lcw-analyze/第3章 集合论.md

几乎所有数学分支领域都将集合论作为其基础。因此在学习高级的数学领域之前，学习集合论中的一些基础概念是非常重要的。本章中，我们将给出公理集合论中的部分（较为初等）的内容，并介绍集合论中的一些概念和记号，他们通常广泛而频繁地被用到。

3.1 基本事项

首先，集合是一个不加定义的原始概念，这意味着我们不打算构造出集合这个概念，而是使用公理来规范化它。我们并不会知道什么是集合，我们只是列出集合可以进行的运算和性质。我们认为，一个集合始终是一个对象。

然后我们定义一个对象 o 和集合 A 之间的二元关系 $\in$，且称 o\in A 为 “o 属于 $A$” 或 “A 包含 $o$” 或 “o 是 A 的元素”。特别地，由于集合是对象，询问一个集合是否属于另一个集合是有意义的。

注：根据定义，“集合内不能有重复的元素” 这种说法是荒谬的。而下文中，“A 的每个元素都……” 的含义是 “对于任意的对象 x 满足 x 是 A 的元素，x 都满足……”。即，我想强调的是，“元素”描述的是一种关系，而不是一个对象。

纯粹集合论认为一切对象都是集合。从逻辑学的角度来看，纯粹集合论确实是一种更加简单的理论，人们只需要处理集合，而无需考虑其他对象。然而我们从概念角度来说，不纯粹的集合论的处理更加容易（例如，纯粹集合论可以把 0 看做 $\varnothing$，1 看做 $\left{\varnothing\right}$，2 看做 $\left{\left{\varnothing\right}\right}$，以此类推）。单纯从应用的角度来看，两种想法集合是等价的。因此，对于一切对象是否都是集合，我们采取不可知的态度。即我们既不添加公理确认这一点，也不添加公理否认这一点，而在现在的公理体系中，命题“一切对象都是集合”是未决的（不能证明也不能推翻）。

我们先在 \in 的基础之上扩展一些集合间的二元关系。

• 定义 3.1.1（子集）：设 A,B 是集合，定义 $A\subseteq B$（称为 “A 是 B 的子集” 或 “A 包含于 $B$” 或 “B 包含 $A$"），当且仅当 A 的每个元素都是 B 的元素。形式化地说 $A\subseteq B\iff\forall_{x\in A}x\in B$。

  定义 $A\subsetneq B$（称为 “A 是 B 的真子集” 或 “A 真包含于 $B$” 或 “B 真包含 $A$"），当且仅当 A\subseteq B 且 $B\nsubseteq A$。

• 命题 3.1.2（集合的包含关系的基本性质）：设 A,B,C 为集合，那么：

  • 自反性：$A\subseteq A$。

  证明：根据定义可得。

  • 传递性：若 A\subseteq B 且 $B\subseteq C$，则 $A\subseteq C$。

    证明：根据定义，A 的每个元素都是 B 的元素，B 的每个元素都是 C 的元素，那么 A 的每个元素都是 C 的元素。

  • 混合传递性：若 A\subsetneq B 且 $B\subseteq C$，则 $A\subsetneq C$；若 A\subseteq B 且 $B\subsetneq C$，则 $A\subsetneq C$。

    证明：两者类似，证前面那个。首先 A\subseteq B 且 B\subseteq C 可知 $A\subseteq C$，然后由于 $B\nsubseteq A$，故存在一个对象 x 满足 x 是 B 的元素而非 A 的元素，又 B 的元素都是 C 的元素，故存在一个对象 x 满足 x 是 C 的元素而非 A 的元素，故 $C\nsubseteq A$，那么 $A\subsetneq C$。

集合的真包含关系显然是一种偏序关系，因为我们知道对于任意两个集合 A 和 $B$，不可能同时成立 A\subsetneq B 和 $B\subsetneq A$。但是真包含关系与我们定义在自然数上的小于关系 < 的不同之处在于，后者是一种全序关系。在满足偏序性质的基础上，我们还知道对于两个不相等的数 a 和 $b$，要么成立 $a>b$，要么成立 $b>a$。对于集合的真包含关系而言，这一条性质是不满足的。考虑集合 A=\left\{1,2\right\} 和 $B=\left{2,3\right}$，它们既不相等，也没有哪一个是另一个的真子集。我们将在第8章更正式地讨论偏序集。

• 定义 3.1.3（集合之相等）：设 A,B 是集合，定义 $A=B$（称为 A,B 相等），当且即当 A\subseteq B 且 $B\subseteq A$。

