsilon$。存在\omega>0使得对于任意x\in X且|x-x_0|\leq\omega满足 $|f(x)-f(x_0)|\leq\delta$，则 $|g(f(x))-g(f(x_0))|\leq\varepsilon$。证毕。 -
命题 9.4.8：设 $X\subseteq \mathbb R$，$Y\subseteq X$，
f:X\to \mathbb R是函数。若f是连续的，则f|_Y也是连续的。 -
命题 9.4.9（极限的复合）：设 $X,Y\subseteq \mathbb R$，
f:X\to Y和g:Y\to\mathbb R是函数，x_0是X的聚点，f在x_0处收敛到 $y_0$。若
y_0\in Y且g在y_0处连续，那么g\circ f在x_0处收敛到 $g(y_0)$。若
y_0是Y的聚点、g在y_0处收敛到z_0且对于任意x\in X\setminus\{x_0\}有 $f(x)\neq y_0$，那么g\circ f在x_0处收敛到 $z_0$。
9.5 单侧极限与间断
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定义 9.5.1（左极限和右极限）：设 $X\subseteq \mathbb R$，
f:X\to\mathbb R是函数，x_0是实数。若
x_0是X\cap (x_0,+\infty)的附着点（这里等价于聚点），那么定义f在x_0处的右极限 $f(x_0+):=\lim\limits_{x\to x_0}f|_{X\cap (x_0,+\infty)}(x)$。若
x_0是X\cap (-\infty,x_0)的附着点，那么定义f在x_0处的左极限 $f(x_0-):=\lim\limits_{x\to x_0}f|_{X\cap (-\infty,x_0)}(x)$。当
x_0不是X\cap (x_0,+\infty)的附着点，或\lim\limits_{x\to x_0}f|_{X\cap (x_0,+\infty)}(x)无定义，则f(x_0+)无定义。同理可知f(x_0-)何时无定义。有时将
f(x_0+)写作 $\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)$，将f(x_0-)写作 $\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)$。 -
命题 9.5.2：设 $X\subseteq \mathbb R$，
f:X\to\mathbb R是函数，x_0\in\mathbb R同是X\cap (x_0,+\infty)和X\cap (-\infty,x_0)的附着点。那么
\lim\limits_{x\to x_0}f(x)存在，当且仅当 $f(x_0+)=f(x_0-)$，且此时 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0+)=f(x_0-)$。若 $x_0\in X$，那么
f在x_0处连续，当且仅当f(x_0+)和f(x_0-)都存在且都等于 $f(x_0)$。 -
定义 9.5.3（间断点）：设 $X\subseteq\mathbb R$，
f:X\to\mathbb R是函数，x_0是X的附着点。称
x_0是f的间断点，当且仅当f在x_0处无定义或不连续。- 第一类间断点：
f(x_0+)和f(x_0-)都存在。- 可去间断点：$f(x_0+)=f(x_0-)$。
- 跳跃间断点：$f(x_0+)\neq f(x_0-)$。
- 第二类间断点：
f(x_0+)和f(x_0-)有至少一者不存在。
- 第一类间断点：
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引理 9.5.4（可去间断点补齐为连续）：设 $X\subseteq\mathbb R$，
f:X\to\mathbb R是函数，x_0是f的可去间断点。那么由g(x):=\begin{cases}f(x_0+)&x=x_0\\f(x)&x\neq x_0\end{cases}定义的函数g:X\cup\{x_0\}\to\mathbb R在x_0处连续。
注意，若补全或修改函数 f 在其间断点 x_0 处的值后使得 f 在 x_0 处连续了。除了 x_0 是 f 的可去间断点之外，还有可能是因为 f 在 x_0 某一侧无定义，从而 f 在 x_0 处这一侧的极限不存在，而使得 x_0 成为第二类间断点。
9.6 极值定理
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定义 9.6.1（函数有界）：设
X\subseteq \mathbb R和函数 $f:X\to \mathbb R$。称
f是有上界的，当且仅当存在实数 $M$，使得对于任意x\in X都有 $f(x)\leq M$。称
f是有下界的，当且仅当存在实数 $M$，使得对于任意x\in X都有 $f(x)\geq M$。称
f是有界的，当且仅当存在实数 $M$，使得对于任意x\in X都有 $|f(x)|\leq M$。
可以发现，f 是有界的，当且仅当 f(X) 是有界的。
