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sections/3A.typ
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@ -394,7 +394,7 @@
#let Es = $cal(E)$ #let Es = $cal(E)$
#exercise_sol(type: "proof", label: "hard")[ #exercise_sol(type: "proof", label: "hard", ref: <E-two-sided-ideal>)[
设 $V$ 是有限维向量空间。 设 $V$ 是有限维向量空间。
- $LinearMap(V)$ 的子空间 $Es$ 被称为*双边理想（two-sided ideal）*，是指 $T E in Es$ 和 $E T in Es$，对于任意 $E in Es$ 和 $T in LinearMap(V)$ 都成立。 - $LinearMap(V)$ 的子空间 $Es$ 被称为*双边理想（two-sided ideal）*，是指 $T E in Es$ 和 $E T in Es$，对于任意 $E in Es$ 和 $T in LinearMap(V)$ 都成立。
@ -403,8 +403,8 @@
][ ][
验证 ${0}$ 是 $LinearMap(V)$ 的双边理想是平凡的。现在假设 $Es$ 是 $LinearMap(V)$ 的双边理想，且 $Es != {0}$。故存在 $E in Es$ 使得 $E != 0$，即可设 $w_0 in V$，使得 $E w_0 != 0$。令 $w = E w_0$。 验证 ${0}$ 是 $LinearMap(V)$ 的双边理想是平凡的。现在假设 $Es$ 是 $LinearMap(V)$ 的双边理想，且 $Es != {0}$。故存在 $E in Es$ 使得 $E != 0$，即可设 $w_0 in V$，使得 $E w_0 != 0$。令 $w = E w_0$。
#let Rr = $restricted(R, span(w))$ #let Rr = $restricted(R, W)$
#tab 根据线性映射引理（原书3.4），可以找到线性映射#footnote[这里有时将 $FF$ 视为一个向量空间，即我们不对 $FF$ 和 $FF^1$ 进行明确地区分。] $Rr: span(w) -> FF$，满足 $Rr(w) = 1$。进一步地，根据@E-extend-linear-map，存在线性映射 $R in LinearMap(V, FF)$，使得对于任意 $u in span(w)$，都有 $R u = Rr(u)$。 #tab 令 $W = span(w)$。根据线性映射引理（原书3.4），可以找到线性映射#footnote[这里有时将 $FF$ 视为一个向量空间，即我们不对 $FF$ 和 $FF^1$ 进行明确地区分。] $Rr: W -> FF$，满足 $Rr(w) = 1$。再根据@E-extend-linear-map，存在线性映射 $R in LinearMap(V, FF)$，使得 $R w = Rr(w) = 1$。
#tab 现在，对于任意 $u in W$ 和 $f in LinearMap(V, FF)$，定义 #tab 现在，对于任意 $u in W$ 和 $f in LinearMap(V, FF)$，定义
@ -421,15 +421,9 @@
&= f(v) R(w) u \ &= f(v) R(w) u \
&= f(v) u $ &= f(v) u $
#tab 现在，设 $T in LinearMap(V)$，$i, j in {1, dots, m}$。我们将 $T u_j$ 表示为 #tab 现在，设 $T in LinearMap(V)$，$i, j in {1, dots, m}$。我们将 $T u_j$ 表示为 $T u_j = A_(1, j) u_1 + dots.c + A_(m, j) u_m$，其中 $A_(i, j) in FF$。同时，将 $v$ 表示为 $v = a_1 u_1 + dots.c + a_m u_m$，其中 $a_1, dots, a_m in FF$。
$ T u_j = A_(1, j) u_1 + dots.c + A_(m, j) u_m $ #tab 现在，对于任意 $i in {1, dots, m}$，根据线性映射引理（原书3.4），我们可以找到线性映射 $f_i in LinearMap(V, FF)$，使得对于任意 $j in {1, dots, m}$，$f_i (v_j) = A_(i, j)$，即
#tab 其中 $A_(i, j) in FF$。同时，对于任意 $v in V$，将其表示为
$ v = a_1 u_1 + dots.c + a_m u_m $
#tab 其中 $a_1, dots, a_m in FF$。现在，对于任意 $i in {1, dots, m}$，根据线性映射引理（原书3.4），我们可以找到线性映射 $f_i in LinearMap(V, FF)$，使得对于任意 $j in {1, dots, m}$，$f_i (v_j) = A_(i, j)$，即
$ f_i (v) = sum_(j = 1)^m A_(i, j) a_j $ $ f_i (v) = sum_(j = 1)^m A_(i, j) a_j $

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sections/3B.typ
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@ -615,3 +615,13 @@
#tab 综上所述，存在 $T in LinearMap(V, W)$ 使得 $null T = X$ 且 $range T = Y$，当且仅当，$dim X + dim Y = dim V$。 #tab 综上所述，存在 $T in LinearMap(V, W)$ 使得 $null T = X$ 且 $range T = Y$，当且仅当，$dim X + dim Y = dim V$。
] ]
#exercise_sol(type: "proof")[
设 $V$ 是有限维向量空间，$dim V > 1$。证明：若 $phi: LinearMap(V) -> FF$ 是线性映射，使得对于任意 $S, T in LinearMap(V)$，$phi(S T) = phi(S) phi(T)$，则 $phi = 0$。
#note(supplement: "提示")[#exercise_ref(<E-two-sided-ideal>)中给出了关于 $LinearMap(V)$ 的双边理想的描述，或许有用。]
][
设 $S in null T$，$T in LinearMap(V)$，则 $phi(S) = 0$，故 $phi (S T) = phi (T S) = phi(S)phi(T) = 0$，即 $S T, T S in null T$，故 $null T$ 是 $LinearMap(V)$ 的双边理想。根据#exercise_ref(<E-two-sided-ideal>)，$null T = {0}$ 或 $null T = LinearMap(V)$。
#tab 由于 $dim V > 1$，容易验证 $dim LinearMap(V) > 1 = dim FF$，根据“映到更低维空间上的线性映射不是单射”（原书3.22），可知 $T$ 不是单射。再根据“单射性 $<==>$ 零空间为 ${0}$”（原书3.15），$null T != {0}$，因此 $null T = LinearMap(V)$。这说明对于任意 $S in LinearMap(V)$，都有 $S in null T$，即 $phi(S) = 0$。故 $phi = 0$。
]