• 命题 3.1.4（集合的相等关系的基本性质）：设 A,B,C 为集合，那么：

  • 自反性：$A=A$。

    证明：根据命题 3.1.2 可知 $A\subseteq A$。

  • 对称性：若 $A=B$，则 $B=A$。

    证明：根据定义可知。

  • 传递性：若 $A=B,B=C$，则 $A=C$。

    证明：根据命题 3.1.2 可知 A\subseteq C 且 $C\subseteq A$。

可以证明 “若 $A=B$，则 $x\in A\iff x\in B$”，即集合关于命题 “某个对象 x 是否属于该集合 ” 遵从代入公理。

• 引理 3.1.5（集合构造的唯一性）：若存在集合 $S$，满足 $x\in S\iff P(x)$，其中 P(x) 是某个关于任意对象 x 的命题，那么 S 唯一。

  证明：若存在两个集合 S,S' 都满足条件，那么 $x\in S\iff P(x)\iff x\in S'$，于是 $S=S'$。

接下来运用公理构建集合时，我们都使用该引理来说明构建的集合的唯一性。

类似自然数，我们将从空集开始，然后借助几个运算公理化更多的集合。

• 公理 3.1.6（空集）：存在一个集合 $\varnothing$（空集），对于任意的 $x$，$x\not\in \varnothing$。

• 公理 3.1.7（单元素集）：对于任意一个对象 $a$，存在一个集合 ${a}$，它唯一的元素是 $a$。称这样的集合为单元素集。

• 公理 3.1.8（双并）：对于两个集合 $A,B$，存在一个集合 $A\cup B$，称为 A 和 B 的并，其元素由属于 A 或属于 B 的一切元素组成。即，对于任意对象 $x$，

  
  x\in A\cup B\iff (x\in A \lor x\in B)
  

容易证明并运算满足交换律和结合律。容易证明 $A\cup \varnothing=A$。

根据双并公理，我们可以定义双元素集：

• 定义 3.1.9（双元素集）：若 a 和 b 是两个对象，根据双并公理，存在一个集合 ${a,b}={a}\cup{b}$，其仅有的元素是 a 和 $b$。即，对于每个对象 $y$，有 $y\in{a,b}\iff (y\in a\lor y\in b)$。

类似地，我们可以定义三元素集、四元素集，依此类推。我们现在已经可以构造很多集合了，至少像类似于 \{1,2,3,4,5\} 这种其中元素能直接列举出来的集合，我们都是能证明该集合是存在的。

但另一方面，我们还不能对于任意给定的自然数 n 定义由 n 个对象组成的集合。这将要求重复使用双并公理 n 次，然而 n 次重复的概念尚不曾被严格地定义。根据类似的理由，我们也还不能定义由无限多个对象组成的集合。

我们需要一个公理来引入无限集合：

• 公理 3.1.10（无限）：存在一个集合 $\mathbb{N}$，其元素叫作自然数，满足 0 是 \mathbb{N} 中的一个对象，并且对于任意 $n\in\mathbb{N}$，由 n 所指定的满足皮亚诺公理的对象 n++ 也在 \mathbb{N} 中。

这是假设 2.1.6 的更正式的形式。自然数集引入了无限集合的一个最基本的例子。

现在我们想找到一个这样的集合，满足所有大于等于某个自然数 y 的自然数都属于它，这需要我们再引入一个公理：

• 公理 3.1.11（分类公理）：设 A 是一个集合，并对于每个 $x\in A$，设 P(x) 是一个关于 x 的命题。那么存在一个集合 ${x\in A:P(x)}$（或 ${x\in A|P(x)}$），它的元素恰恰是 A 中使 P(x) 成立的 $x$。即，对于任意对象 $y$，

  
  y\in\{x\in A:P(x)\}\iff (y\in A\land P(y))
  

分类可以看成关于集合 A 和命题 P 的运算。可以证明 “若 $A=B$，则 ${x\in A:P(x)}={x\in B:P(x)}$”，即集合关于分类运算遵从代入公理。

为了方便指明一个数集的连续一段，我们使用记号 A_{l..r} 表示 ${x\in A:l\leqslant x\leqslant r}$，特别地，我们记 $A_{l..}:={x\in A:l\leqslant x},A_{..r}:={x\in A:x\leqslant r}$。

利用分类运算和分类公理，我们可以定义集合的其他一些运算。

• 定义 3.1.12（交）：两个集合 A 和 B 的交 A\cap B 定义为集合 ${x\in A:x\in B}$。根据分类公理，A\cap B 存在。

  定义两个集合是不交的，当且仅当 $A\cap B=\varnothing$。

• 定义 3.1.13（差集）：两个集合 A 和 B 的差 A\setminus B 定义为集合 ${x\in A:x\not\in B}$。根据分类公理，A\setminus B 存在。

• 命题 3.1.14（集合构成一个布尔代数）：

  设 A,B,C,X 均为集合，且满足 $A,B,C\subseteq X$。

  1. 最小元：A\cup\varnothing=A 以及 $A\cap\varnothing=\varnothing$；
  2. 最大元：A\cup X=X 以及 $A\cap X=A$；
  3. 恒等式：A\cup A=A 以及 $A\cap A=A$；
  4. 交换律：A\cup B=B\cup A 以及 $A\cap B=B\cap A$；
  5. 结合律：A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C 以及 $A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C$；
  6. 分配律：A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C) 以及 $A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$；
  7. 分差法则：A\cup(X\setminus A)=X 以及 $A\cap(X\setminus A)=\varnothing$；
  8. 摩根定律：$X\setminus(A\cup B)=(X\setminus A)\cap(X\setminus B)$。