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引理 9.6.2：设有界闭集 $X\subseteq \mathbb R$，连续函数 $f:X\to\mathbb R$，那么
f是有界函数。证明：反证，设
f是无界的。根据选择公理，存在一个序列 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$，使得对于任意
n\geq 0满足x_n\in X且 $f(x_n)>n$。根据定理 9.1.13，存在一个
(x_n)_{n=0}^{\infty}的子序列 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$，使得(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}收敛到[a,b]中的某实数 $L$。根据连续的定义，
(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}应收敛到f(L)是有界的。但根据(x_n)_{n=0}^{\infty}的定义可知(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}是无界的。矛盾。 -
定义 9.6.3（函数的极值）：设
X\subseteq \mathbb R和 $x_0\in X$，函数 $f:X\to \mathbb R$。称
f在x_0处达到它的最大值，当且仅当对于任意x\in X有 $f(x)\leq f(x_0)$。称
f在x_0处达到它的最小值，当且仅当对于任意x\in X有 $f(x)\geq f(x_0)$。
注意有界函数不一定有极值。例如由 f(x):=\frac{1}{x} 定义的函数 f:(0,+\infty)\to\mathbb R 有下界 $0$，但是不存在最小值。
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命题 9.6.4（极值定理）：设有界闭集
X\subseteq \mathbb R和连续函数 $f:X\to \mathbb R$，那么f在某点x_{\max}\in X处达到它的最大值，在某点x_{\min}处达到它的最小值。证明：令 $L:=\sup({f(x):x\in X})$，那么对于任意
x\in X有 $f(x)\leq L$。根据
\sup的定义和选择公理，存在一个序列(x_n)_{n=1}^{\infty}使得对于任意n\geq 1满足x_n\in X且 $f(x_n)\geq L-\frac1n$。根据定理 9.1.13，存在一个
(x_n)_{n=0}^{\infty}的子序列 $(x_{n_i}){i=0}^{\infty}$，使得(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}收敛到X中的某实数 $x{\max}$。又
(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}收敛到 $L$，再根据连续的定义，可知 $f(x_{\max})=L$。同理可证 $x_{\min}$。
有界闭集上的连续函数有界且存在极值点。
9.7 介值定理
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定理 9.7.1（介值定理）：设
a,b是实数满足 $a<b$，f:[a,b]\to\mathbb R是连续函数，y是介于f(a)和f(b)之间的实数。那么存在c\in[a,b]使得 $f(c)=y$。证明：不妨设 $f(a)\leq y\leq f(b)$。
设 $E:={x\in [a,b]:f(x)\leq y}$。由于
E非空且具有上界 $b$，故存在c:=\sup(E)满足 $c\in [a,b]$。考虑证明 $f(c)=y$。
根据选择公理，存在一个序列
(x_n)_{n=1}^{\infty}使得对于任意n\geq 1有x_n\in E且 $x_n\geq c-\frac1n$。那么(x_n)_{n=1}^{\infty}收敛到 $c$，从而(f(x_n))_{n=1}^{\infty}收敛到 $f(c)$。又因为对于任意n\geq 1有 $f(x_n)\leq y$，那么 $f(c)\leq y$。排除掉
c=b的平凡情况，可以由x_n:=\min(c+\frac1n,b)定义序列 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$，那么对于任意n\geq 1都有x_n\in (c,b]从而 $f(x_n)>y$，又由于(x_n)_{n=1}^{\infty}收敛到 $c$，于是(f(x_n))_{n=1}^{\infty}收敛到 $f(c)$，那么 $f(c)\geq y$。综上，可以得到 $f(c)=y$。
连续函数把区间映为区间。
- 推论 9.7.2（连续函数的象）：设
a,b是实数满足 $a<b$，f:[a,b]\to\mathbb R是连续函数。根据极值定理，f存在最小值y_{\min}和最大值 $y_{\max}$。那么 $f([a,b])=[y_{\min},y_{\max}]$。
连续函数把闭区间映为闭区间。
9.8 单调函数
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定义 9.8.1（单调函数）：设 $X\subseteq \mathbb R$，
