3B 32

Signed-off-by: szdytom <szdytom@qq.com>

sections/3A.typ

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 #let Es = $cal(E)$
 
-#exercise_sol(type: "proof", label: "hard")[
+#exercise_sol(type: "proof", label: "hard", ref: <E-two-sided-ideal>)[
 	设 $V$ 是有限维向量空间。
 
 	- $LinearMap(V)$ 的子空间 $Es$ 被称为*双边理想（two-sided ideal）*，是指 $T E in Es$ 和 $E T in Es$，对于任意 $E in Es$ 和 $T in LinearMap(V)$ 都成立。
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 ][
 	验证 ${0}$ 是 $LinearMap(V)$ 的双边理想是平凡的。现在假设 $Es$ 是 $LinearMap(V)$ 的双边理想，且 $Es != {0}$。故存在 $E in Es$ 使得 $E != 0$，即可设 $w_0 in V$，使得 $E w_0 != 0$。令 $w = E w_0$。
 
-	#let Rr = $restricted(R, span(w))$
-	#tab 根据线性映射引理（原书3.4），可以找到线性映射#footnote[这里有时将 $FF$ 视为一个向量空间，即我们不对 $FF$ 和 $FF^1$ 进行明确地区分。] $Rr: span(w) -> FF$，满足 $Rr(w) = 1$。进一步地，根据@E-extend-linear-map，存在线性映射 $R in LinearMap(V, FF)$，使得对于任意 $u in span(w)$，都有 $R u = Rr(u)$。
+	#let Rr = $restricted(R, W)$
+	#tab 令 $W = span(w)$。根据线性映射引理（原书3.4），可以找到线性映射#footnote[这里有时将 $FF$ 视为一个向量空间，即我们不对 $FF$ 和 $FF^1$ 进行明确地区分。] $Rr: W -> FF$，满足 $Rr(w) = 1$。再根据@E-extend-linear-map，存在线性映射 $R in LinearMap(V, FF)$，使得 $R w = Rr(w) = 1$。
 
 	#tab 现在，对于任意 $u in W$ 和 $f in LinearMap(V, FF)$，定义
 
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 		&= f(v) R(w) u \
 		&= f(v) u $
 
-	#tab 现在，设 $T in LinearMap(V)$，$i, j in {1, dots, m}$。我们将 $T u_j$ 表示为
-
-	$ T u_j = A_(1, j) u_1 + dots.c + A_(m, j) u_m $
-
-	#tab 其中 $A_(i, j) in FF$。同时，对于任意 $v in V$，将其表示为
-
-	$ v = a_1 u_1 + dots.c + a_m u_m $
-
-	#tab 其中 $a_1, dots, a_m in FF$。现在，对于任意 $i in {1, dots, m}$，根据线性映射引理（原书3.4），我们可以找到线性映射 $f_i in LinearMap(V, FF)$，使得对于任意 $j in {1, dots, m}$，$f_i (v_j) = A_(i, j)$，即
+	#tab 现在，设 $T in LinearMap(V)$，$i, j in {1, dots, m}$。我们将 $T u_j$ 表示为 $T u_j = A_(1, j) u_1 + dots.c + A_(m, j) u_m$，其中 $A_(i, j) in FF$。同时，将 $v$ 表示为 $v = a_1 u_1 + dots.c + a_m u_m$，其中 $a_1, dots, a_m in FF$。
+	
+	#tab 现在，对于任意 $i in {1, dots, m}$，根据线性映射引理（原书3.4），我们可以找到线性映射 $f_i in LinearMap(V, FF)$，使得对于任意 $j in {1, dots, m}$，$f_i (v_j) = A_(i, j)$，即
 
 	$ f_i (v) = sum_(j = 1)^m A_(i, j) a_j $
 

sections/3B.typ

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 	#tab 综上所述，存在 $T in LinearMap(V, W)$ 使得 $null T = X$ 且 $range T = Y$，当且仅当，$dim X + dim Y = dim V$。
 ]
+
+#exercise_sol(type: "proof")[
+	设 $V$ 是有限维向量空间，$dim V > 1$。证明：若 $phi: LinearMap(V) -> FF$ 是线性映射，使得对于任意 $S, T in LinearMap(V)$，$phi(S T) = phi(S) phi(T)$，则 $phi = 0$。
+
+	#note(supplement: "提示")[#exercise_ref(<E-two-sided-ideal>)中给出了关于 $LinearMap(V)$ 的双边理想的描述，或许有用。]
+][
+	设 $S in null T$，$T in LinearMap(V)$，则 $phi(S) = 0$，故 $phi (S T) = phi (T S) = phi(S)phi(T) = 0$，即 $S T, T S in null T$，故 $null T$ 是 $LinearMap(V)$ 的双边理想。根据#exercise_ref(<E-two-sided-ideal>)，$null T = {0}$ 或 $null T = LinearMap(V)$。
+
+	#tab 由于 $dim V > 1$，容易验证 $dim LinearMap(V) > 1 = dim FF$，根据“映到更低维空间上的线性映射不是单射”（原书3.22），可知 $T$ 不是单射。再根据“单射性 $<==>$ 零空间为 ${0}$”（原书3.15），$null T != {0}$，因此 $null T = LinearMap(V)$。这说明对于任意 $S in LinearMap(V)$，都有 $S in null T$，即 $phi(S) = 0$。故 $phi = 0$。
+]