这些公理还不能满足我们的要求，比如我们不能定义一个集合，满足 \{0\},\{1\},\cdots 都属于这个集合，这又需要一个新的公理：

• 公理 3.1.15（替换公理）：设 A 是一个集合，P(x,y) 是关于任意对象 x\in A 和任意对象 y 的命题，且满足对于每个 x\in A 存在至多一个 y 使得 P(x,y) 成立。那么存在一个集合 ${y:\exists_{x\in A},P(x,y)}$，使得对于任何对象 z

  
  z\in\{y:\exists_{x\in A},P(x,y)\}\iff \exists_{x\in A},P(x,z)
  

  我们常把形如 \{y:\exists_{x\in A},y=f(x)\} 的集合简写成 ${f(x):x\in A}$。

注意到，替换公理蕴含分类公理，我们只需令 P(x,y)\iff x=y\land Q(x) 即可构造出集合 ${x\in A:Q(x)}$。

3.2 万有分类公理

从分类公理更进一步，我们考虑拓展出一个新的公理并将其加入集合论公理之中：

• 公理 3.2.1（万有分类公理）：设 P(x) 是关于任意对象 x 的命题，那么存在一个集合 ${x:P(x)}$，使得对于任何对象 $y$，

  
  y\in\{x:P(x)\}\iff P(y)
  

该公理断言每个性质对应一个集合，这也就是朴素的集合思想。这个公理蕴含了我们已经讨论过的公理，但这个公理不能被引入集合论，因为它引出了一个逻辑上的矛盾：

罗素悖论：

根据万有分类公理，有集合：

\Omega:=\{x:\text{$x$是集合且$x\not\in x$}\}

即一切不以自己为元素的集合的集合。那么现在问 \Omega 是否属于 $\Omega$，发现不管 \Omega 是否属于 $\Omega$，都会引出矛盾。

为了解决这个悖论，我们考虑把对象按照一定的层次结构排列。在层级结构最底层的是原始对象（不是集合的对象），在下一层次中则存在一些集合，但是这些集合的元素只能是原始对象。以此类推，一层次中存在的集合只能包含之前层次中的对象。这种想法引导出了正则公理。

• 公理 3.2.2 （正则公理） ：对于一个非空的集合 $A$，A 中至少存在一个元素 x 满足 x 不是集合或 $A\cap x=\varnothing$。

正则公理的一个重要推论是一个集合不能包含其本身，但是可以包含其他（更低层次的）集合。这使得我们排除了罗素悖论中定义的集合 $\Omega$。

• 命题 3.2.3（集合不能包含其本身）：设 A 为一个集合，那么 $A\not\in A$。

  证明：反证。假设存在一个集合 $A$，满足 $A\in A$。根据单元素公理，存在一个集合 $B=\left{A\right}$。B 是一个非空的集合，因此根据正则公理，应该存在 $x\in B$，满足 x 不是集合或 $A\cap x=\varnothing$，但是集合 B 作为单元素集，只有 $A\in B$，而 A 是一个集合，且 $A\cap B=A$，故 B 集合违反正则公理，矛盾，假设不成立。原命题得证。

但正则公理跟我们刚刚的设想 “层次结构” 有什么关系呢？可以这么理解：若我们刚刚所述的 “层次结构” 存在，那么对于一个集合 $A$，设其所有元素中，所在层次最小的那个元素为 $x$，它所在的层次为 $k$，那么考虑 x\cap A 中的元素，它们所在的层次一定小于 x 所在的层次（即 $k$），那么 x\cap A 一定为空（即正则公理成立），否则与 “x 是 A 中层次最小的元素” 矛盾。

注意上述过程中，x 是一定找得到的，因为我们的 “层次结构” 是从第 0 层（原始对象）开始的，不存在无限小的层次结构。而正则公理就可以说明类似的一点：

• 命题 3.2.4（不存在无限递降的集合序列）：不存在无限集合序列 a_n 使得对于所有的 $i$，a_{i+1} 是 a_i 的元素。

  证明：反证。若存在这样的无限集合序列 $a$，根据替换公理定义集合 $S:={a_n:n\in\mathbb N}$。根据正则公理，存在 $a_k\in S$，使得 $a_k\cap S$，但显然始终有 $a_{k+1}\in a_k\cap S$，矛盾。