f:X\to \mathbb R是函数。称
f是单调增（单调不降）的，当且仅当对于任意x,y\in X满足x<y都有 $f(x)\leq f(y)$。称
f是严格单调增的，当且仅当对于任意x,y\in X满足x<y都有 $f(x)<f(y)$。称
f是单调减（单调不升）的，当且仅当对于任意x,y\in X满足x<y都有 $f(x)\geq f(y)$。称
f是严格单调减的，当且仅当对于任意x,y\in X满足x<y都有 $f(x)>f(y)$。称
f是单调的，当且仅当f是单调增的或是单调减的。称
f是严格单调的，当且仅当f是严格单调增的或是严格单调减的。 -
引理 9.8.2：设 $X\subseteq \mathbb R$，函数
f:X\to\mathbb R是严格单调增的，那么f是X到f(X)的双射，且f^{-1}也是严格单调增的。 -
命题 9.8.3：设
I是区间，函数f:I\to \mathbb R是连续且严格单调增的。那么f^{-1}也是连续且严格单调增的。证明：对于某一点 $y_0$，为使得
x能控制在f^{-1}(y_0)附近的某一范围 $[x_l,x_r]$，任找[x_l,x)中有定义的一点并取其f值 $y_l$（若[x_l,x)中无定义，那么随便选一个<y_0的实数）并同理取出 $y_r$，那么只要y落在[y_l,y_r]范围内，对应的x总会落在[x_l,x_r]范围内，从而f^{-1}在y_0连续。
引理 9.8.2 和命题 9.8.3 对于单调减也有类似的论述。
作为对照，考虑将命题 9.8.3 中的定义域换为任意实数子集的情况：取 $f=\begin{cases}x&x<0\x-1&x\geq 1\end{cases}$，发现 f^{-1} 在 0 处并不连续。
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命题 9.8.4：设
I是区间，函数f:I\to \mathbb R是连续函数，且f是I到f(I)的双射。那么f是严格单调函数。从而根据命题 9.8.3 可知，f^{-1}是也连续且严格单调的。证明：假设
f不严格单调，不妨设存在a<b<c使得 $f(a)<f(c)<f(b)$，那么存在a<d<b使得 $f(d)=f(c)$，这与f是双射矛盾。
作为对比，该命题并不成立：设 I 是区间，函数 $f:I\to \mathbb R$，且 f 是 I 到 f(I) 的双射。设 x_0\in I 且 f 在 x_0 处连续，那么 f^{-1} 在 f(x_0) 处连续。反例如下：先取由 f(x):=x 定义的函数 $f:(-10,10)\to(-10,10)$，然后对每个质数 $p\geq 3$，找到 \frac 1p,\frac 2p,\frac 4p\cdots,\frac {2^k}p 使得 $2^k>p$（那么 $\frac{2^k}p<10$），然后将它们的 f 值做一位的轮换，即令 $f(\frac 1p):=\frac 2p,f(\frac 2p):=\frac 4p,\cdots,f(\frac{2^k}{p}):=\frac 1p$，由于 p 都是质数所以这些轮换都是互不干扰的，且 f 仍保持双射。现在 f 在 0 处仍然是连续的：对于指定的 \varepsilon>0 取 \delta=\frac{\varepsilon}2 即可，因为每个 f 值至多变为原来的两倍。而 f^{-1} 在 f(0)=0 处不是连续的：因为存在 $\varepsilon=1$，使得对于任意 $\delta>0$，都存在 y 使得 |y|<\delta 且 $f^{-1}(y)>\varepsilon$——取 y 为 (0,\delta) 中的某个 \frac 1p 即可，此时对应的 x 为对应的 $\frac{2^k}{p}>1$。
我们再举一个在每个有理数处间断而在每个无理数处连续的单调函数的例子。
首先，观察由 f(x):=\lfloor x\rfloor 定义的函数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$，该函数在每个整数处间断，而在每个非整数处连续。
现在我们仿照该思路构造目标函数。由于有理数集是可数集，于是存在双射 $g:\mathbb N\to \mathbb Q$。然后我们定义函数 f:\mathbb R\to\mathbb R 满足：
f(x):=\sum_{r\in\mathbb Q:r\leq x}2^{-g^{-1}(r)}
而 \sum\limits_{n=0}^{\infty}2^{-n} 是绝对收敛的，从而 f(x) 是定义成功的。可以证明 f 就是一个满足要求的函数。
9.9 一致连续性
-
定义 9.9.1（一致连续）：设 $X\subseteq \mathbb R$，
f:X\to \mathbb R是函数。称
f是一致连续的，当且仅当，对于任意 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使得对于任意 $x_0\in X$，对于任意x\in X且 $|x-x_0|\leq\delta$，都有 $|f(x)-f(x_0)|\leq\varepsilon$。
一致连续的函数可以理解为：可以通过 x 的靠近来任意控制 y 的靠近。