事实上，命题 3.2.4 蕴含了正则公理，感性的证明就是我们上面的那一大段话，严谨的证明需要用到选择公理，我们暂且搁置。

3.3 函数

• 定义 3.3.1（函数/映射/变换）：设 X,Y 是集合，P(x,y) 是关于任意对象 x\in X 和任意对象 y\in Y 的命题，使得对于每个对象 x\in X 存在恰好一个 y\in Y 使得 P(x,y) 成立（此时我们称 P 满足垂线判别法）。那么我们定义由 P 在 X 和 Y 上确定的函数 f:X\to Y 是这样的对象，它对于任意的输入 $x\in X$，将指定一个输出 $f(x)\in Y$，满足

  
  y=f(x)\iff P(x,y)
  

  根据 P(x,y) 的定义，对于任意 $x\in X$，f(x) 存在且唯一。

  定义函数 f 的定义域为 $X$，对应域为 $Y$，值域为 $f(X):={f(x):x\in X}$，那么值域为对应域的子集。

有时我们在定义函数时，为了方便，在确定完其定义域 X 后，直接指定从输入 x 得到输出 f(x) 的过程（procedure）（即如何从 x 得到 $f(x)$）来定义 $f$。其真正的过程如下：在确定完定义域 X 之后，先定义 P(x,y) 表示命题 “y 是 x 经过 procedure 过程得到的结果”，若未给出对应域，再令对应域为 $Y:={y:\exists_{x\in X},P(x,y)}$（可以发现此时对应域和值域相等），然后再定义 f 为由 P 在 X 和 Y 上确定的函数。

易证对象关于函数遵从代入公理：如果 $x=x'$，那么 $f(x)=f(x')$。当然前提是 x 关于 P(x,y) 遵从代入公理。

有时函数的变元用下标来表示以取代括号，如，一个自然数序列 a_0,a_1,\cdots 严格地说是一个从 \mathbb N 到 \mathbb N 的函数，而 a_n 其实就是 $a(n)$。

• 定义 3.3.2（函数相等）：对于两个函数 f 和 $g$，称它们是相等的（记为 $f=g$），当且仅当它们含有相同的定义域 X 和对应域 $Y$，且对于任意 $x\in X$，$f(x)=g(x)$。

容易验证函数相等是自反、传递、对称的。

对于函数，一个基础性的可执行的运算是复合。

• 定义 3.3.3（复合）：设 f:X\to Y 和 g:Y\to Z 是两个函数，其中 f 的对应域等于 g 的定义域。那么可以定义两个函数 g 与 f 的复合：

  
  (g\circ f)(x):=g(f(x))
  

  容易证明，对于任意 $x\in X$，g(f(x)) 存在且唯一。

易证函数关于复合遵从代入公理：如果 $f=f'$，那么 $g\circ f=g\circ f'$；如果 $g=g'$，那么 $g\circ f=g'\circ f$。

• 引理 3.3.4（复合是结合的）：$f\circ \left(g\circ h\right)=(f\circ g)\circ h$。证明：根据定义可知。

我们再来描述其他一些有关函数的概念。

• 定义 3.3.5（单射）：一个定义域为 X 的函数 f 是单射当且仅当对于任意的 x\in X 和任意的 $x'\in X$，若 $x\neq x'$，则 $f(x)\neq f(x')$。

• 定义 3.3.6（满射）：一个定义域为 X 对应域为 Y 的函数 f 是满射当且仅当 $Y=f(X)$。

• 定义 3.3.7（双射/一一对应）：一个函数是双射的当且仅当它既是单射的，又是满射的。

  该定义也等价于，对于每个 $y\in Y$，恰有一个 x\in X 使得 $f(x)=y$（至多一个意味着单射，至少一个意味着满射），记为 $f^{-1}(y)$，那么 f^{-1} 就是一个从 Y 到 X 的函数。此时称 f^{-1} 为 f 的逆。

3.4 象和逆象

• 定义 3.4.1（集合的象）：设函数 $f:X\to Y$，设 S 是 X 的一个子集，定义 S 在映射 f 下的象为

  
  f(S):=\{f(x):x\in S\}
  

• 定义 3.4.2（逆象）：设 T 是 Y 的一个子集，定义 T 在映射 f 的逆象为

  
  f^{-1}(T):=\{x\in S:f(x)\in T\}
  

注意函数也是对象，特别地我们可以考虑函数的集合，这里我们向考虑从一个集合 X 到一个集合 Y 的一切函数组成的集合。为此，我们引入公理：

• 公理 3.4.3（幂集公理）：设 X 和 Y 是集合，那么存在一个集合 $Y^X$，满足 f\in Y^X 当且仅当 f 是一个以 X 为定义域以 Y 为对应域的函数。

此公理的一个结果是：

• 引理 3.4.9（幂集存在性）：设 X 是一个集合，那么存在集合 ${Y:Y\subseteq X}$（也记作 $2^X$，称为 X 的幂集），使得对于任意对象 Z

  
  Z\in\{Y:Y\subseteq X\}\iff Z\subseteq X
  

  证明：设集合 $Y={0,1}$。

  设 P(f,S) 是关于映射 f\in Y^X 和任意对象 S 的命题，满足 P(f,S) 为真当且仅当 S 是 X 的子集且 $\forall_{x\in X},f(x)=1\iff x\in S$。