不一致连续的函数可以理解为：不论 x 怎么靠近，总存在一对 x 使得 y 无法靠近。
一致连续性并不等同于导数值有界（导数的概念将在第 10 章说明），例如由 f(x):=\sqrt x 定义的函数 f:(0,+\infty)\to\mathbb R 的导数 f'(x)=\frac{1}{2\sqrt x} 在 0 附近无界，但是它仍然是一致连续的。
-
命题 9.9.2：设 $X\subseteq \mathbb R$，
f:X\to \mathbb R是函数。那么f是一致连续的，当且仅当，对于任意(x_n)_{n=0}^{\infty}和(y_n)_{n=0}^{\infty}是由X的元素组成的等价序列，都有(f(x_n))_{n=0}^{\infty}和(f(y_n))_{n=0}^{\infty}是等价的。证明：正推较容易，证反推。反证，若存在 $\varepsilon>0$，使得对于任意 $\delta>0$，都存在
x,x_0\in X且 $|x-x_0|\leq\delta$，使得 $|f(x)-f(x_0)|>\varepsilon$。那么根据选择公理，存在序列(x_n)_{n=1}^{\infty}和 $(y_n)_{n=1}^{\infty}$，使得对于任意 $n\geq 1$，有 $x_n,y_n\in X$，|x_n-y_n|\leq\frac1n且 $|f(x_n)-f(y_n)|>\varepsilon$，那么(x_n)_{n=1}^{\infty}和(y_n)_{n=1}^{\infty}等价，但(f(x_n))_{n=1}^{\infty}和(f(y_n))_{n=1}^{\infty}不等价。矛盾。
作为对照可以看到，若 f 是连续的，那么 f 把收敛序列映成收敛序列；而若 f 是一致连续的，那么 f 把一对等价序列映到一对等价序列，不论这对等价序列是否发散，或是否收敛到定义域外。
-
命题 9.9.3：设 $X\subseteq \mathbb R$，
f:X\to \mathbb R是一致连续函数。设(x_n)_{n=0}^{\infty}是由X的元素组成的柯西序列，那么(f(x_n))_{n=0}^{\infty}也是柯西序列。证明：设
\varepsilon>0是任意正实数，存在\delta>0使得对于任意x,y\in X且|x-y|<\delta有 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$，存在N\geq 0使得对于任意n,m\geq N都有 $|x_n-x_m|<\delta$，从而 $|f(x_n)-f(x_m)|<\varepsilon$。 -
推论 9.9.4：设 $X\subseteq \mathbb R$，
f:X\to \mathbb R是一致连续函数。那么f是连续函数。设x_0是X的聚点，那么存在极限 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$。证明：结合命题 9.9.2 和命题 9.9.3 可知。
注意 9.9.3 和 9.9.4 的逆命题并不成立，例如由 f(x):=x^2 定义的函数 f:\mathbb R\to\mathbb R 并不一致连续。
-
命题 9.9.5：设有界集 $X\subseteq \mathbb R$，
f:X\to \mathbb R是一致连续函数。那么f(X)有界。证明：反证。设
f(X)是无界的。根据选择公理，存在一个序列
(x_n)_{n=0}^{\infty}满足对于任意 $n\geq 0$，x_n\in X且 $f(x_n)\geq n$。根据定理 6.6.6，存在一个子序列
(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}是收敛序列，从而根据命题 9.9.3 可知(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}也是收敛序列，但根据定义(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}是发散的。矛盾。
注意 9.9.5 的逆命题并不成立，例如由 f(x):=\sin\frac 1x 定义的函数 f:(0,1)\to\mathbb R 是有界集上的值域有界的连续函数，但它并不一致连续。
-
定理 9.9.6：设有界闭集 $X\subseteq \mathbb R$，连续函数 $f:X\to\mathbb R$。那么
f是一致连续函数。证明：反证。若
f不是一致连续函数，那么存在 $\varepsilon>0$，使得对于任意 $\delta>0$，都存在x,x_0\in X且 $|x-x_0|\leq\delta$，满足 $|f(x)-f(x_0)|>\varepsilon$。根据选择公理，存在序列
(x_n)_{n=1}^{\infty}和(y_n)_{n=1}^{\infty}满足对于任意 $n\geq 1$，有 $x_n,y_n\in X$，|x_n-y_n|\leq\frac1n且 $|f(x_n)-f(y_n)|>\varepsilon$。根据定理 9.1.13，存在一个子序列