  根据引理 3.1.5，容易证明，对于每个 $f\in Y^X$，都恰好存在唯一的 S:=\{x\in X:f(x)=1\} 使得 P(f,S) 为真。

  根据替换公理，存在集合 $A:={S:\exists_{f\in Y^X},P(f,S)}$。那么 $Z\in A\implies Z\subseteq X$。

  为证 $Z\subseteq X\implies(Z\in A\iff \exists_{f\in Y^X},P(f,Z))$，我们构造函数 f(x):=[x\in Z] 即可。

  于是 $Z\in A\iff Z\subseteq X$，得证。

为了完整起见，我们现在再往集合论中添加一条公理，它扩充了双并公理而允许做出更大的并集。

• 公理 3.4.10（并）：设 A 是集族（即它的每个元素都是一个集合），那么存在一个集合 $\bigcup A$，使得对于任意对象 x

  
  x\in \bigcup A\iff \exists_{S\in A},x\in S
  

该公理的一个重要的结果是：

• 定义 3.4.11（集族的并）：设 I 为一集合，且对于任意 $\alpha\in I$，都映射到一个集合 $A_{\alpha}$。

  此时我们称 I 为指标集，称 I 的元素 \alpha 为标签，称 \{A_{\alpha}:\alpha\in I\} 为一个集族，其中的元素是贴有标签 \alpha\in I 的。

  定义集族 \{A_{\alpha}:\alpha\in I\} 的并为集合 $\bigcup_{\alpha\in I}A_{\alpha}:=\bigcup{A_{\alpha}:\alpha\in I}$。那么对于任意对象 y

  
  y\in\bigcup_{\alpha\in I}A_{\alpha}\iff \exists_{\alpha\in I},y\in A_{\alpha}
  

  注意到，当 I 为空集时，集族的并也为空集。

对称地，尽管不需要用到并公理，我们定义：

• 定义 3.4.12（集族的交）：设 I 为一非空集合，且对于任意 $\alpha\in I$，都映射到一个集合 $A_{\alpha}$。

  由于 I 非空，那么存在某个对象 $\beta\in I$。然后定义集族 \{A_{\alpha}:\alpha\in I\} 的交为集合 $\bigcap_{\alpha\in I}A_{\alpha}:={x\in A_{\beta}:\forall_{\alpha\in I},x\in A_{\alpha}}$。那么对于任意对象 y

  
  y\in \bigcap_{\alpha\in I}A_{\alpha}\iff \forall_{\alpha\in I},x\in A_{\alpha}
  

  注意，该定义不依赖于 \beta 的选择。

集合论的这些我们已经引入的公理统称为ZF公理集合论（Zermelo-Fraenkel Set Theory，策梅洛-弗兰克尔集合论）。后面我们将还需要一个更进一步的公理，即著名的选择公理，它们统称为集合论的ZFC公理集合论（Zermelo-Fraenkel-Choise Set Theory，策梅洛-弗兰克尔-选择集合论）。

3.5 笛卡尔积

• 定义 3.5.1（序偶/有序对）：设 x 和 y 是两个对象（可以相等），定义序偶 $(x,y):={{x},{x,y}}$，定义 x 为它的第一个分量而 y 为它的第二个分量。

  可以证明，两个序偶 (x,y) 和 (x',y') 相等，当且仅当 $x=x'\land y=y'$。

• 定义 3.5.2（笛卡尔积）：设 X 和 Y 是集合，定义它们的笛卡尔积为集合 $X\times Y$（或记作 ${(x,y):x\in X,y\in Y}$），使得对于任意的对象 a

  
  a\in X\times Y\iff \exists_{x\in X,y \in Y},a=(x,y)
  

  证明：首先，对于每个 $x\in X$，存在一个集合 $A_x:={(x,y):y\in Y}$。

  再构造集合 $B=\bigcup_{x\in X}A_x$。发现对于任意对象 $a$，$a\in B\iff \exists_{x\in X,y \in Y},a=(x,y)$，得证。

设 f:X\times Y\to Z 是一个函数。我们认为，f 即是以 X\times Y 为定义域的单变元函数，也是以 X 和 Y 同为定义域的两个变元的函数。

现在我们扩展序偶的概念。

• 定义 3.5.3（有序 n 元组/n 元序列）：设 n 是自然数，定义一个有序 n 元组为一个函数 $x:\mathbb{N}{1..n}\to X$，其中 X 是任意的某个集合，满足 x 是满射。我们把 x(i) 写成 $x_i$，称为第 i 个分量，并把 x 写成 $(x_i){1\leqslant i\leqslant n}$。

  那么可以证明，两个有序 n 元组 (x_i)_{1\leqslant i\leqslant n} 和 (y_i)_{1\leqslant i\leqslant n} 是相等的，当且仅当对于任意自然数 $1\leqslant i\leqslant n$，$x_i=y_i$。