(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}收敛到 $x\in X$，那么(y_{n_i})_{i=0}^{\infty}也收敛到 $x$，那么应有 $(f(x_{n_i})){i=0}^{\infty}=(f(y{n_i}))_{i=0}^{\infty}=f(x)$，但显然(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}和(f(y_{n_i}))_{i=0}^{\infty}不等价，矛盾。 -
引理 9.9.7（函数复合保持一致连续性）：设 $X,Y,Z\subseteq \mathbb R$，
f:X\to Y和g:Y\to Z都是一致连续函数。那么g\circ f:X\to Z也是一致连续的。证明：设
\varepsilon_1>0是任意正实数。存在\varepsilon_2>0使得对于任意y,y_0\in Y且 $|y-y_0|\leq\varepsilon_2$，都有 $|g(y)-g(y_0)|\leq\varepsilon_1$。存在\varepsilon_3>0使得对于任意x,x_0\in X且 $|x-x_0|\leq\varepsilon_3$，都有 $|f(x)-f(x_0)|\leq\varepsilon_2$，从而 $|g(f(x))-g(f(x_0))|\leq\varepsilon_1$。证毕。
我们之前说了 9.9.3 和 9.9.4 的逆命题并不成立，但对于有界集上的函数这两个命题的逆命题是成立的。
-
引理 9.9.8：设
f:X\to\mathbb R是有界集X上的函数，那么f是一致连续的，当且仅当对任意(x_n)_{n=0}^{\infty}是由X的元素组成的柯西序列，(f(x_n))_{n=0}^{\infty}也是柯西序列。证明：假设
f不一致连续，那么存在正实数\varepsilon>0和X上的序列(x_n)_{n=0}^{\infty}和 $(y_n)_{n=0}^{\infty}$，满足对于任意n\geq 0有|x_n-y_n|\leq \frac{1}{n}且 $|f(x_n)-f(y_n)|\geq\varepsilon$。根据定理 6.6.6，存在一个子序列
(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}收敛，从而将(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}和(y_{n_i})_{i=0}^{\infty}奇偶交错混合到一起后也是个收敛的序列，从而(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}和(f(y_{n_i}))_{i=0}^{\infty}奇偶交错混合到一起后也是个收敛的序列，这说明(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}和(f(y_{n_i}))_{i=0}^{\infty}都应收敛到同一个数，矛盾。 -
引理 9.9.9：设
f:X\to\mathbb R是有界集X上的函数，那么f是一致连续的，当且仅当f连续且在X的任意聚点x_0处存在极限 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$。证明：假设
f不一致连续，那么存在正实数\varepsilon>0和X上的序列(x_n)_{n=0}^{\infty}和 $(y_n)_{n=0}^{\infty}$，满足对于任意n\geq 0有|x_n-y_n|\leq \frac{1}{n}且 $|f(x_n)-f(y_n)|\geq\varepsilon$。根据定理 6.6.6，存在一个子序列
(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}收敛，设其收敛到 $x_0$，则(y_{n_i})_{i=0}^{\infty}也收敛到 $x_0$。可以看出x_0是X的附着点，从而f在x_0处存在极限 $L$，根据命题 9.3.2 和 9.4.2，(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}和(f(y_{n_i}))_{i=0}^{\infty}都应收敛到 $L$，矛盾。
9.10 在无限处的极限、极限语言的统一
-
定义 9.10.1（无限附着点）：设 $X\subseteq \mathbb R$。称
+\infty是附着于X的，当且仅当X无上界。称-\infty是附着于X的，当且仅当X无下界。 -
定义 9.10.2（在无限处的极限）：设
X\subseteq \mathbb R且+\infty是X的附着点，f:X\to \mathbb R是函数。称当
x\to+\infty时f(x)收敛到 $L$，记作 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=L$，当且仅当对于任意 $\varepsilon>0$，都存在 $M$，使得对于任意x\in X且 $x>M$，都有 $|f(x)-L|\leq\varepsilon$。称当
x\to-\infty时f(x)收敛到 $L$，记作 $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=L$，当且仅当对于任意 $\varepsilon>0$，都存在 $M$，使得对于任意x\in X且 $x<M$，都有 $|f(x)-L|\leq\varepsilon$。
容易看出，序列的极限的定义是相容于函数在无限处的极限的定义的。
可以查觉到，序列的极限和函数的极限、函数在某点处和函数在无限处的极限，存在着大量相似的语言和结论。现在我们打算用一种语言把它们统一到一起，这其中最关键的，就是邻域的概念，有了邻域我们就能定义极限。
-
定义 9.10.4（邻域）：设 $x_0\in\mathbb R$。定义：
x_0的邻域是一个含x_0的开区间 $J$，去心邻域是一个含x_0的开区间J去掉\{x_0\}的结果。x_0^+的邻域是一个区间 $[x_0,x_0+\delta)$，去心邻域是一个开区间 $(x_0,x_0+\delta)$，其中 $\delta>0$。x_0^-的邻域是一个区间 $(x_0-\delta,x_0]$，去心邻域是一个开区间 $(x_0-\delta,x_0)$，其中 $\delta>0$。+\infty的邻域和去心邻域都是一个开区间 $(a,+\infty)$，其中 $a\in\mathbb R$。-\infty的邻域和去心邻域都是一个开区间 $(-\infty,b)$，其中 $b\in\mathbb R$。\infty的邻域和去心邻域都是 $(-\infty,b)\cup(a,+\infty)$，其中 $b,a\in\mathbb R$。其中
+\infty,-\infty是已经被定义过的\mathbb R^*中的元素，而\infty被称为无符号无穷大。+\infty,-\infty,\infty被统称为无穷大。设 $X\subseteq\mathbb R$，定义 $X^{\sigma}:=X\cup{x^+:x\in X}\cup{x^-:x\in X}$。
称
c有邻域，当且仅当 $c\in\mathbb R^{\sigma}\cup{+\infty,-\infty,\infty}$。 -
定义 9.10.5（极限）：设 $X\subseteq\mathbb R$，
f:X\to\mathbb R是函数，c,A有邻域，且c的任意去心邻域与X的交非空。定义 $\lim\limits_{x\to c}f(x)=A$，当且仅当，对于任意A的邻域 $W$，总存在c的去心邻域 $V$，使得对于任意x\in V\cap X有 $f(x)\in W$。
注意，当 \lim\limits_{x\to c}f(x) 是无穷大时，我们仍说 f 在 c 处是发散、不收敛的。
-
定义 9.10.6（同号、异号）：记
x_0,x_0^+,+\infty的符号为正，其中x_0是正实数。记x_0,x_0^-,-\infty符号为负，其中x_0为负实数。设
A,B都有邻域。称A,B是同号的，当且仅当A,B都有符号且符号相同。称A,B是异号的，当且仅当A,B都有符号且符号相异。 -
引理 9.10.7（极限算律）：设 $X\subseteq\mathbb R$，
f,g:X\to\mathbb R是函数，c,A,B有邻域，且c的任意去心邻域与X的交非空，\lim\limits_{x\to c}f(x)=A且 $\lim\limits_{x\to c}g(x)=B$。那么：\begin{aligned} \lim_{x\to c}(f+g)(x)&= \begin{cases} A+B&A,B\in\mathbb R^{\sigma}\\ +\infty&+\infty\in\{A,B\}\land-\infty,\infty\not\in\{A,B\}\\ -\infty&-\infty\in\{A,B\}\land+\infty,\infty\not\in\{A,B\}\\ \infty&A,B\text{ 中一个为 }\infty\text{，一个属于 }\mathbb R\\ \text{未定型}&A,B\text{ 是两个非同号的无穷大} \end{cases}\\ \lim_{x\to c}(fg)(x)&= \begin{cases} AB&A,B\in\mathbb R^{\sigma}\\ +\infty&A,B\text{ 同号且包含无穷大}\\ -\infty&A,B\text{ 异号且包含无穷大}\\ \infty&A,B\text{ 其中一个非零，另一个为 }\infty\\ \text{未定型}&A,B\text{ 其中一个为零，另一个为无穷大} \end{cases} \end{aligned}若
c的任意去心邻域与\{x\in X:f(x)\neq 0\}的交非空，那么：\lim_{x\to c}\frac{1}{f}(x)= \begin{cases} \frac{1}{A}&A\in\mathbb R^{\sigma}\setminus\{0\}^{\sigma}\\ \infty(+\infty,-\infty)&A=0(0^+,0^-)\\ 0(0^+,0^-)&A=\infty(+\infty,-\infty) \end{cases}其中，当
A,B\in\mathbb R^{\sigma}和C\in\mathbb R^{\sigma}\setminus\{0\}^{\sigma}时，A+B,AB,\frac{1}{C}的定义我们在此略去，它们根据该引理自然地成为合理的结果。例如：- 当
A,B\in\mathbb R时，A+B直接相容于实数的加法定义。 - 当