• 定义 3.5.4（n 重笛卡尔积）：设 (X_i)_{1\leqslant i\leqslant n} 是一个集合的有序 n 元组，我们定义此组的诸分量的笛卡尔积为集合 $\prod_{1\leqslant i\leqslant n}X_i$（或记作 \prod_{i=1}^n X_i 或 X_1\times\cdots\times X_n 或 ${(x_i){1\leqslant i\leqslant n}:\forall{1\leqslant i\leqslant n},x_i\in X_i}$），使得对于任意的对象 a

  
  a\in \prod_{1\leqslant i\leqslant n}X_i\iff \bigg(a=(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\land (\forall_{1\leqslant i\leqslant n},x_i\in X_i)\bigg)
  

  证明：考虑集合 $A:=\left(\bigcup_{1\leqslant i\leqslant n}X_i\right)^{\mathbb{N}{1..n}}$，$B:={x\in A:\forall{1\leqslant i\leqslant n},x_i\in X_i}$，容易发现集合 B 即为所求。

设 f:X_1\times X_2\times X_3\to Y 是一个函数。我们认为，f 可以被看做是一个变元 (x_1,x_2,x_3)\in X_1\times X_2\times X_3 的函数，或三个变元 x_1\in X_1,x_2\in X_2,x_3\in X_3 的函数，或两个变元 x_1\in X_1,(x_2,x_3)\in X_2\times X_3 的函数，诸如此类。我们将不在乎这些不同的看法，而假装它们实际上是相同的。

我们介绍一个实用的引理：

• 引理 3.5.5（有限选择）：设 (X_i)_{1\leqslant i\leqslant n} 是一个非空集合的 n 元序列，那么 \prod_{1\leqslant i\leqslant n}X_i 也非空，即存在一个 n 元序列 (x_i)_{1\leqslant i\leqslant n} 使得对于任意自然数 $1\leqslant i\leqslant n$，$x_i\in X_i$。

  证明：对 n 归纳。每次选择一个 a\in X_{n^+} 并令 $x_{n^+}=a$。

3.6 集合的基数

• 定义 3.6.1（相同的基数）：称两个集合 X 和 Y 具有相同基数当且仅当存在一个 X 与 Y 间的双射 $f:X\rightarrow Y$，记作 $\operatorname{card}X=\operatorname{card}Y$。

容易证明，“有相同的基数”这一概念是一个等价关系，满足自反性、对称性、传递性。对于一个有限集，我们可以用一个自然数来表示其集合的大小，即其所含元素的个数。

• 定义 3.6.2（基数）：设 n 是自然数。称一个集合 X 具有基数 $n$（或称 X 有 n 个元素），当且仅当它与集合 \mathbb{N}_{1..n} 具有相同的基数。

• 引理 3.6.3（基数的非退化性）：$X=\varnothing\iff\operatorname{card}X=0$，即一个集合 X 具有基数 0 当且仅当 X 为空集，且若 X 为空集，则 X 仅具有基数 $0$。

  证明：证明不存在空集与非空集间的双射即可。

• 引理 3.6.4（基数的可减性）：设集合 X 具有基数 $n^+$（则 X 非空），若 $x\in X$，那么 X\setminus \{x\} 有基数 $n$。

  证明：根据假设，存在一个 X 到 \mathbb{N}_{1..n^+} 的双射 $f$。现在定义一个 X\setminus\{x\} 到 \mathbb{N}_{1..n} 的函数 $g$。分两种情况讨论：

  • 若 $f(x)=n^+$，那么对于任意 $y\in X\setminus{x}$，定义 $g(y):=f(y)$。

  • 若 $f(x)\neq n^+$，那么对于任意 $y\in X\setminus{x}$，若 $f(y)\neq n^+$，则定义 $g(y):=f(y)$；若 $f(y)=n^+$，则定义 $g(y):=f(x)$。

  可以证明，按上述定义的函数 g 存在且唯一，且 g 是双射。

• 命题 3.6.5（基数的唯一性）：设集合 X 具有基数 $n$，那么对于任意 $m\neq n$，X 不具有基数 $m$。

  证明：对 n 进行归纳。当 n=0 时，根据引理 3.6.3 可知命题成立。

  归纳地假设命题对 n 成立。设集合 X 具有基数 $n^+$（则 X 非空），反证地设其又具有基数 $m^+\neq n^+$，X 非空意味着存在 $x\in X$，那么对于集合 $X\setminus{x}$，它既具有基数 $n$，有具有基数 $m\neq n$，矛盾，故命题对 n^+ 成立。故命题对任意自然数 n 成立，得证。

• 定义 3.6.6（有限集）：称一个集合是有限的，当且仅当它具有基数 $n$（那么 n 唯一）；否则称该集合为无限的。

注意到，两个集合具有相同的基数，必要条件是它们同为有限集或同为无限集，而对于有限集，我们往后也不会用其他的方式来定义它另外具有的基数，所以对于有限集 $X$，设它具有基数 $n$，那么我们不妨直接称 X 的基数为 $\operatorname{card}X:=n$。