A=a^+,B=b^+时，$A+B=(a+b)^+$。 - 当
A=a^+,B=b^-时，$A+B=a+b$。 - 当
A=a^+,B=b^-且a\geq 0,b\leq 0时，$AB=(ab)^-$。 - 当
C=c^+且c<0时，$\frac{1}{C}=(\frac{1}{c})^-$。
其中乘法和逆的判别方法一般是将绝对值和正负性结合考虑。
- 当
-
引理 9.10.8（极限复合）：设 $X,Y\subseteq\mathbb R$，$f:X\to Y$，
g:Y\to\mathbb R是函数，c,A,B有邻域。若下面两者中任意一者成立：c的任意去心邻域与X的交非空。对于任意A的去心邻域 $W$，总存在c的去心邻域 $V$，使得对于任意x\in V\cap X有 $f(x)\in W$。$\lim\limits_{y\to A}g(y)=B$。- $\lim\limits_{x\to c}f(x)=A$。
A的任意邻域与Y的交非空。对于任意B的去心邻域 $W$，总存在A的邻域 $V$，使得对于任意y\in V\cap Y有 $g(y)\in W$。
那么 $\lim\limits_{x\to c}(g\circ f)(x)=B$。
9.11 渐进式
渐进式一般用来研究无穷小和无穷大的阶数问题——同样是收敛到 0 或发散到无穷大，其实也可以更加细分。例如在 x\to +\infty 时 x^2 明显比 x 发散得快得多，我们就可以用阶的语言来描述。同时，这样的细分在我们研究 $0/0$、\infty/\infty 或者 (+\infty)+(-\infty) 等等 9.10.7 中提及的未定型的极限时也有帮助。
- 定义 9.11.1（大 $O$）：设 $X\subseteq Y\subseteq \mathbb R$，函数
f:X\to\mathbb R和 $g:Y\to\mathbb R$，c有邻域且c的任意去心邻域与X的交非空。称当x\to c时，$f=O(g)$，当且仅当存在正实数M>0和c的去心邻域 $V$，使得对于任意x\in V\cap X有 $|f(x)|\leq M|g(x)|$。
注意，这里的等号实际上是属于的意思（毕竟显然不能通过 f_1=O(g) 和 f_2=O(g) 得到 $f_1=f_2$），而 O(g) 实质上也是一个集合：
\bigcup_{X\subseteq Y:\ c\text{的任意非空邻域与}X\text{的交非空}}\bigg\{f\in\mathbb R^{X}:\text{存在正实数 }M>0\text{ 和 }c\text{ 的非空邻域 }V\text{，使得对于任意 }x\in V\cap X\text{ 有 }|f(x)|\leq M|g(x)|\bigg\}
但出于习惯和历史问题，我们现在仍然使用 = 这个记号。但为了保证正确性，我们保证等号右边的一定是个集合（注意，形如 O(g) 的记号也是集合），而当等号左边是个函数时，该等号就表示 $\in$；当等号左边是个集合时，该等号表示 $\subseteq$。下面的大 \Theta 和小 o 也是类似的。
大 O 记号有很多显然的规则。
-
引理 9.11.2（大
O算律）：设 $Y\subseteq\mathbb R$，函数 $f,g:Y\to\mathbb R$，c有邻域且c的任意去心邻域与Y的交非空。设 $k\in\mathbb R\setminus{0}$，那么：\begin{aligned} f&=O(f)\\ O(O(f))&=O(f)\\ O(kf)&=O(f)\\ O(f)+O(g)&=O(|f|+|g|)\\ O(f)O(g)&=O(fg)\\ O(fg)&=f\cdot O(g) \end{aligned}
在实际应用中，还会用到其他的一些大 O 的运算法则（比如上面很多式子反过来也是成立的），就不再详细列举，因为它们往往都是根据定义不难证明的。下面介绍大 \Theta 和小 o 时也是类似的。
-
定义 9.11.3（大 $\Theta$、同阶）：设 $X\subseteq\mathbb R$，函数 $f,g:X\to\mathbb R$，
c有邻域且c的任意去心邻域与X的交非空。称当x\to c时，f与g同阶（也记为 $f=\Theta(g)$），当且仅当f=O(g)且 $g=O(f)$。即存在
M>0和c的去心邻域 $V$，使得对于任意x\in V\cap X有 $\frac{1}{M}|g(x)|\leq|f(x)|\leq M|g(x)|$。 -
引理 9.11.4（大
\Theta算律）：引理 9.11.2 的论述将O替换为\Theta后仍然成立。证明：由于大
\Theta的定义可以理解为，只是在大O的定义上多加了|f(x)|\geq \frac{1}{M}|g(x)|的限制，这和|f(x)|\leq M|g(x)|很对称，所以可以类似证明。 -
推论 9.11.5（同阶是等价关系）：同阶满足自反性、对称性、传递性。
证明：传递性：若 $f=O(g),g=O(h)$，那么 $f=O(g)=O(O(h))=O(h)$，反过来同理可证 $h=O(f)$。
若两个函数的比值存在非零极限，那么这两个函数同阶，但注意这不是必要条件。
-
定义 9.11.6（小 $o$）：设 $X\subseteq Y\subseteq \mathbb R$，函数
f:X\to\mathbb R和 $g:Y\to\mathbb R$，c有邻域且c的任意去心邻域与X的交非空。称当x\to c时，$f=o(g)$，当且仅当对任意正实数 $\varepsilon>0$，存在c的去心邻域 $V$，使得对于任意x\in V\cap X有 $|f(x)|\leq \varepsilon|g(x)|$。 -
引理 9.11.7（小
o算律）：设 $Y\subseteq\mathbb R$，函数 $f,g:Y\to\mathbb R$，c有邻域且c的任意去心邻域与Y的交非空。设 $k\in\mathbb R\setminus{0}$，那么：\begin{aligned} o(kf)&=o(f)\\ o(O(f))&=o(f)\\ O(o(f))&=o(f)\\ o(f)&=O(f)\\ o(f)+o(g)&=o(|f|+|g|)\\ O(f)o(g)&=o(fg)\\ o(fg)&=f\cdot o(g) \end{aligned} -
引理 9.11.8：设 $X\subseteq Y\subseteq \mathbb R$，函数
f:X\to\mathbb R和 $g:Y\to\mathbb R$，c有邻域且c的任意去心邻域与X的交非空。那么下面两个命题等价：- 当
x\to c时，$f=o(g)$。 - 存在
c的去心邻域V使得对于任意x\in V\cap X有 $g(x)=0\implies f(x)=0$。若c的任意去心邻域与\{x\in X:g(x)\neq 0\}的交非空，那么 $\lim\limits_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=0$。
- 当
从引理 9.11.8 可以看出，f=o(g) 几乎和 \lim\limits_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=0 等价，这和 f=\Theta(g) 不同。
当我们在讨论两个函数 f,g 在 c 附近的阶的关系的时候，一般来说 f,g 的函数值会涉及到无穷大或无穷小，因为若 f 在 c 附近有界且远离零，那么 $f=\Theta(1)$，从而讨论 f 与其他函数的阶的关系是很平凡的。
-
定义 9.11.9（函数等价）：设 $X\subseteq\mathbb R$，函数 $f,g:X\to\mathbb R$，
c有邻域且c的任意去心邻域与X的交非空。称当x\to c时，f与g等价，当且仅当 $f=g+o(g)$。即对于任意正实数 $\varepsilon>0$，存在
c的去心邻域 $V$，使得对于任意x\in V\cap X有 $|f(x)-g(x)|\leq\varepsilon|g(x)|$。 -
引理 9.11.10：设 $X\subseteq\mathbb R$，函数 $f,g:X\to\mathbb R$，
c有邻域且c的任意去心邻域与X的交非空。那么下面几个命题等价：- 当
x\to c时，f与g是等价的。 - 存在
c的去心邻域V使得对于任意x\in V\cap X有 $g(x)=0\implies f(x)=0$。若c的任意去心邻域与\{x\in X:g(x)\neq 0\}的交非空，那么 $\lim\limits_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=1$。 - 存在
c的去心邻域V使得对于任意x\in V\cap X有 $f(x)=0\iff g(x)=0$。若c的任意去心邻域与\{x\in X:g(x)\neq 0\}的交非空，那么 $\lim\limits_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=1$。 - 存在
c的去心邻域V使得对于任意x\in V\cap X有 $f(x)=0\iff g(x)=0$。若c的任意去心邻域与\{x\in X:f(x)\neq 0\}的交非空，那么 $\lim\limits_{x\to c}\frac{g(x)}{f(x)}=1$。 - 当
x\to c时，g与f是等价的。
证明：1<->2：利用引理 9.11.8。
1->3：存在
c的去心邻域 $V$，使得对于任意x\in V\cap X有 $|f(x)-g(x)|\leq \frac{1}{2}|g(x)|$，那么若 $f(x)=0$，则有 $|g(x)|\leq \frac{1}{2}|g(x)|$，则必有 $g(x)=0$。3->2：显然。
3->4：由于存在
c的去心邻域V使得邻域内有 $f(x)=0\iff g(x)=0$，所以对于c的任意去心邻域 $W\subseteq V$，$W\cap {x\in X:g(x)\neq 0}=W\cap {x\in X:f(x)\neq 0}$，再根据极限的局部性，以及极限的算律，可以证明 $\lim\limits_{x\to c}\frac{g(x)}{f(x)}=1$。4->3：类似 3->4。
4<->5：利用 1<->3。
- 当
-
引理 9.11.11（函数等价是等价关系）：定义 9.11.9 所述的关系满足自反性、对称性、传递性。
证明：传递性：若 $f=g+o(g),g=h+o(h)$，那么 $f=g+o(g)=h+o(h)+o(h+o(h))=h+o(h)+o(O(h))=h+o(h)+o(h)=h+o(h)$。反过来同理可证 $h=f+o(f)$。
我们将在习题篇中看到阶的具体应用。