注意对于有限集我们给 \operatorname{card} 赋了值，那么对于 $\operatorname{card}X=\operatorname{card}Y$，它有可能是在说一个等式，也有可能只是一个记号表明 X,Y 具有相同的基数。这之间的区别具体依靠上下文来判断，而上下文无法判断时，即 X,Y 均为有限集时，可以证明两种定义是相容的。

• 定理 3.6.7：\mathbb N 是无限集。

  证明：反证法。若 \mathbb N 存在基数 $n$，那么存在一个 \mathbb{N}_{1..n} 到 \mathbb N 的双射 $f$。

  通过对 n 归纳，可以证明序列 f(1),\cdots,f(n) 是有界的：存在一个自然数 $M$，使得 $\forall_{1\leqslant i\leqslant n},f(i)\leqslant M$。

  那么自然数 M+1 就不等于任何 $f(i)$，这与 f 是双射矛盾。

应用到集合论公理和定义上，我们给出关于有限集的基数的一些基本性质：

• 命题 3.6.8（基数算术）：基数满足如下性质：

  1. 设 X 是有限集，并设 x 是一个不属于 X 的对象。那么 X\cup\{x\} 为有限集且 $\operatorname{card}X\cup{x}=\operatorname{card}X+1$。

     证明：在原来映射的基础上，再将 x 映射到 \operatorname{card}(X)+1 即可。

  2. 设 X 是有限集，并设 Y 是 X 的子集。那么 Y 是有限集且 $\operatorname{card}Y\leqslant \operatorname{card}X$，当且仅当 X=Y 时取等号。

     证明：设 P(n) 表示对于任意有限集 X 满足 $\operatorname{card}X=n$，上述命题成立。我们只需证明对于任意自然数 n 有 P(n) 成立即可。对 n 进行归纳。当 n=0 时，X 为空集，命题显然成立。

     归纳地假设 P(n) 成立。对于任意有限集 X 满足 \operatorname{card}X=n^+ 及任意 $Y\subseteq X$，

     1. 若 $Y=X$，则 Y 是有限集且 $\operatorname{card}Y=\operatorname{card}X$。

     2. 若 Y\neq X 即 $X\not\subseteq Y$，则存在 x\in X 满足 $x\not\in Y$，考虑集合 $X\setminus{x}$，根据引理 3.6.4，该集合是有限集且其基数为 $n$。容易证明 $Y\subseteq X\setminus{x}$，那么根据归纳，Y 是有限集且 $\operatorname{card}Y\leqslant \operatorname{card}(X\setminus{x})<\operatorname{card}X$。

     于是 P(n^+) 成立。于是对于任意自然数 n 有 P(n) 成立。

  3. 设 X 和 Y 是有限集，那么 X\cup Y 是有限集且 $\operatorname{card}(X\cup Y)\leqslant \operatorname{card}X+\operatorname{card}Y$，当且仅当 X,Y 不交时等号成立。

     证明：设 \operatorname{card}X=n 且 $\operatorname{card}Y=m$，根据定义，存在双射 f:X\to \mathbb{N}_{1..n} 和 $g:Y\to \mathbb{N}_{1..m}$。

     考虑构建双射 $h$，其定义域为 $X\cup Y$，满足对于任意 $x\in X\cup Y$：若 $x\in X$，则 $h(x):=f(x)$；若 $x\not\in X$，则 $h(x):=n+g(x)$。容易证明满足该定义的双射 h:X\cup Y\to (Z=h(X\cup Y)) 存在，且 $Z\subseteq \mathbb{N}_{1..n+m}$。

     根据 3.6.8.2，可知 Z 为有限集且 $\operatorname{card}Z\leqslant n+m$，当且仅当 Z=\mathbb{N}_{1..n+m} 时取等。那么 X\cup Y 也为有限集且 $\operatorname{card}(X\cup Y)\leqslant n+m$，当且仅当 $h(X\cup Y)=\mathbb{N}_{1..n+m}$，即 X\cap Y=\varnothing 时等号成立。

  4. 设 X 是有限集，且 f:X\to Y 是一个函数，那么 f(X) 是有限集且 $\operatorname{card}f(X)\leqslant \operatorname{card}X$，当且仅当 f 为单射时取等。

     证明：仍用与 3.6.8.2 类似的证明方法。设 P(n) 表示对于任意有限集 X 满足 $\operatorname{card}X=n$，上述命题成立。当 n=0 时，X,f(X) 为空集，命题显然成立。

     归纳地假设 P(n) 成立。欲对于有限集 X 满足 \operatorname{card}X=n^+ 和函数 f:X\to Y 证明命题。

     一定存在一个元素 $x\in X$，设 $X'=X\setminus {x}$。设函数 $f':X'\to Y$，使得 $\forall_{x\in X'},f'(x):=f(x)$。根据归纳，f'(X') 为有限集且 $\operatorname{card}f'(X')\leqslant \operatorname{card}(X')=n$，当且仅当 f'(X') 为单射时取等。

     • 若 $f(x)\in f'(X')$，则 $f'(X')=f(X)$，那么 f(X) 是有限集且 $\operatorname{card}f(X)<n^+$。

     • 若 $f(x)\not\in f'(X')$，则 f(X)=f'(X')\cup \{f(x)\} 为有限集，且 $\operatorname{card}f(X)=\operatorname{card}f'(X')+\operatorname{card}{f(x)}\leqslant n+1$，当且仅当 f'(X') 为单射时取等，结合 $f(x)\not\in f'(X')$，可知等价于 f(X) 为单射。

     于是 P(n^+) 成立。于是对于任意自然数 n 有 P(n) 成立。

  5. 设 X 和 Y 是有限集，那么笛卡尔积 X\times Y 是有限的，且 $\operatorname{card}(X\times Y)=\operatorname{card}X\times \operatorname{card}Y$。

     证明：设 \operatorname{card}X=n 且 $\operatorname{card}Y=m$，根据定义，存在双射 f:X\to \mathbb{N}_{1..n} 和 $g:Y\to \mathbb{N}_{1..m}$。

     构造映射 $h:X\times Y\to \mathbb{N}_{1..nm}$，满足对于任意 $(x,y)\in X\times Y$， $h(x,y):=(f(x)-1)m+g(y)$。

     容易证明 h 是个双射，证毕。

  6. 设 X 和 Y 是有限集，那么集合 Y^X 是有限的，且 $\operatorname{card}(Y^X)=(\operatorname{card}Y)^{\operatorname{card}X}$。

     证明：设 \operatorname{card}X=n 且 $\operatorname{card}Y=m$，根据定义，存在双射 f:X\to \mathbb{N}_{1..n} 和 $g:Y\to \mathbb{N}_{1..m}$。

     构造映射 $h:Y^X\to \mathbb{N}{1..m^n}$，满足对于任意 $p\in Y^X$，$h(f):=\sum{i=1}^n(g\circ p\circ f^{-1})(i)\cdot Y^{i-1}$。

     此处需先对 n 归纳证明形如 \sum_{i=1}^na(i) 的求和式存在且唯一，其中 $a:\mathbb{N}_{1..n}\to \mathbb N$。

     容易证明 h 是个双射，证毕。

经过上述性质的证明，我们看到，通过基数和单个选取引理，我们已经能对有限集使用类似归纳的方法了。这使得我们可以很容易地论证有限集合中有一个最大的数和最小的数。

• 命题 3.6.9（有限自然数集的最小元和最大元）：设 S\subset\mathbb N 为非空有限集，恰好存在一个自然数 $n\in\mathbb S$，使得 $\forall_{m\in S}n\leqslant m$，称 n 为集合 S 的最小元，记作 $\min S$。对称地，恰好存在一个自然数 $n\in\mathbb S$，使得 $\forall_{m\in S}n\geqslant m$，称 n 为集合 S 的最大元，记作 $\max S$。

  证明：这里只给出最小元的证明，最大元同理。（同一法）首先证明最小元存在性。（数学归纳法）设关于 x 的命题 p(x) 为真当且仅当 $\forall_{S\subset\mathbb N,\operatorname{card}S=x}$，有 \min S 存在。

  对于任意一个单元素集 ${a}\subset\mathbb N$，a 显然是 \{a\} 的最小元，且 $\operatorname{card}{a}=1$，故 p(1) 为真。

  假设 p(n) 为真，考虑任意一个集合 $S\subset\mathbb N$，满足 $\operatorname{card}S=n+1$，由于 S 为非空集合，故可以找到一个元素 $a\in S$。由于 p(n) 为真，故 S\setminus\{a\} 存在最小元，记作 $b$。若 a>b 则根据定义 b 为 S 的最小元。若 a<b 则 a 为 S 的最小元。综上所述，$p(n)\implies p(n+1)$。

  故对于任何一个非空有限集 $S\subset\mathbb N$，S 都存在最小元。

  然后证明唯一性。（反证法）若 n,m 均为集合 S 的最小元，则根据定义有 n\leqslant m 和 $m\leqslant n$，故一定有 $m=n$。

最后，根据有限集的定义，我们阐述引理 3.5.5 的一个直接推论：

• 推论 3.6.10：设 I 是有限集，且对于任意 $\alpha\in I$，都存在一个非空集合 $X_{\alpha}$。那么 \prod_{\alpha\in I}X_{\alpha} 非空，即存在一个映射 $(x_{\alpha}){\alpha\in I}$，使得对于任意 \alpha\in I 有 $x\alpha\in X_\alpha$。

推论 3.6.10 的无限集版本即为选择公理，我们将在第 8 章阐述。

至此，我们对于集合的讨论暂告一段落。